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1. (2024·南通)计算$\sqrt{27} × \sqrt{\dfrac{1}{3}}$的结果是 (
A.9
B.3
C.$3\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$
B
)A.9
B.3
C.$3\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$
答案
1. B
解析
$\sqrt{27} × \sqrt{\dfrac{1}{3}} = \sqrt{27 × \dfrac{1}{3}} = \sqrt{9} = 3$，结果是3，选B。
2. 下列各式化简后的结果为$3\sqrt{2}$的是 (
A.$\sqrt{18}$
B.$\sqrt{12}$
C.$\sqrt{6}$
D.$\sqrt{36}$
A
)A.$\sqrt{18}$
B.$\sqrt{12}$
C.$\sqrt{6}$
D.$\sqrt{36}$
答案
2. A
3. 计算：$\sqrt{10} × \sqrt{6} × \sqrt{\dfrac{3}{2}} =$
$ 3\sqrt{10} $
.答案
3. $ 3\sqrt{10} $
解析
$\sqrt{10} × \sqrt{6} × \sqrt{\dfrac{3}{2}}$
$=\sqrt{10 × 6 × \dfrac{3}{2}}$
$=\sqrt{10 × 9}$
$=3\sqrt{10}$
$=\sqrt{10 × 6 × \dfrac{3}{2}}$
$=\sqrt{10 × 9}$
$=3\sqrt{10}$
4. (2024·宿豫期末)写出一个含有二次根式的式子，使它与$\sqrt{11}$的积是有理数，则这个式子可以是
$ 2\sqrt{11} $（答案不唯一）
(只需要写出一个即可).答案
4. $ 2\sqrt{11} $（答案不唯一）
5. 计算：
(1) (2025·宿迁期末)$\sqrt{8} × \sqrt{6}$；
(2) $\sqrt{18a} · \sqrt{8a}(a ≥ 0)$.
(1) (2025·宿迁期末)$\sqrt{8} × \sqrt{6}$；
(2) $\sqrt{18a} · \sqrt{8a}(a ≥ 0)$.
答案
5. （1）$ 4\sqrt{3} $ （2）$ 12a $
解析
(1) $\sqrt{8} × \sqrt{6} = \sqrt{8 × 6} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$；
(2) $\sqrt{18a} · \sqrt{8a} = \sqrt{18a · 8a} = \sqrt{144a^2} = 12a$
(2) $\sqrt{18a} · \sqrt{8a} = \sqrt{18a · 8a} = \sqrt{144a^2} = 12a$
6. 化简：
(1) $\sqrt{252}$；
(2) $-\sqrt{52}$；
(3) $\dfrac{\sqrt{96}}{3}$；
(4) $\sqrt{32x^{3}y}(x ≥ 0,y ≥ 0)$.
(1) $\sqrt{252}$；
(2) $-\sqrt{52}$；
(3) $\dfrac{\sqrt{96}}{3}$；
(4) $\sqrt{32x^{3}y}(x ≥ 0,y ≥ 0)$.
