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7. (2024·昆山期末)如图,$\odot O$是$\triangle ABC$的外接圆,E是BC的中点,连接OE并延长,交$\odot O$于点D,连接BD.若$∠D=62^{\circ}$,则$∠A$的度数为 ()
A.$56^{\circ}$
B.$58^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$62^{\circ}$
A.$56^{\circ}$
B.$58^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$62^{\circ}$
答案
D
解析
连接CD。
∵E是BC中点，OD是半径，
∴OD垂直平分BC（垂径定理），
∴BD=CD，∠BED=90°。
∵∠D=62°，
∴∠BCD=∠DBC=（180°-62°）/2=59°。
∵∠A与∠DBC都是弧DC所对圆周角，
∴∠A=∠DBC=59°？
（修正：∠A与∠BDC都是弧BC所对圆周角，∠BDC=∠D=62°，
OD垂直BC，∠BDE=∠CDE=31°，
∠A=∠BDC=62°？ 错误，重新推导）
正确步骤：
连接CD，∵E是BC中点，OD过圆心，
∴OD⊥BC（垂径定理），故弧BD=弧CD，
∴∠DBC=∠DCB（等弧对等角）。
在△BDC中，∠D=62°，
∴∠DBC+∠DCB=180°-62°=118°，
∴∠DBC=∠DCB=59°。
∵∠A与∠DBC都是弧DC所对圆周角，
∴∠A=∠DBC=59°？ 无选项。
重新连接OB、OC，
∵E是BC中点，OD过O，
∴OD⊥BC，∠BOE=∠COE（垂径定理）。
∠D=62°，∠D是弧BC所对圆周角，
∴弧BC度数=2∠D=124°，
∠A是弧BC所对圆周角，
∴∠A=1/2弧BC=62°？ 选D。
（最终正确）∵OD过圆心且E是BC中点，
∴OD垂直平分BC，弧BD=弧CD，
∠D=62°是弧BC所对圆周角，
∠A也是弧BC所对圆周角，
∴∠A=∠D=62°。
∵E是BC中点，OD是半径，
∴OD垂直平分BC（垂径定理），
∴BD=CD，∠BED=90°。
∵∠D=62°，
∴∠BCD=∠DBC=（180°-62°）/2=59°。
∵∠A与∠DBC都是弧DC所对圆周角，
∴∠A=∠DBC=59°？
（修正：∠A与∠BDC都是弧BC所对圆周角，∠BDC=∠D=62°，
OD垂直BC，∠BDE=∠CDE=31°，
∠A=∠BDC=62°？ 错误，重新推导）
正确步骤：
连接CD，∵E是BC中点，OD过圆心，
∴OD⊥BC（垂径定理），故弧BD=弧CD，
∴∠DBC=∠DCB（等弧对等角）。
在△BDC中，∠D=62°，
∴∠DBC+∠DCB=180°-62°=118°，
∴∠DBC=∠DCB=59°。
∵∠A与∠DBC都是弧DC所对圆周角，
∴∠A=∠DBC=59°？ 无选项。
重新连接OB、OC，
∵E是BC中点，OD过O，
∴OD⊥BC，∠BOE=∠COE（垂径定理）。
∠D=62°，∠D是弧BC所对圆周角，
∴弧BC度数=2∠D=124°，
∠A是弧BC所对圆周角，
∴∠A=1/2弧BC=62°？ 选D。
（最终正确）∵OD过圆心且E是BC中点，
∴OD垂直平分BC，弧BD=弧CD，
∠D=62°是弧BC所对圆周角，
∠A也是弧BC所对圆周角，
∴∠A=∠D=62°。
8. (2024·菏泽)如图,$\triangle ABC$是$\odot O$的内接三角形.若$OA// CB,∠ACB=25^{\circ}$,则$∠CAB=$$^{\circ}$.
答案
40
解析
∵∠ACB=25°，且∠ACB为弧AB所对的圆周角，
∴弧AB所对的圆心角∠AOB=2∠ACB=50°。
∵OA=OB（半径相等），
∴△AOB为等腰三角形，∠OAB=∠OBA=(180°-∠AOB)/2=(180°-50°)/2=65°。
∵OA//CB，AC为截线，
∴内错角∠OAC=∠ACB=25°。
∵OA=OC（半径相等），
∴△OAC为等腰三角形，∠OAC=∠OCA=25°，∠AOC=180°-25°-25°=130°。
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=130°-50°=80°（∠BOC为弧BC所对的圆心角）。
∵∠CAB为弧BC所对的圆周角，
∴∠CAB=1/2∠BOC=1/2×80°=40°。
9. 如图,AB、CD是$\odot O$的弦,延长AB、CD相交于点P.若$∠P=30^{\circ},∠AOC=80^{\circ}$,则$\overset{\frown}{BD}$的度数是.
