13. 如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，连接CF。
(1) 求证：$∠HEA=∠CGF$；
(2) 当$AH=DG=2$时，求证：菱形EFGH为正方形；
(3) 设$AH=2$，$DG=x$，$\triangle FCG$的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
(4) 求y的最小值。

(1) 如题图，连接 GE，∵ AB // CD，∴ ∠AEG = ∠CGE。∵ GF // HE，∴ ∠HEG = ∠FGE，∴ ∠HEA = ∠CGF。 (2) ∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ ∠D = ∠A = $90^{\circ}$。∵ 四边形 EFGH 是菱形，∴ HG = HE。在 Rt△HAE 和 Rt△GDH 中，$\left\{\begin{array}{l}AH = DG,\\HE = GH,\end{array}\right.$ ∴ Rt△HAE ≌ Rt△GDH，∴ ∠AHE = ∠DGH。又 ∠DHG + ∠DGH = $90^{\circ}$，∴ ∠DHG + ∠AHE = $90^{\circ}$，∴ ∠GHE = $90^{\circ}$，∴ 菱形 EFGH 为正方形。 (3) 如题图，过点 F 作 FM ⊥ DC，交 DC 的延长线于点 M，在 Rt△AHE 和 Rt△MFG 中，$\left\{\begin{array}{l}∠A = ∠M,\\∠AEH = ∠FGM,\\HE = FG,\end{array}\right.$ ∴ Rt△AHE ≌ Rt△MFG，∴ MF = AH = 2。∵ DG = x，∴ CG = 6 - x，∴ y = $\frac{1}{2}$ × CG × FM = $\frac{1}{2}$ × (6 - x) × 2 = 6 - x(0 ≤ x ≤ $2\sqrt{6}$)。 (4) ∵ y = 6 - x，k = -1 ＜ 0，∴ y 随 x 的增大而减小，∴ x = $2\sqrt{6}$ 时，y 取最小值，最小值是 6 - $2\sqrt{6}$。