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1. (2024·云南)如图,CD是$\odot O$的直径,点A、B在$\odot O$上.若$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC},∠AOC=36^{\circ}$,则$∠D$的度数为 ()
A.$9^{\circ}$
B.$18^{\circ}$
C.$36^{\circ}$
D.$45^{\circ}$
A.$9^{\circ}$
B.$18^{\circ}$
C.$36^{\circ}$
D.$45^{\circ}$
答案
B
解析
因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
所以$AC=BC$，
即三角形$ABC$为等腰三角形。
根据圆周角定理，圆心角$\angle AOC$为$36°$，
则圆周角$\angle D$对应的弧为$\overset{\frown}{AC}$，
圆周角$\angle D$的度数为圆心角$\angle AOC$的一半，
即$\angle D=\frac{1}{2}×\angle AOC× \frac{1}{2}（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，而此题中所对应的是等弧，所以还要再取一半）=\frac{1}{2}×36°×\frac{1}{2} =18°$，
或者根据$OA=OC, \angle AOC=36 °$，
所以$\angle OAC=\angle OCA=72°$，
所以$\angle B=72 °$，
所以$\angle D=18 °$。
所以$AC=BC$，
即三角形$ABC$为等腰三角形。
根据圆周角定理，圆心角$\angle AOC$为$36°$，
则圆周角$\angle D$对应的弧为$\overset{\frown}{AC}$，
圆周角$\angle D$的度数为圆心角$\angle AOC$的一半，
即$\angle D=\frac{1}{2}×\angle AOC× \frac{1}{2}（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，而此题中所对应的是等弧，所以还要再取一半）=\frac{1}{2}×36°×\frac{1}{2} =18°$，
或者根据$OA=OC, \angle AOC=36 °$，
所以$\angle OAC=\angle OCA=72°$，
所以$\angle B=72 °$，
所以$\angle D=18 °$。
2. 如图,点O为$\overset{\frown}{ACB}$所在圆的圆心,$∠AOC=108^{\circ}$,点D在AB的延长线上,$BD=BC$,则$∠D$的度数为 ()
A.$27^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$33^{\circ}$
D.$54^{\circ}$
A.$27^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$33^{\circ}$
D.$54^{\circ}$
答案
A
解析
1. 已知 $ ∠AOC = 108° $，且 $ O $ 为圆心，根据圆周角定理，$ ∠ABC = \frac{1}{2} ∠AOC = 54° $。
2. 在三角形 $ BCD $ 中，$ BD = BC $，所以 $ ∠BCD = ∠D $。
3. 在三角形 $ BCD $ 中，$ ∠ABC $ 为外角，等于 $ ∠BCD + ∠D $，即 $ 54° = 2∠D $。
4. 解得 $ ∠D = 27° $。
2. 在三角形 $ BCD $ 中，$ BD = BC $，所以 $ ∠BCD = ∠D $。
3. 在三角形 $ BCD $ 中，$ ∠ABC $ 为外角，等于 $ ∠BCD + ∠D $，即 $ 54° = 2∠D $。
4. 解得 $ ∠D = 27° $。
3. (2025·苏州期末)如图,$\odot O$上有三点A、B、C,连接AB、AC、OB、OC.已知$∠A=36^{\circ}$,则$∠BOC$的度数为.
答案
72°
解析
因为∠A是⊙O的圆周角，∠BOC是⊙O的圆心角，且它们所对的弧都是弧BC。根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以∠BOC=2∠A。已知∠A=36°，则∠BOC=2×36°=72°。
4. (2024·重庆B卷改编)如图,AB是$\odot O$的弦,$OC⊥AB$交$\odot O$于点C,D是$\odot O$上一点,连接BD、CD.若$∠D=28^{\circ}$,则$∠OAB$的度数为.
答案
62
解析
连接OB，
∵∠D=28°，∴∠AOB=2∠D=56°（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），
∵OC⊥AB，∴OC平分AB（垂径定理），即OC是AB的垂直平分线，
∴OA=OB（半径相等），△OAB是等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，
∴2∠OAB=180°-∠AOB=180°-56°=124°，
∴∠OAB=62°。
∵∠D=28°，∴∠AOB=2∠D=56°（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），
∵OC⊥AB，∴OC平分AB（垂径定理），即OC是AB的垂直平分线，
∴OA=OB（半径相等），△OAB是等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，
∴2∠OAB=180°-∠AOB=180°-56°=124°，
∴∠OAB=62°。
5. (2024·哈尔滨)如图,在$\odot O$中,弦AB、CD相交于点E,$AE=CE$,连接AC、BD.
(1) 求证:$AC// BD$;
(2) 连接EO并延长,交BD于点F,求证:$∠BEF=∠DEF$.