答案
6. （1）$ 6\sqrt{7} $ （2）$ -2\sqrt{13} $ （3）$ \dfrac{4\sqrt{6}}{3} $ （4）$ 4x\sqrt{2xy} $
解析
(1) $\sqrt{252}=\sqrt{36×7}=\sqrt{36}×\sqrt{7}=6\sqrt{7}$；
(2) $-\sqrt{52}=-\sqrt{4×13}=-\sqrt{4}×\sqrt{13}=-2\sqrt{13}$；
(3) $\dfrac{\sqrt{96}}{3}=\dfrac{\sqrt{16×6}}{3}=\dfrac{\sqrt{16}×\sqrt{6}}{3}=\dfrac{4\sqrt{6}}{3}$；
(4) $\sqrt{32x^{3}y}=\sqrt{16x^{2}×2xy}=\sqrt{16x^{2}}×\sqrt{2xy}=4x\sqrt{2xy}$
(2) $-\sqrt{52}=-\sqrt{4×13}=-\sqrt{4}×\sqrt{13}=-2\sqrt{13}$；
(3) $\dfrac{\sqrt{96}}{3}=\dfrac{\sqrt{16×6}}{3}=\dfrac{\sqrt{16}×\sqrt{6}}{3}=\dfrac{4\sqrt{6}}{3}$；
(4) $\sqrt{32x^{3}y}=\sqrt{16x^{2}×2xy}=\sqrt{16x^{2}}×\sqrt{2xy}=4x\sqrt{2xy}$
7. 如果实数$x$满足$\sqrt{x} · \sqrt{x - 2} = \sqrt{x(x - 2)}$，那么$x$的取值范围是 (
A.$x ≥ 0$
B.$x ≥ 2$
C.$x ≤ 2$
D.$0 ≤ x ≤ 2$
B
)A.$x ≥ 0$
B.$x ≥ 2$
C.$x ≤ 2$
D.$0 ≤ x ≤ 2$
答案
7. B
解析
要使等式$\sqrt{x} · \sqrt{x - 2} = \sqrt{x(x - 2)}$成立，需满足：
$\sqrt{x}$有意义，则$x ≥ 0$；
$\sqrt{x - 2}$有意义，则$x - 2 ≥ 0$，即$x ≥ 2$；
$\sqrt{x(x - 2)}$有意义，则$x(x - 2) ≥ 0$，解得$x ≤ 0$或$x ≥ 2$。
综合以上条件，$x$的取值范围是$x ≥ 2$。
B
$\sqrt{x}$有意义，则$x ≥ 0$；
$\sqrt{x - 2}$有意义，则$x - 2 ≥ 0$，即$x ≥ 2$；
$\sqrt{x(x - 2)}$有意义，则$x(x - 2) ≥ 0$，解得$x ≤ 0$或$x ≥ 2$。
综合以上条件，$x$的取值范围是$x ≥ 2$。
B
8. 已知$x$，$y$是实数，且满足$y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} + \dfrac{1}{8}$，则$\sqrt{x} · \sqrt{y}$的值是 (
A.2
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{1}{8}$
B
)A.2
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{1}{8}$
答案
8. B
解析
要使二次根式有意义，则被开方数为非负数，所以：
$\begin{cases}x - 2 ≥ 0 \\2 - x ≥ 0\end{cases}$
解得 $x = 2$。
将 $x = 2$ 代入 $y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} + \dfrac{1}{8}$，得：
$y = 0 + 0 + \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{8}$
则 $\sqrt{x} · \sqrt{y} = \sqrt{2} · \sqrt{\dfrac{1}{8}} = \sqrt{2 × \dfrac{1}{8}} = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}$
B
$\begin{cases}x - 2 ≥ 0 \\2 - x ≥ 0\end{cases}$
解得 $x = 2$。
将 $x = 2$ 代入 $y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} + \dfrac{1}{8}$，得：
$y = 0 + 0 + \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{8}$
则 $\sqrt{x} · \sqrt{y} = \sqrt{2} · \sqrt{\dfrac{1}{8}} = \sqrt{2 × \dfrac{1}{8}} = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}$
B
9. 若实数$k$满足$\sqrt{135} = k\sqrt{15}$，实数$m$满足$\sqrt{450} = 15\sqrt{m}$，则$k$，$m$的大小关系是
$ m ＜ k $
(用“$＜$”连接).答案
9. $ m ＜ k $
解析
由$\sqrt{135} = k\sqrt{15}$，两边平方得$135 = 15k^2$，解得$k^2 = 9$，$k = 3$（$k＞0$）；由$\sqrt{450} = 15\sqrt{m}$，两边平方得$450 = 225m$，解得$m = 2$。因为$2 ＜ 3$，所以$m ＜ k$。
10. 若$\sqrt{80} · \sqrt{2a}$的结果是一个整数，则正整数$a$的最小值是
10
.答案
10. 10
解析
$\sqrt{80} · \sqrt{2a} = \sqrt{80 × 2a} = \sqrt{160a} = 4\sqrt{10a}$，要使结果为整数，则$\sqrt{10a}$为整数，$10a$需为完全平方数，$10 = 2 × 5$，所以正整数$a$的最小值为$10$。
