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7. 古题今算 [2026镇江期末]《九章算术》中记载了这样一个数学问题:“今有甲发长安,五日至齐;乙发齐,七日至长安。今乙发已先二日,甲乃发长安。问:几何日相逢?”译文:甲从长安出发,5日到齐国;乙从齐国出发,7日到长安。现乙先出发2日,甲才从长安出发。多久后甲、乙相逢?设乙出发$x$日,甲、乙相逢,则可列方程为 (
A.$\frac{x+2}{7}+\frac{x}{5}=1$
B.$\frac{x-2}{7}+\frac{x}{5}=1$
C.$\frac{x}{7}+\frac{x+2}{5}=1$
D.$\frac{x}{7}+\frac{x-2}{5}=1$
D
)A.$\frac{x+2}{7}+\frac{x}{5}=1$
B.$\frac{x-2}{7}+\frac{x}{5}=1$
C.$\frac{x}{7}+\frac{x+2}{5}=1$
D.$\frac{x}{7}+\frac{x-2}{5}=1$
答案
7 D
8.［2026郑州二七区期末］如图，甲、乙两人沿着边长为90 m的正方形，按A→B→C→D→A→…的方向行走，甲从点A出发，以50 m/min的速度行走；同时，乙从点B出发，以65 m/min的速度行走。当乙第一次追上甲时，在正方形的（
A.BC边上
B.CD边上
C.点C处
D.点D处
C
）A.BC边上
B.CD边上
C.点C处
D.点D处
答案
8 C 设乙行走t min时第一次追上甲,则甲的行走路程为50t m,乙的行走路程为65t m。当乙第一次追上甲时,270 + 50t = 65t,解得t = 18,此时乙的行走路程为65×18 = 1 170(m),1 170 ÷ (90×4) = 3……90,所以当乙第一次追上甲时,在正方形的点C处。
9. [2026衡阳期末]如图,点A,O,B依次在直线MN上,现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒$4°$的速度转动,同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒$6°$的速度转动,直线MN保持不动,设转动时间为$t$秒$(0≤ t≤30)$。在转动过程中,当$∠ AOB=80°$时,$t$的值为
10或26
。答案
9 10或26 180°÷(4°+6°)=18(秒)。(此时OA与OB重合)当0≤t≤18时,180°-4°·t -6°·t = 80°,解得t = 10。当18 ＜ t ≤30时,4°·t +6°·t - 180°= 80°,解得t = 26。综上所述,当∠AOB=80°时,t的值为10或26。
10. 易错题|一题多解 [2026 德阳月考] 一列匀速前进的火车，从它进入320 m长的隧道到完全通过隧道需要18 s，隧道顶部一盏固定的灯，在火车上垂直照射的时间为10 s，则这列火车的长为
400
m。答案
10 400 通解 设这列火车的长为x m,根据题意,得$\frac{x+320}{18} = \frac{x}{10}$,解得x = 400,所以这列火车的长为400 m。
另解 设这列火车的长为x m,则火车的速度为$\frac{x}{10}$ m/s,根据题意,得18×$\frac{x}{10}$ = 320 + x,解得x = 400,所以这列火车的长为400 m。
另解 设这列火车的长为x m,则火车的速度为$\frac{x}{10}$ m/s,根据题意,得18×$\frac{x}{10}$ = 320 + x,解得x = 400,所以这列火车的长为400 m。
11. [2026河南省实验中学月考]一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以相同的速度前进，突然，1号队员以每小时比其他队员快10 km的速度独自行进，行进10 km时掉转车头，速度不变往回骑，直到与其他的队员会合。从1号队员离队开始到与其他队员重新会合，经过了15 min。
(1)其他队员的行进速度是多少？
(2)1号队员从离队开始到与其他队员重新会合这个过程中，经过多长时间与其他队员相距1 km？
