11. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点。
(1) 求证：$\triangle BGF\cong\triangle FHC$；
(2) 设$AD=a$，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积。

(1) ∵ 点 F，G，H 分别是 BC，BE，CE 的中点，∴ FH // BE，FH = $\frac{1}{2}$BE，∴ FH = BG，∠CFH = ∠CBG。∵ BF = CF，∴ △BGF ≌ △FHC。 (2) 如题图，连接 EF，GH，∵ 四边形 EGFH 是正方形，∴ EF ⊥ GH 且 EF = GH。∵ 在 △BEC 中，点 G，H 分别是 BE，CE 的中点，∴ GH = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}$a，且 GH // BC，∴ EF ⊥ BC。∵ AD // BC，AB ⊥ BC，∴ AB = EF = GH = $\frac{1}{2}$a，∴ 矩形 ABCD 的面积 = AB · AD = $\frac{1}{2}$a · a = $\frac{1}{2}$$a^{2}$。

12. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，$BC=2$，$∠A=30^{\circ}$，点D是AB的中点，P是AC边上一动点，连接DP，将$\triangle DPA$沿着DP折叠，A点落到F处，DF与AC交于点E，当$\triangle DPF$的一边与BC平行时，求线段DE的长。

过点 D 作 DH ⊥ AC 于点 H。
　
① 如图 1，当 PF // BC 时，∵ DH // BC，PF // BC，∴ PF // DH。∴ ∠F = ∠A = ∠EDH = $30^{\circ}$。∵ AD = BD，DH // BC，∴ AH = HC，∴ DH = $\frac{1}{2}$BC = 1。设 EH = x，则 DE = 2x。∴ $(2x)^{2} - x^{2} = 1$，∴ x = $\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴ DE = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
② 如图 2，当 DF // BC 时，DE 与 DH 重合，此时 DE = DH = 1。
③ 如图 3，当 DP // BC 时，点 E，F 与点 C 重合，此时 DE = BC = 2。综上所述，线段 DE 的长为 1 或 2 或 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$。