【例】已知$y= (m + 1)x^{m^{2}+m}$是二次函数且其图象开口向上,求$m$的值和函数的解析式。

【分析】由二次函数的定义,可知$m^{2}+m = 2$。再由函数图象的开口向上,得出二次项系数$m + 1＞0$。联立$m^{2}+m = 2和m + 1＞0$,求出$m$的值,把$m的值代入y= (m + 1)x^{m^{2}+m}$中,求出函数的解析式即可。
解：$\because y= (m + 1)x^{m^{2}+m}$是二次函数,
$\therefore\begin{cases}m^{2}+m = 2,\\m + 1\neq0.\end{cases} $
$\therefore m_{1}= -2$,$m_{2}= 1$。
$\because二次函数y= (m + 1)x^{m^{2}+m}$的图象开口向上,
$\therefore m + 1＞0$。
$\therefore m＞-1$。
$\therefore m = 1$。
把$m = 1代入y= (m + 1)x^{m^{2}+m}$中,得$y = 2x^{2}$。

1. 下列函数中,一定为二次函数的是()

A.$y = 2x - 1$
B.$y = ax^{2}+bx + c$
C.$s = 2t^{2}-2t + 1$
D.$y = x^{2}+\frac{1}{x}$

C

2. 圆的面积公式$S= \pi r^{2}$中,$S与r$之间的关系是()

A.$S是r$的正比例函数
B.$S是r$的一次函数
C.$S是r$的二次函数
D.以上答案都不对

C

3. 已知函数：①$y = ax^{2}$；②$y = 5(x - 1)^{2}+6$；③$y= (x + 9)^{2}-5x^{2}$；④$y= \frac{1}{x^{2}}+x$。其中,一定是二次函数的个数为()

A.1
B.2
C.3
D.4

B