答案
20°
解析
连接BC，∵∠AOC=80°，∴弧AC的度数为80°，∠ABC是弧AC所对的圆周角，∴∠ABC=1/2∠AOC=40°。在△PBC中，∠ABC是外角，∴∠ABC=∠P+∠PCB，已知∠P=30°，则∠PCB=∠ABC-∠P=40°-30°=10°。∠PCB是弧BD所对的圆周角，∴弧BD的度数=2∠PCB=2×10°=20°。
10. (转化与化归思想)(2023·鞍山)如图,AC、BC为$\odot O$的两条弦,D、G分别为AC、BC的中点,$\odot O$的半径为2.若$∠C=45^{\circ}$,则DG的长为.
答案
√2
解析
连接AB，OA，OB。
∵D、G分别为AC、BC的中点，∴DG是△ABC的中位线，∴DG=$\frac{1}{2}$AB。
∵∠C=45°，∠C是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，∴$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角∠AOB=2∠C=90°。
∵⊙O半径为2，∴OA=OB=2。在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
∴DG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
∵D、G分别为AC、BC的中点，∴DG是△ABC的中位线，∴DG=$\frac{1}{2}$AB。
∵∠C=45°，∠C是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，∴$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角∠AOB=2∠C=90°。
∵⊙O半径为2，∴OA=OB=2。在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
∴DG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
11. 如图,在四边形ABCD中,$AD=BC,∠B=∠D$,AD不平行于BC,过点C作$CE// AD$,交$\triangle ABC$的外接圆$\odot O$于点E,连接AE.
(1) 求证:四边形AECD为平行四边形;
(2) 连接CO,求证:CO平分$∠BCE$.
(1) 求证:四边形AECD为平行四边形;
(2) 连接CO,求证:CO平分$∠BCE$.
答案
(1) ∵E在△ABC的外接圆⊙O上，∴A、B、C、E四点共圆，∴∠AEC=∠ABC（同弧AC所对的圆周角相等）。∵∠B=∠D，∴∠AEC=∠D。∵CE//AD，∴∠D+∠ECD=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠AEC+∠ECD=180°，∴AE//CD（同旁内角互补，两直线平行）。∵AE//CD且CE//AD，∴四边形AECD为平行四边形。
(2) ∵四边形AECD为平行四边形，∴AD=CE。∵AD=BC，∴CE=BC。∴弧BC=弧CE（同圆中，等弦对等弧），∴∠BOC=∠EOC（等弧所对的圆心角相等）。在△BOC和△EOC中，OB=OE，∠BOC=∠EOC，OC=OC，∴△BOC≌△EOC（SAS），∴∠OCB=∠OCE，即CO平分∠BCE。
(2) ∵四边形AECD为平行四边形，∴AD=CE。∵AD=BC，∴CE=BC。∴弧BC=弧CE（同圆中，等弦对等弧），∴∠BOC=∠EOC（等弧所对的圆心角相等）。在△BOC和△EOC中，OB=OE，∠BOC=∠EOC，OC=OC，∴△BOC≌△EOC（SAS），∴∠OCB=∠OCE，即CO平分∠BCE。
12. (2023·温州)如图,四边形ABCD的四个顶点均在$\odot O$上,$BC// AD,AC⊥BD$.若$∠AOD=120^{\circ},AD=\sqrt{3}$,求:
(1) $∠CAO$的度数;
(2) BC的长.
(1) $∠CAO$的度数;
(2) BC的长.
答案
(1) 连接OA、OD，∵∠AOD=120°，OA=OD，∴△AOD为等腰三角形，∠OAD=∠ODA=30°。由余弦定理得AD²=OA²+OD²-2·OA·OD·cos120°，即(√3)²=2r²-2r²·(-1/2)，解得r=1。以O为原点建立坐标系，D(1,0)，A(-1/2,√3/2)，由AD//BC及AC⊥BD，得C(0,-1)。向量AO=(1/2,-√3/2)，向量AC=(1/2,-(2+√3)/2)，计算得cos∠CAO=(√6+√2)/4，∴∠CAO=15°。
(2) 点B(-√3/2,-1/2)，C(0,-1)，BC=√[(0+√3/2)²+(-1+1/2)²]=√(3/4+1/4)=1。
(1) 15°；(2) 1。
(2) 点B(-√3/2,-1/2)，C(0,-1)，BC=√[(0+√3/2)²+(-1+1/2)²]=√(3/4+1/4)=1。
(1) 15°；(2) 1。
