1. 如图,在$△ABC$中,$AD$为中线,$E为AB$上一点,$AD$,$CE交于点F$,且$AE= EF$。求证：$AB= CF$。

证明: 方法一: 延长 $ AD $ 至点 $ G $, 使 $ DG = AD $, 连接 $ CG $, 易证 $ \triangle ABD \cong \triangle GCD $.
$ \therefore AB = CG $, 再证 $ \angle G = \angle EAF = \angle EFA = \angle GFC $,
$ \therefore CG = CF $,
$ \therefore AB = CF $;
方法二: 延长 $ AD $ 至点 $ M $, 使 $ DM = DF $, 连接 $ BM $, 同理可证 $ CF = BM = AB $;
方法三: 过点 $ B $ 作 $ BM \perp AD $ 于点 $ M $, 过点 $ C $ 作 $ CN \perp AD $ 于点 $ N $.
先证 $ \triangle BMD \cong \triangle CND $,
$ \therefore BM = CN $. 再证 $ \triangle ABM \cong \triangle FCN $ 即可.

2. (原创题)如图,在$△ABC$中,$AB= BC$,延长$CA至点D$,使$AD= AC$,$E为AB$上一点,连接$DE$,满足$∠AED= ∠B$。求证：$DE-BE= AE$。

证明: 延长 $ EA $ 至点 $ F $, 使 $ AF = AE $, 连接 $ CF $.
$ \because AD = AC $, $ \angle DAE = \angle CAF $,
$ \therefore \triangle ADE \cong \triangle ACF(SAS) $,
$ \therefore DE = CF $,
$ \angle AED = \angle F $.
$ \because \angle AED = \angle B $,
$ \therefore \angle F = \angle B $,
$ \therefore BC = CF = DE = AB $.
$ \because AB - BE = AE $,
$ \therefore DE - BE = AE $.

3. 如图,$AD为△ABC$的角平分线,$E为BC$的中点,$EF// AD交BA的延长线于点F$,交$AC于点G$。
(1)求证：$AF= AG$；
(2)求证：$BF= CG$；
(3)求证：$AB+AC= 2CG$。

证明: (1) $ \because AD $ 平分 $ \angle BAC $,
$ \therefore \angle BAD = \angle DAC $.
$ \because AD // EF $,
$ \therefore \angle BAD = \angle F $,
$ \angle DAC = \angle AGF $,
$ \therefore \angle AGF = \angle F $,
$ \therefore AF = AG $;
(2) 延长 $ GE $ 至点 $ M $, 使 $ EM = EG $, 连接 $ BM $, 则 $ \triangle CEG \cong \triangle BEM $,
$ \therefore \angle CGE = \angle M $, $ CG = BM = BF $;
(3) $ AB + AC = (BF - AF) + (CG + AG) $
$ = BF + CG $
$ = 2CG $.