1. 如图,在$ \triangle ABC $中,$ AB = AC $,点$ D 在 AB $边上,点$ E 在 AC $边的延长线上,且$ BD = CE $,$ DE 交 BC 于点 F $。求证：$ DF = EF $。

证法一:过点 D 作 $ DM // AC $ 交 BC 于点 M,先证 $ BD = DM = CE $,再证 $ \triangle DMF \cong \triangle ECF $;
证法二:过点 E 作 $ EN // AB $ 交 BC 的延长线于点 N,证 $ \triangle DBF \cong \triangle ENF $;
证法三:过点 D 作 $ DG \perp BC $ 于点 G,过点 E 作 $ EM \perp BC $ 于点 M,证 $ \triangle BDG \cong \triangle CEM $, $ \triangle DGF \cong \triangle EMF $.

2. 如图,在$ \triangle ABC $中,$ CA = CB $,$ D 在 AC $的延长线上,$ E 在 BC $上,且$ CD = CE $。求证：$ DE \perp AB $。

证明:方法一:过点 D 作 $ DM // AB $ 交 BC 的延长线于点 M 即可得证;
方法二:过点 C 作 $ CM // AB $ 交 DE 于点 M 也可;
方法三:过点 C 作 $ CM \perp AB $ 于点 M,再证 $ DE // CM $ 也可;
方法四:过点 E 作 $ EM // AB $ 交 AC 于点 M,由 $ \angle CME = \angle CEM $, $ \angle D = \angle CED $,可得 $ \angle D + \angle DME = 90^\circ $,即可得证.

3. 如图,在$ \triangle ABC $中,$ \angle ACB = 2 \angle B $,$ CE 为 \triangle ABC $的角平分线,$ AF \perp CE 于点 F $。求证：$ AB = 2CF $。

证明: $ \because CE $ 为 $ \angle ABC $ 的角平分线, $ \therefore \angle ACB = 2 \angle ECB $.
又 $ \because \angle ACB = 2 \angle B $, $ \therefore \angle ECB = \angle B $, $ \therefore BE = EC $.
过点 A 作 $ AH // BC $, 交 CF 延长线于点 H,则 $ \angle ECB = \angle H $, $ \angle B = \angle HAE $,
$ \because \angle ECB = \angle ACH $, $ \angle ECB = \angle B $, $ \therefore \angle H = \angle ACH = \angle HAE $, $ \therefore HE = AE $, $ AH = AC $.
又 $ \because AB = CE $, $ \therefore AE + BE = HE + CE $,即 $ AB = CH $.
$ \because AF \perp CE $, $ \therefore HF = CF $, $ \therefore AB = HC = 2CF $.