1. 如图，矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，则下列结论不一定成立的是()

A.$∠DAO$ 与 $∠ABO$ 互余
B.$OA = OB = OC = OD$
C.$AB// CD$ 且 $AB = CD$
D.$∠AOB = 60^{\circ}$

1. D

2. 在矩形 $ABCD$ 中，$O$ 是 $BC$ 的中点，$∠AOD = 90^{\circ}$，矩形 $ABCD$ 的周长为 $20\mathrm{cm}$，则 $AB$ 的长为()

A.$1\mathrm{cm}$
B.$2\mathrm{cm}$
C.$\frac{5}{2}\mathrm{cm}$
D.$\frac{10}{3}\mathrm{cm}$

2. D

设矩形$ABCD$中，$AB = x\ \mathrm{cm}$，$BC = y\ \mathrm{cm}$。
因为矩形周长为$20\ \mathrm{cm}$，所以$2(x + y)=20$，即$x + y=10$。
$O$是$BC$中点，所以$BO = OC=\frac{y}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABO$和$\mathrm{Rt}△ DCO$中，$AO^2=AB^2 + BO^2=x^2+(\frac{y}{2})^2$，$DO^2=DC^2 + OC^2=x^2+(\frac{y}{2})^2$，故$AO = DO$。
因为$∠ AOD = 90°$，所以$△ AOD$是等腰直角三角形，$AD=\sqrt{2}AO$。
又$AD = BC = y$，$AO^2=x^2+(\frac{y}{2})^2$，则$y^2=2(x^2+\frac{y^2}{4})$，化简得$y^2 = 2x^2+\frac{y^2}{2}$，即$\frac{y^2}{2}=2x^2$，$y^2 = 4x^2$，$y = 2x$（$y＞0$，$x＞0$）。
联立$\begin{cases}x + y=10\\y = 2x\end{cases}$，解得$x=\frac{10}{3}$，即$AB=\frac{10}{3}\ \mathrm{cm}$。
D

3. 如图，将矩形纸片 $ABCD$ 沿 $BE$ 折叠，使点 $A$ 落在对角线 $BD$ 上的点 $A'$ 处. 若 $∠DBC = 24^{\circ}$，则 $∠A'EB$ 的度数为.

3. $57^{\circ}$

解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $∠ ABC = 90°$，$AD // BC$，
∴ $∠ ADB = ∠ DBC = 24°$，
$∠ ABD = 90° - ∠ DBC = 90° - 24° = 66°$。
由折叠性质得：$∠ BA'E = ∠ A = 90°$，$∠ ABE = ∠ A'BE$，
∴ $∠ A'BE = \frac{1}{2}∠ ABD = \frac{1}{2} × 66° = 33°$。
在 $△ A'EB$ 中，$∠ A'EB = 180° - ∠ BA'E - ∠ A'BE = 180° - 90° - 33° = 57°$。
$57°$

4. 如图，线段 $BC$ 为等腰三角形 $ABC$ 的底边，矩形 $ADBE$ 的对角线 $AB$ 与 $DE$ 交于点 $O$. 若 $OD = 2$，则 $AC$ 的长为.

4. 4

证明：
∵四边形 $ADBE$ 是矩形，
∴对角线 $AB$ 与 $DE$ 互相平分且相等，即 $AB = DE$，$OD = OE = \frac{1}{2}DE$。
∵ $OD = 2$，
∴ $DE = 2OD = 4$，则 $AB = DE = 4$。
∵ $△ ABC$ 是等腰三角形，$BC$ 为底边，
∴ $AC = AB = 4$。
答案：$4$

5. 如图，将矩形 $ABCD$ 沿对角线 $AC$ 折叠，点 $B$ 的对应点为 $E$，$AE$ 与 $CD$ 交于点 $F$.

（1）求证：$△ DAF≌△ ECF$；
（2）若 $∠FCE = 40°$，求 $∠CAB$ 的度数.

5.(1)∵将矩形ABCD沿对角线AC折叠，∴DA=BC=EC,∠D=∠B=∠E=90°.　在△DAF　和△ECF　中,∠DFA=∠EFC,
　∠D=∠E,　　　∴△DAF≌△ECF　　
(2)∵△DAF≌△ECF
DA=EC,
,∴∠DAF=∠ECF=40°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°.∴∠EAB=∠DAB−∠DAF=50°.由折叠,知∠EAC=∠CAB.∴∠CAB=25°

6. (2025·兰州)如图，四边形 $ABCD$ 是矩形，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，点 $E$，$F$ 分别在边 $AB$，$BC$ 上，连接 $EF$，交对角线 $BD$ 于点 $P$. 若 $P$ 为 $EF$ 的中点，$∠ADB = 35°$，则 $∠DPE$ 的度数为()
A.$95°$
B.$100°$
C.$110°$
D.$145°$

6. C