7. (易错题)矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，点 $F$ 在矩形 $ABCD$ 的边上，连接 $OF$. 若 $∠ADB = 38^{\circ}$，$∠BOF = 30^{\circ}$，则 $∠AOF$ 的度数为.

7. $46^{\circ}$ 或 $106^{\circ}$ [易错分析]易忽视点 $F$ 的位置导致认为只有一个解。

8. (2024·宿迁模拟)如图，在矩形 $ABCD$ 中，以点 $B$ 为圆心，$BC$ 的长为半径画弧，交 $AD$ 于点 $E$，再分别以点 $C$，$E$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}CE$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $F$，作射线 $BF$ 交 $CD$ 于点 $G$. 若 $AB = 8$，$BC = 10$，则 $CG$ 的长为.

8. 5 解析：如图，连接 $EG$。根据作图过程可知，$BF$ 是 $ ∠ EBC $ 的平分线，
∴ $ ∠ E B G = ∠ C B G $。在 $ △ E B G $ 和 $ △ C B G $ 中，$ \{ \begin{array} { l } { E B = C B } \\ { ∠ E B G = ∠ C B G } \\ { B G = B G } \end{array} $，
∴ $ △ E B G ≌ △ C B G $。
∴ $ G E = G C $。
∵四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $ ∠ A = ∠ D = 90^{\circ} $，$ A D = B C = 10 $，$ C D = A B = 8 $。在 $ \mathrm { Rt } △ A B E $ 中，$ A B = 8 $，$ B E = B C = 10 $，
∴ $ A E = \sqrt { B E ^ { 2 } - A B ^ { 2 } } = 6 $。
∴ $ D E = A D - A E = 10 - 6 = 4 $。在 $ \mathrm { Rt } △ D G E $ 中，$ D E = 4 $，$ D G = D C - C G = 8 - C G $，$ E G = C G $，
∴ $ E G ^ { 2 } - D E ^ { 2 } = D G ^ { 2 } $。
∴ $ C G ^ { 2 } - 4 ^ { 2 } = ( 8 - C G ) ^ { 2 } $，解得 $ C G = 5 $。
　　　　　　　　

9. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$BD$ 是对角线，$AE⊥BD$ 于点 $E$，$CF⊥BD$ 于点 $F$.
(1)求证：$AE = CF$；
(2)当 $∠ADB = 30^{\circ}$ 时，连接 $AF$，$CE$，在不添加任何辅助线的情况下，图中面积等于矩形 $ABCD$ 面积的 $\frac{1}{8}$ 的三角形是.

9. （1）
∵四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $AB = CD$，$AB // CD$。
∴ $ ∠ A B E = ∠ C D F $。
∵ $AE ⊥ BD$，$CF ⊥ BD$，
∴ $ ∠ A E B = ∠ C F D = 90^{\circ} $。在 $ △ A B E $ 和 $ △ C D F $ 中，$ \{ \begin{array} { l } { ∠ A E B = ∠ C F D } \\ { ∠ A B E = ∠ C D F } \\ { A B = C D } \end{array} $，
∴ $ △ A B E ≌ △ C D F $。
∴ $AE = CF$。（2）$ △ A B E $，$ △ C D F $，$ △ B C E $，$ △ A D F $

10. 如图，在矩形 $OABC$ 中，$O$ 为平面直角坐标系的原点，点 $A$ 的坐标为 $(a,0)$，点 $C$ 的坐标为 $(0,b)$，$a$，$b$ 满足 $\sqrt{a - 4} + |b - 6| = 0$，点 $B$ 在第一象限内，点 $P$ 从原点出发，以每秒 $2$ 个单位长度的速度沿着 $O - C - B - A - O$ 的线路移动.
(1)点 $B$ 的坐标为. 当点 $P$ 移动 $3.5$ 秒时，点 $P$ 的坐标为.
(2)当点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $4$ 个单位长度时，求点 $P$ 的移动时间.
(3)当以 $O$，$B$，$P$ 为顶点的三角形的面积为 $10$ 时，求点 $P$ 的移动时间.

10. （1）$(4,6)$ $(1,6)$ （2）由题意，可得 $OA = BC = 4$，$OC = AB = 6$。当点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 4 个单位长度时，分两种情况讨论：①当点 $P$ 在 $OC$ 上时，$OP = 4$。
∴点 $P$ 的移动时间为 $4 ÷ 2 = 2$（秒）。②当点 $P$ 在 $AB$ 上时，$AP = 4$。
∴点 $P$ 的移动时间为 $(6 + 4 + 6 - 4) ÷ 2 = 6$（秒）。综上所述，点 $P$ 的移动时间为 2 秒或 6 秒。（3）①当点 $P$ 在 $OC$ 上时，如图①。由题意，得 $ \frac { 1 } { 2 } BC · OP = 10 $，即 $ \frac { 1 } { 2 } × 4OP = 10 $，
∴ $OP = 5$。
∴点 $P$ 的移动时间为 $5 ÷ 2 = \frac { 5 } { 2 }$（秒）。②当点 $P$ 在 $BC$ 上时，如图②。由题意，得 $ \frac { 1 } { 2 } OC · PB = 10 $，即 $ \frac { 1 } { 2 } × 6PB = 10 $，
∴ $BP = \frac { 10 } { 3 }$。
∴ $CP = \frac { 2 } { 3 }$。
∴点 $P$ 的移动时间为 $( 6 + \frac { 2 } { 3 } ) ÷ 2 = \frac { 10 } { 3 }$（秒）。③当点 $P$ 在 $AB$ 上时，如图③。由题意，得 $ \frac { 1 } { 2 } BP · BC = 10 $，即 $ \frac { 1 } { 2 } BP × 4 = 10 $，
∴ $BP = 5$。
∴点 $P$ 的移动时间为 $(6 + 4 + 5) ÷ 2 = \frac { 15 } { 2 }$（秒）。④当点 $P$ 在 $OA$ 上时，如图④。由题意，得 $ \frac { 1 } { 2 } OP · AB = 10 $，即 $ \frac { 1 } { 2 } OP × 6 = 10 $，
∴ $OP = \frac { 10 } { 3 }$。
∴点 $P$ 的移动时间为 $( 6 + 4 + 6 + 4 - \frac { 10 } { 3 } ) ÷ 2 = \frac { 25 } { 3 }$（秒）。综上所述，点 $P$ 的移动时间为 $ \frac { 5 } { 2 }$ 秒或 $ \frac { 10 } { 3 }$ 秒或 $ \frac { 15 } { 2 }$ 秒或 $ \frac { 25 } { 3 }$ 秒。