1. 将一元二次方程$5x^2 - 1 = 4x$化为$ax^2 + bx + c = 0(a ＞ 0)$的一般形式，其中，一次项系数是（ ）
A. 5
B. $-4$
C. 4
D. $-1$

B

2. 若关于$ x $的一元二次方程$ (2 - x)^2 = m(2x - 1) $中不含一次项，则$ m = \_\_\_\_\_\_ $．

-2

3. 若关于$x$的一元二次方程$(a+2)x^2 - 3ax + a^2 - 4 = 0$的常数项为0，则$a$的值为______．

2

4. (2024·海安期末)若$a$是一元二次方程$x^2 + 2x - 4 = 0$的一个根，则$2a^2 + 4a - 4$的值是______．

4

5. (2023·新疆)用配方法解一元二次方程$x^2 - 6x + 8 = 0$，配方后得到的方程是 （ ）
A. $(x+6)^2=28$
B. $(x-6)^2=28$
C. $(x+3)^2=1$
D. $(x-3)^2=1$

D

6. 用适当的方法解下列方程：
(1) $(x-1)^2=\dfrac{9}{4}$；
(2) $2(x+5)^2=x(x+5)$；
(3) $x^2+4x=6$。

解：$(x - 1)^2=\frac{9}{4}，$则$x - 1=\pm\frac{3}{2}。$当$x - 1=\frac{3}{2}$时，$x=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}；$当$x - 1=-\frac{3}{2}$时，$x=-\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{2}。$所以$x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{1}{2}。$ ; 解：$2(x + 5)^2=x(x + 5)，$移项得$2(x + 5)^2-x(x + 5)=0，$提取公因式$(x + 5)$得$(x + 5)[2(x + 5)-x]=0，$即$(x + 5)(2x + 10 - x)=0，$$(x + 5)(x + 10)=0。$则$x + 5=0$或$x + 10=0，$解得$x_1=-10,x_2=-5。$ ; 解：$x^2 + 4x = 6，$配方得$x^2 + 4x + 4 = 6 + 4，$即$(x + 2)^2 = 10。$则$x + 2=\pm\sqrt{10}，$解得$x_1=-2+\sqrt{10},x_2=-2-\sqrt{10}。$

7. (2024·泰安)关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 2x^2 - 3x + k = 0 $ 有实数根,则实数 $ k $ 的取值范围是 ( )
A. $ k ＜ \dfrac{9}{8} $
B. $ k ≤ \dfrac{9}{8} $
C. $ k ≥ \dfrac{9}{8} $
D. $ k ＜ -\dfrac{9}{8} $

B

8. (2023·海门期中)若α,β是方程$x^2 - 3x - 2017 = 0$的两个实数根,则$α^2 - 2β - 5α$的值为( )
A. $-2011$
B. $-2023$
C. $2011$
D. $2023$

C

9. (2023·宜昌)已知$x_1,x_2$是方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$的两个根,则代数式$\dfrac{x_1 + x_2}{1 + x_1x_2}$的值为______.

1

10. (2023·如东期末)已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 + (2m + 1)x + 2m = 0 $。
（1）求证：无论实数$ m $取何值，此方程一定有两个实数根；
（2）设此方程的两个实数根分别为$ x_1, x_2 $，若$ x_1^2 + x_2^2 = 13 $，求$ m $的值。

解: （1）$\because x^2+(2m + 1)x + 2m = 0，$$\therefore\Delta=(2m + 1)^2-4\times1\times2m=(2m - 1)^2\geq0。$$\therefore$无论实数$m$取何值，此方程一定有两个实数根。（2）$\because$此方程的两个实数根分别为$x_1,x_2，$$\therefore x_1 + x_2=-2m - 1，$$x_1x_2 = 2m。$$\because x_1^2 + x_2^2 = 13，$$\therefore(x_1 + x_2)^2-2x_1x_2 = 13，$即$(-2m - 1)^2-2\times2m = 13，$整理得$m^2 = 3，$解得$m_1=-\sqrt{3},m_2=\sqrt{3}。$$\therefore m$的值为$-\sqrt{3}$或$\sqrt{3}。$