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2. 【跨学科·数学】如图12-4-11显示的是甲、乙两机械的参数。甲、乙相比,甲的()
A.总功较大
B.有用功较小
C.额外功较大
D.机械效率较低
A.总功较大
B.有用功较小
C.额外功较大
D.机械效率较低
答案
B
解析
【分析】
要判断甲、乙机械的总功、有用功、额外功和机械效率的大小关系，需先根据饼图中的比例和已知功，分别计算出甲、乙的总功、有用功、额外功和机械效率，再逐一对比选项。具体思路：
1. 对于甲机械：已知有用功为1500J，占总功的75%，可先求出总功，再计算额外功，机械效率为75%；
2. 对于乙机械：已知额外功为900J，占总功的30%，先求出总功，再计算有用功，机械效率为70%；
3. 将计算结果与各选项对比，得出正确结论。
【解析】
计算甲机械的相关物理量：
已知甲的有用功$ W_{甲有}=1500\ \mathrm{J} $，占总功的75%，则甲的总功：
$ W_{甲总}=\frac{W_{甲有}}{75\%}=\frac{1500\ \mathrm{J}}{0.75}=2000\ \mathrm{J} $
甲的额外功：
$ W_{甲额}=W_{甲总}-W_{甲有}=2000\ \mathrm{J}-1500\ \mathrm{J}=500\ \mathrm{J} $
甲的机械效率$ \eta_{甲}=75\% $
计算乙机械的相关物理量：
已知乙的额外功$ W_{乙额}=900\ \mathrm{J} $，占总功的30%，则乙的总功：
$ W_{乙总}=\frac{W_{乙额}}{30\%}=\frac{900\ \mathrm{J}}{0.3}=3000\ \mathrm{J} $
乙的有用功：
$ W_{乙有}=W_{乙总} × 70\%=3000\ \mathrm{J} × 0.7=2100\ \mathrm{J} $
乙的机械效率$ \eta_{乙}=70\% $
对比选项：
选项A：甲总功$ 2000\ \mathrm{J} $，乙总功$ 3000\ \mathrm{J} $，甲总功更小，A错误；
选项B：甲有用功$ 1500\ \mathrm{J} $，乙有用功$ 2100\ \mathrm{J} $，甲有用功更小，B正确；
选项C：甲额外功$ 500\ \mathrm{J} $，乙额外功$ 900\ \mathrm{J} $，甲额外功更小，C错误；
选项D：甲机械效率$ 75\% $，乙机械效率$ 70\% $，甲机械效率更高，D错误。
【答案】
B
【知识点】
机械效率计算；总功有用功额外功的关系
【点评】
本题结合数学饼图信息，考查机械效率、总功、有用功、额外功的计算，解题关键是根据比例关系准确计算出各机械的相关物理量，再进行对比分析。
【难度系数】
0.6
要判断甲、乙机械的总功、有用功、额外功和机械效率的大小关系，需先根据饼图中的比例和已知功，分别计算出甲、乙的总功、有用功、额外功和机械效率，再逐一对比选项。具体思路：
1. 对于甲机械：已知有用功为1500J，占总功的75%，可先求出总功，再计算额外功，机械效率为75%；
2. 对于乙机械：已知额外功为900J，占总功的30%，先求出总功，再计算有用功，机械效率为70%；
3. 将计算结果与各选项对比，得出正确结论。
【解析】
计算甲机械的相关物理量：
已知甲的有用功$ W_{甲有}=1500\ \mathrm{J} $，占总功的75%，则甲的总功：
$ W_{甲总}=\frac{W_{甲有}}{75\%}=\frac{1500\ \mathrm{J}}{0.75}=2000\ \mathrm{J} $
甲的额外功：
$ W_{甲额}=W_{甲总}-W_{甲有}=2000\ \mathrm{J}-1500\ \mathrm{J}=500\ \mathrm{J} $
甲的机械效率$ \eta_{甲}=75\% $
计算乙机械的相关物理量：
已知乙的额外功$ W_{乙额}=900\ \mathrm{J} $，占总功的30%，则乙的总功：
$ W_{乙总}=\frac{W_{乙额}}{30\%}=\frac{900\ \mathrm{J}}{0.3}=3000\ \mathrm{J} $
乙的有用功：
$ W_{乙有}=W_{乙总} × 70\%=3000\ \mathrm{J} × 0.7=2100\ \mathrm{J} $
乙的机械效率$ \eta_{乙}=70\% $
对比选项：
选项A：甲总功$ 2000\ \mathrm{J} $，乙总功$ 3000\ \mathrm{J} $，甲总功更小，A错误；
