1. [2022·北京]如图,在$//ogram ABCD$中,$AC$,$BD交于点O$,点$E$,$F在AC$上,$AE = CF$.
(1)求证：四边形$EBFD$是平行四边形.
(2)若$∠BAC = ∠DAC$,求证：四边形$EBFD$是菱形.

(1) 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$OA = OC$，$OB = OD$。又$AE = CF$，则$OA - AE = OC - CF$，即$OE = OF$，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，所以四边形$EBFD$是平行四边形。
(2) 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，$\angle DCA=\angle BAC$。又$\angle BAC=\angle DAC$，所以$\angle DCA=\angle DAC$，$DA = DC$，平行四边形$ABCD$是菱形，$AC\perp BD$，即$EF\perp BD$。由(1)知四边形$EBFD$是平行四边形，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，所以四边形$EBFD$是菱形。

2. 如图,在$\triangle ABC$中,点$O是AC$边上一个动点,过点$O作直线MN// BC$,设$MN与∠BCA的平分线交于点E$,与$\triangle BCA的外角平分线CF交于点F$.
(1)求证：$OE = OF$.
(2)若$CE = 12$,$CF = 5$,求$OC$的长.
(3)连接$AE$,$AF$,当点$O在AC$边上运动到什么位置时,四边形$AECF$是矩形？请说明理由.

(1) 证明过程如上述解析，证得$OE = OF$。
(2) $OC$的长为$\frac{13}{2}$。
(3) 当点$O$运动到$AC$的中点时，四边形$AECF$是矩形，理由如上述解析。