(1) 求证:$AC// BD$;
(2) 连接EO并延长,交BD于点F,求证:$∠BEF=∠DEF$.
答案
(1) ∵AE=CE，∴∠ACE=∠CAE（等边对等角）。
∵∠ACE与∠ABD都是弧AD所对的圆周角，∴∠ACE=∠ABD（同弧所对的圆周角相等）。
∵∠CAE与∠CDB都是弧BC所对的圆周角，∴∠CAE=∠CDB（同弧所对的圆周角相等）。
∴∠ABD=∠CDB（等量代换）。
∴AC//BD（内错角相等，两直线平行）。
(2) ∵AE=CE，∴E为AC中点。
∵AC的垂直平分线过圆心O，∴直线EO垂直平分AC（弦的垂直平分线过圆心）。
∴EO⊥AC。
∵AC//BD，∴EO⊥BD（垂直于平行线中的一条直线必垂直于另一条直线），即EF⊥BD。
∵EF过圆心O且EF⊥BD，∴F为BD中点（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦）。
∴EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
∴△EBD是等腰三角形。
∵EF⊥BD，∴EF平分∠BED（等腰三角形三线合一）。
即∠BEF=∠DEF。
∵∠ACE与∠ABD都是弧AD所对的圆周角，∴∠ACE=∠ABD（同弧所对的圆周角相等）。
∵∠CAE与∠CDB都是弧BC所对的圆周角，∴∠CAE=∠CDB（同弧所对的圆周角相等）。
∴∠ABD=∠CDB（等量代换）。
∴AC//BD（内错角相等，两直线平行）。
(2) ∵AE=CE，∴E为AC中点。
∵AC的垂直平分线过圆心O，∴直线EO垂直平分AC（弦的垂直平分线过圆心）。
∴EO⊥AC。
∵AC//BD，∴EO⊥BD（垂直于平行线中的一条直线必垂直于另一条直线），即EF⊥BD。
∵EF过圆心O且EF⊥BD，∴F为BD中点（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦）。
∴EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
∴△EBD是等腰三角形。
∵EF⊥BD，∴EF平分∠BED（等腰三角形三线合一）。
即∠BEF=∠DEF。
6. (2024·海南)如图,AD是半圆O的直径,点B、C在半圆上,且$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,点P在$\overset{\frown}{CD}$上.若$∠PCB=130^{\circ}$,则$∠PBA$的度数为 ()
A.$105^{\circ}$
B.$100^{\circ}$
C.$90^{\circ}$
D.$70^{\circ}$
A.$105^{\circ}$
B.$100^{\circ}$
C.$90^{\circ}$
D.$70^{\circ}$
答案
B
解析
连接OB、OC。
∵AD是半圆O的直径，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴半圆AD的度数为180°，故$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=60°$，
∴圆心角$∠AOB=∠BOC=∠COD=60°$。
∵点P在$\overset{\frown}{CD}$上，$∠PCB=130°$，
∠PCB是优弧PB所对的圆周角，
∴优弧PB的度数$=2∠PCB=2×130°=260°$，
∴劣弧PB的度数$=360°-260°=100°$。
劣弧PB由$\overset{\frown}{PC}$和$\overset{\frown}{CB}$组成，$\overset{\frown}{CB}=60°$，
∴$\overset{\frown}{PC}=100°-60°=40°$。
劣弧PB对应的圆心角$∠POB=100°$，
在△POB中，OB=OP（半径），
∴$∠OBP=\frac{180°-100°}{2}=40°$。
∵OA=OB，$∠AOB=60°$，
∴△OAB是等边三角形，$∠OBA=60°$。
∴$∠PBA=∠OBA+∠OBP=60°+40°=100°$。
∵AD是半圆O的直径，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴半圆AD的度数为180°，故$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=60°$，
∴圆心角$∠AOB=∠BOC=∠COD=60°$。
∵点P在$\overset{\frown}{CD}$上，$∠PCB=130°$，
∠PCB是优弧PB所对的圆周角，
∴优弧PB的度数$=2∠PCB=2×130°=260°$，
∴劣弧PB的度数$=360°-260°=100°$。
劣弧PB由$\overset{\frown}{PC}$和$\overset{\frown}{CB}$组成，$\overset{\frown}{CB}=60°$，
∴$\overset{\frown}{PC}=100°-60°=40°$。
劣弧PB对应的圆心角$∠POB=100°$，
在△POB中，OB=OP（半径），
∴$∠OBP=\frac{180°-100°}{2}=40°$。
∵OA=OB，$∠AOB=60°$，
∴△OAB是等边三角形，$∠OBA=60°$。
∴$∠PBA=∠OBA+∠OBP=60°+40°=100°$。