选项B：甲有用功$ 1500\ \mathrm{J} $，乙有用功$ 2100\ \mathrm{J} $，甲有用功更小，B正确；
选项C：甲额外功$ 500\ \mathrm{J} $，乙额外功$ 900\ \mathrm{J} $，甲额外功更小，C错误；
选项D：甲机械效率$ 75\% $，乙机械效率$ 70\% $，甲机械效率更高，D错误。
【答案】
B
【知识点】
机械效率计算；总功有用功额外功的关系
【点评】
本题结合数学饼图信息，考查机械效率、总功、有用功、额外功的计算，解题关键是根据比例关系准确计算出各机械的相关物理量，再进行对比分析。
【难度系数】
0.6
3. 【学科综合】小吉站在水平地面上,利用如图12-4-12甲所示装置从竖直深井中提取泥土。已知他受到的重力为600 N,与地面的接触面积为$0.04\ \mathrm{m}^{2}$,动滑轮与筐受到的重力均为20 N。若将泥土以$0.5\ \mathrm{m/s}$的速度匀速提起,在此过程中,小吉的拉力$F$所做的功随时间变化的图像如图12-4-12乙所示(不计绳重及摩擦,$g$取$10\ \mathrm{N/kg}$)。求：
(1)拉力做功的功率及拉力大小。
(2)此时小吉对地面的压强。
(3)利用该装置提升泥土的机械效率(结果精确至0.1%)。
(1)拉力做功的功率及拉力大小。
(2)此时小吉对地面的压强。
(3)利用该装置提升泥土的机械效率(结果精确至0.1%)。
答案
（1）解：由题图乙知，在$4\ \mathrm{s}$时间内，拉力做的总功$W_{\mathrm{总}}=720\ \mathrm{J}$，
拉力的功率$P=\frac{W_{\mathrm{总}}}{t}=\frac{720\ \mathrm{J}}{4\ \mathrm{s}}=180\ \mathrm{W}$；
$ 4\ \mathrm{s}$内泥土上升的高度$h=v_{\mathrm{泥}}t=0.5\ \mathrm{m/s}×4\ \mathrm{s}=2\ \mathrm{m}$，
绳端移动的距离$s=nh=2×2\ \mathrm{m}=4\ \mathrm{m}$，
拉力的大小$F=\frac{W_{\mathrm{总}}}{s}=\frac{720\ \mathrm{J}}{4\ \mathrm{m}}=180\ \mathrm{N}$。
（2）解：此时小吉对水平地面的压力$F_{\mathrm{压}}=G-F=600\ \mathrm{N}-180\ \mathrm{N}=420\ \mathrm{N}$，
小吉对地面的压强$p=\frac{F_{\mathrm{压}}}{S}=\frac{420\ \mathrm{N}}{0.04\ \mathrm{m}^2}=1.05×10^4\ \mathrm{Pa}$。
（3）解：不计绳重及摩擦，根据$F=\frac{1}{n}(G_{\mathrm{泥}}+G_{\mathrm{动}}+G_{\mathrm{筐}})$可得，
泥土受到的重力$G_{\mathrm{泥}}=nF-G_{\mathrm{动}}-G_{\mathrm{筐}}=2×180\ \mathrm{N}-20\ \mathrm{N}-20\ \mathrm{N}=320\ \mathrm{N}$，
$ 4\ \mathrm{s}$内拉力做的有用功$W_{\mathrm{有用}}=G_{\mathrm{泥}}h=320\ \mathrm{N}×2\ \mathrm{m}=640\ \mathrm{J}$，
滑轮组的机械效率$\eta=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}=\frac{640\ \mathrm{J}}{720\ \mathrm{J}}≈0.889=88.9\%$。
拉力的功率$P=\frac{W_{\mathrm{总}}}{t}=\frac{720\ \mathrm{J}}{4\ \mathrm{s}}=180\ \mathrm{W}$；
$ 4\ \mathrm{s}$内泥土上升的高度$h=v_{\mathrm{泥}}t=0.5\ \mathrm{m/s}×4\ \mathrm{s}=2\ \mathrm{m}$，
绳端移动的距离$s=nh=2×2\ \mathrm{m}=4\ \mathrm{m}$，
拉力的大小$F=\frac{W_{\mathrm{总}}}{s}=\frac{720\ \mathrm{J}}{4\ \mathrm{m}}=180\ \mathrm{N}$。
