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8. (新考法·综合与实践)(2024·凉山)数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案如下：在工件圆弧上任取两点$A$、$B$，连接$AB$，作$AB$的垂直平分线$CD$交$AB$于点$D$，交$\overset{\frown}{AB}$于点$C$，测出$AB = 40\mathrm{cm}$，$CD = 10\mathrm{cm}$，则圆形工件的半径为$\mathrm{cm}$。
答案
25
解析
设圆形工件的圆心为O，半径为r cm。连接OA，OD。
因为CD是AB的垂直平分线，所以圆心O在CD上。
已知AB=40cm，所以AD=20cm。
CD=10cm，设OD=x cm，则OC=OD+CD=(x+10)cm，又因为OC=OA=r，所以r=x+10，即x=r-10。
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD²+OD²=OA²，即20²+x²=r²。
将x=r-10代入得：20²+(r-10)²=r²，
展开得：400 + r² - 20r + 100 = r²，
化简得：500 - 20r = 0，解得r=25。
因为CD是AB的垂直平分线，所以圆心O在CD上。
已知AB=40cm，所以AD=20cm。
CD=10cm，设OD=x cm，则OC=OD+CD=(x+10)cm，又因为OC=OA=r，所以r=x+10，即x=r-10。
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD²+OD²=OA²，即20²+x²=r²。
将x=r-10代入得：20²+(r-10)²=r²，
展开得：400 + r² - 20r + 100 = r²，
化简得：500 - 20r = 0，解得r=25。
9. 如图，在$5×7$的网格中，各小正方形的边长均为$1$，点$O$、$A$、$B$、$C$、$D$、$E$均在格点上，点$O$是$\triangle ABC$的外心，在不添加其他字母的情况下，则除$\triangle ABC$外，外心也是点$O$的三角形为。
答案
△ADC
解析
首先，外心是三角形三边垂直平分线的交点，即到三角形三个顶点距离相等的点。已知点O是△ABC的外心，故OA=OB=OC。通过网格确定各点坐标，计算得OA=OB=OC=√5。再计算D、E到O的距离，发现OD=√5（与OA相等），而E到O的距离不等于√5。因此，点A、C、D到O的距离均为√5，故△ADC的外心也是点O。
10. 在如图所示的方格纸中，每个方格的边长为$1$，$A$、$O$两点均在格线的交点上。若在此方格纸格线的交点上另外找两点$B$、$C$，使得$\triangle ABC$的外心为点$O$，则$BC$的长为。
答案
4
解析
以O为原点建立坐标系，设O(0,0)，由图知A(2,2)，则OA=√(2²+2²)=2√2。外心为O，故OB=OC=OA=2√2，格点中满足条件的B、C可为(2,-2)、(-2,-2)。BC=√[(-2-2)²+(-2+2)²]=√[(-4)²+0²]=4。
11. 已知平面直角坐标系中的三个点$A(1,-1)$、$B(-2,5)$、$C(4,-6)$，则$A$、$B$、$C$这三个点确定一个圆(填“可以”或“不可以”)。
答案
可以
解析
要判断三个点$A(1,-1)$、$B(-2,5)$、$C(4,-6)$是否可以确定一个圆，需要验证这三个点是否不共线。
首先，计算两点间的斜率：
$k_{AB} = \frac{5 - (-1)}{-2 - 1} = \frac{6}{-3} = -2$，
$k_{AC} = \frac{-6 - (-1)}{4 - 1} = \frac{-5}{3}$，
由于 $k_{AB} \neq k_{AC}$，所以点$A$、$B$、$C$不共线。
因此，这三个点可以确定一个圆。
首先，计算两点间的斜率：
$k_{AB} = \frac{5 - (-1)}{-2 - 1} = \frac{6}{-3} = -2$，
$k_{AC} = \frac{-6 - (-1)}{4 - 1} = \frac{-5}{3}$，
由于 $k_{AB} \neq k_{AC}$，所以点$A$、$B$、$C$不共线。
因此，这三个点可以确定一个圆。
12. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD$是$\angle BAC$的平分线，$EF$是$AC$的垂直平分线，交$AB$、$AD$、$AC$于点$E$、$O$、$F$。若$AB = 4$，$OF = 1$，求$\triangle ABC$的外接圆的面积。
答案
∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分BC（等腰三角形三线合一）。
∵EF是AC的垂直平分线，∴F为AC中点，AF=FC=2，且EF⊥AC。
在Rt△AFO中，AF=2，OF=1，∠AFO=90°，
∴AO²=AF²+OF²=2²+1²=5，即AO=√5。
∵EF是AC的垂直平分线，AD是BC的垂直平分线，
∴EF与AD的交点O为△ABC外接圆的圆心（外心），
∴外接圆半径R=AO=√5。
∴△ABC外接圆的面积=πR²=π(√5)²=5π。
5π
∵EF是AC的垂直平分线，∴F为AC中点，AF=FC=2，且EF⊥AC。
在Rt△AFO中，AF=2，OF=1，∠AFO=90°，
∴AO²=AF²+OF²=2²+1²=5，即AO=√5。
∵EF是AC的垂直平分线，AD是BC的垂直平分线，
∴EF与AD的交点O为△ABC外接圆的圆心（外心），
∴外接圆半径R=AO=√5。
∴△ABC外接圆的面积=πR²=π(√5)²=5π。
5π
13. (分类讨论思想)如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 5$，$BC = 6$，$\odot O$经过$B$、$C$两点，且$AO = 3$，求$\odot O$的半径。
答案
解：
1. 构建坐标系与计算AD：
△ABC为等腰三角形，AB=AC=5，BC=6，作BC垂直平分线AD，D为BC中点，则BD=DC=3。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
2. 确定点坐标：
以D为原点，BC为x轴，AD为y轴建立坐标系，得：
B(-3,0)，C(3,0)，A(0,4)，D(0,0)。
3. 分析圆心位置：
⊙O过B、C，故圆心O在BC垂直平分线（y轴）上，设O(0,y)。
由AO=3，A(0,4)，得$|y-4|=3$，解得$y=1$或$y=7$。
4. 计算半径：
当O(0,1)时，半径$OB=\sqrt{(-3-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$；
当O(0,7)时，半径$OB=\sqrt{(-3-0)^2+(0-7)^2}=\sqrt{9+49}=\sqrt{58}$。
结论：⊙O的半径为$\sqrt{10}$或$\sqrt{58}$。
1. 构建坐标系与计算AD：
△ABC为等腰三角形，AB=AC=5，BC=6，作BC垂直平分线AD，D为BC中点，则BD=DC=3。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
2. 确定点坐标：
以D为原点，BC为x轴，AD为y轴建立坐标系，得：
B(-3,0)，C(3,0)，A(0,4)，D(0,0)。
3. 分析圆心位置：
⊙O过B、C，故圆心O在BC垂直平分线（y轴）上，设O(0,y)。
由AO=3，A(0,4)，得$|y-4|=3$，解得$y=1$或$y=7$。
4. 计算半径：
当O(0,1)时，半径$OB=\sqrt{(-3-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$；
当O(0,7)时，半径$OB=\sqrt{(-3-0)^2+(0-7)^2}=\sqrt{9+49}=\sqrt{58}$。
结论：⊙O的半径为$\sqrt{10}$或$\sqrt{58}$。