(1)其他队员的行进速度是多少？
(2)1号队员从离队开始到与其他队员重新会合这个过程中，经过多长时间与其他队员相距1 km？
答案
11 解:(1)设其他队员的行进速度是x km/h,则1号队员的行进速度是(x + 10)km/h。
根据题意,得$\frac{15}{60}x + \frac{15}{60}(x + 10) = 10×2$,
解得x = 35。
答:其他队员的行进速度是35 km/h。
(2)设1号队员经过y h与其他队员相距1 km。
分两种情况:
①1号队员从离队到第一次与其他队员相距1 km,
根据题意,得35y + 1 = (35 + 10)y,
解得$y = \frac{1}{10}$;
②1号队员掉转车头,速度不变往回骑,直到与其他队员相距1 km,
根据题意,得35y + (35 + 10)y = 10×2 - 1,
解得$y = \frac{19}{80}$。
答:1号队员经过$\frac{1}{10}$ h或$\frac{19}{80}$ h与其他队员相距1 km。
根据题意,得$\frac{15}{60}x + \frac{15}{60}(x + 10) = 10×2$,
解得x = 35。
答:其他队员的行进速度是35 km/h。
(2)设1号队员经过y h与其他队员相距1 km。
分两种情况:
①1号队员从离队到第一次与其他队员相距1 km,
根据题意,得35y + 1 = (35 + 10)y,
解得$y = \frac{1}{10}$;
②1号队员掉转车头,速度不变往回骑,直到与其他队员相距1 km,
根据题意,得35y + (35 + 10)y = 10×2 - 1,
解得$y = \frac{19}{80}$。
答:1号队员经过$\frac{1}{10}$ h或$\frac{19}{80}$ h与其他队员相距1 km。
12. 模型观念 [2026 深圳实验学校月考]“自古逢秋悲寂寥，我言秋日胜春朝”，在这个充满诗意的季节里，“拾秋”成了深圳新兴的户外运动。本周日早上小深、小圳约定同时从各自家里出发前往植物园大门口集合“拾秋”，已知小深家、小圳家分别位于植物园正东方向2.5 km，2 km处，小深、小圳的步行速度分别为4 km/h，3 km/h，先到达大门口的人停下等待另一人到达，则小深与小圳相距不超过100 m的时间共计（
A.$\frac{1}{5}$ h
B.$\frac{7}{30}$ h
C.$\frac{9}{40}$ h
D.$\frac{2}{5}$ h
B
）A.$\frac{1}{5}$ h
B.$\frac{7}{30}$ h
C.$\frac{9}{40}$ h
D.$\frac{2}{5}$ h
答案
12 B 设小深、小圳步行时间为x h,则小深距离植物园(2.5 - 4x)km,小圳距离植物园(2 - 3x)km,100 m = 0.1 km。
当两人相距100 m时,分两种情况:①当小深在小圳后面100 m时,可得(2.5 - 4x) - (2 - 3x) = 0.1,解得x = 0.4;
②当小圳在小深后面100 m时,可得(2 - 3x) - (2.5 - 4x) = 0.1,解得x = 0.6。即当0.4 ＜ x ＜ 0.6时,两人的距离不超过100 m。当小深到达植物园后,小圳最后100 m所需时间为0.1÷3 = $\frac{1}{30}$(h),因为0.6 - 0.4 + $\frac{1}{30}$ = $\frac{7}{30}$(h),所以小深与小圳相距不超过100 m的时间共计$\frac{7}{30}$ h。
当两人相距100 m时,分两种情况:①当小深在小圳后面100 m时,可得(2.5 - 4x) - (2 - 3x) = 0.1,解得x = 0.4;
②当小圳在小深后面100 m时,可得(2 - 3x) - (2.5 - 4x) = 0.1,解得x = 0.6。即当0.4 ＜ x ＜ 0.6时,两人的距离不超过100 m。当小深到达植物园后,小圳最后100 m所需时间为0.1÷3 = $\frac{1}{30}$(h),因为0.6 - 0.4 + $\frac{1}{30}$ = $\frac{7}{30}$(h),所以小深与小圳相距不超过100 m的时间共计$\frac{7}{30}$ h。