（2）解：此时小吉对水平地面的压力$F_{\mathrm{压}}=G-F=600\ \mathrm{N}-180\ \mathrm{N}=420\ \mathrm{N}$，
小吉对地面的压强$p=\frac{F_{\mathrm{压}}}{S}=\frac{420\ \mathrm{N}}{0.04\ \mathrm{m}^2}=1.05×10^4\ \mathrm{Pa}$。
（3）解：不计绳重及摩擦，根据$F=\frac{1}{n}(G_{\mathrm{泥}}+G_{\mathrm{动}}+G_{\mathrm{筐}})$可得，
泥土受到的重力$G_{\mathrm{泥}}=nF-G_{\mathrm{动}}-G_{\mathrm{筐}}=2×180\ \mathrm{N}-20\ \mathrm{N}-20\ \mathrm{N}=320\ \mathrm{N}$，
$ 4\ \mathrm{s}$内拉力做的有用功$W_{\mathrm{有用}}=G_{\mathrm{泥}}h=320\ \mathrm{N}×2\ \mathrm{m}=640\ \mathrm{J}$，
滑轮组的机械效率$\eta=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}=\frac{640\ \mathrm{J}}{720\ \mathrm{J}}≈0.889=88.9\%$。
解析
【分析】
1. 对于拉力做功的功率和拉力大小：首先从图乙中获取4s内拉力做的总功，利用功率公式$P=\frac{W}{t}$计算功率；接着根据泥土上升速度和时间算出上升高度，结合甲图中滑轮组的绳子段数$n=2$，算出绳端移动距离，再由$W=Fs$变形求出拉力大小。
2. 对于小吉对地面的压强：小吉对地面的压力等于自身重力减去绳子对他的拉力（拉力与他对绳子的拉力是相互作用力，大小相等），再利用压强公式$p=\frac{F}{S}$计算压强。
3. 对于机械效率：先根据滑轮组拉力公式$F=\frac{1}{n}(G_{\mathrm{泥}}+G_{\mathrm{动}}+G_{\mathrm{筐}})$变形求出泥土的重力，再计算提升泥土做的有用功，最后用机械效率公式$\eta=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}×100\%$求出机械效率。
【解析】
(1) 由图乙可知，$t=4\ \mathrm{s}$时，拉力做的总功$W_{\mathrm{总}}=720\ \mathrm{J}$，
拉力做功的功率：
$P=\frac{W_{\mathrm{总}}}{t}=\frac{720\ \mathrm{J}}{4\ \mathrm{s}}=180\ \mathrm{W}$；
泥土上升的高度：
$h=v_{\mathrm{泥}}t=0.5\ \mathrm{m/s}×4\ \mathrm{s}=2\ \mathrm{m}$，
由图甲可知，滑轮组绳子段数$n=2$，则绳端移动的距离：
$s=nh=2×2\ \mathrm{m}=4\ \mathrm{m}$，
由$W=Fs$得拉力大小：
$F=\frac{W_{\mathrm{总}}}{s}=\frac{720\ \mathrm{J}}{4\ \mathrm{m}}=180\ \mathrm{N}$。
(2) 小吉对地面的压力：
$F_{\mathrm{压}}=G_{\mathrm{人}}-F=600\ \mathrm{N}-180\ \mathrm{N}=420\ \mathrm{N}$，
小吉对地面的压强：
$p=\frac{F_{\mathrm{压}}}{S}=\frac{420\ \mathrm{N}}{0.04\ \mathrm{m}^2}=1.05×10^4\ \mathrm{Pa}$。
(3) 不计绳重及摩擦，由$F=\frac{1}{n}(G_{\mathrm{泥}}+G_{\mathrm{动}}+G_{\mathrm{筐}})$可得泥土的重力：
$G_{\mathrm{泥}}=nF-G_{\mathrm{动}}-G_{\mathrm{筐}}=2×180\ \mathrm{N}-20\ \mathrm{N}-20\ \mathrm{N}=320\ \mathrm{N}$，
4s内拉力做的有用功：
$W_{\mathrm{有用}}=G_{\mathrm{泥}}h=320\ \mathrm{N}×2\ \mathrm{m}=640\ \mathrm{J}$，
滑轮组的机械效率：
$\eta=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}×100\%=\frac{640\ \mathrm{J}}{720\ \mathrm{J}}×100\%\approx88.9\%$。
【答案】
(1) 拉力做功的功率为$180\ \mathrm{W}$，拉力大小为$180\ \mathrm{N}$；
(2) 小吉对地面的压强为$1.05×10^4\ \mathrm{Pa}$；
(3) 提升泥土的机械效率约为$88.9\%$。
【知识点】
滑轮组的计算、功率的计算、压强的计算
【点评】
本题综合考查了滑轮组、功率、压强的相关计算，需要结合图像获取数据，熟练运用相关公式，同时注意相互作用力的关系在压力计算中的应用。
【难度系数】
0.7
1. 对于拉力做功的功率和拉力大小：首先从图乙中获取4s内拉力做的总功，利用功率公式$P=\frac{W}{t}$计算功率；接着根据泥土上升速度和时间算出上升高度，结合甲图中滑轮组的绳子段数$n=2$，算出绳端移动距离，再由$W=Fs$变形求出拉力大小。
2. 对于小吉对地面的压强：小吉对地面的压力等于自身重力减去绳子对他的拉力（拉力与他对绳子的拉力是相互作用力，大小相等），再利用压强公式$p=\frac{F}{S}$计算压强。
3. 对于机械效率：先根据滑轮组拉力公式$F=\frac{1}{n}(G_{\mathrm{泥}}+G_{\mathrm{动}}+G_{\mathrm{筐}})$变形求出泥土的重力，再计算提升泥土做的有用功，最后用机械效率公式$\eta=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}×100\%$求出机械效率。
【解析】
(1) 由图乙可知，$t=4\ \mathrm{s}$时，拉力做的总功$W_{\mathrm{总}}=720\ \mathrm{J}$，
拉力做功的功率：
$P=\frac{W_{\mathrm{总}}}{t}=\frac{720\ \mathrm{J}}{4\ \mathrm{s}}=180\ \mathrm{W}$；
泥土上升的高度：
$h=v_{\mathrm{泥}}t=0.5\ \mathrm{m/s}×4\ \mathrm{s}=2\ \mathrm{m}$，
由图甲可知，滑轮组绳子段数$n=2$，则绳端移动的距离：
$s=nh=2×2\ \mathrm{m}=4\ \mathrm{m}$，
由$W=Fs$得拉力大小：
$F=\frac{W_{\mathrm{总}}}{s}=\frac{720\ \mathrm{J}}{4\ \mathrm{m}}=180\ \mathrm{N}$。
(2) 小吉对地面的压力：
$F_{\mathrm{压}}=G_{\mathrm{人}}-F=600\ \mathrm{N}-180\ \mathrm{N}=420\ \mathrm{N}$，
小吉对地面的压强：
$p=\frac{F_{\mathrm{压}}}{S}=\frac{420\ \mathrm{N}}{0.04\ \mathrm{m}^2}=1.05×10^4\ \mathrm{Pa}$。
(3) 不计绳重及摩擦，由$F=\frac{1}{n}(G_{\mathrm{泥}}+G_{\mathrm{动}}+G_{\mathrm{筐}})$可得泥土的重力：
$G_{\mathrm{泥}}=nF-G_{\mathrm{动}}-G_{\mathrm{筐}}=2×180\ \mathrm{N}-20\ \mathrm{N}-20\ \mathrm{N}=320\ \mathrm{N}$，
4s内拉力做的有用功：
$W_{\mathrm{有用}}=G_{\mathrm{泥}}h=320\ \mathrm{N}×2\ \mathrm{m}=640\ \mathrm{J}$，
滑轮组的机械效率：
$\eta=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}×100\%=\frac{640\ \mathrm{J}}{720\ \mathrm{J}}×100\%\approx88.9\%$。
【答案】
(1) 拉力做功的功率为$180\ \mathrm{W}$，拉力大小为$180\ \mathrm{N}$；
(2) 小吉对地面的压强为$1.05×10^4\ \mathrm{Pa}$；
(3) 提升泥土的机械效率约为$88.9\%$。
【知识点】
滑轮组的计算、功率的计算、压强的计算
【点评】
本题综合考查了滑轮组、功率、压强的相关计算，需要结合图像获取数据，熟练运用相关公式，同时注意相互作用力的关系在压力计算中的应用。
【难度系数】
0.7
