登录
变式：如图，在平行四形边$ABCD$中，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，$DH⊥ AB$于点$H$，连接$HO$.$AC = 8$，$BD = 6$，$AB = 5$.
（1）求证：四边形$ABCD$是菱形.
（2）求$△ DHO$的周长.
（1）求证：四边形$ABCD$是菱形.
（2）求$△ DHO$的周长.
答案
(1)证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AO=\frac{1}{2}AC=4，$$BO=\frac{1}{2}BD=3，$
∵$AB=5，$$AO^2+BO^2=4^2+3^2=25=AB^2，$
∴$△ AOB$是直角三角形，$∠ AOB=90°，$
∴$AC⊥ BD，$
∴$□ ABCD$是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
(2)解：
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$AD=AB=5，$$BD=6，$
∵$DH⊥ AB，$$O$是$BD$中点，
∴$OH=\frac{1}{2}BD=3，$$OD=3，$
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· DH=\frac{1}{2}AC· BO，$
即$\frac{1}{2}×5× DH=\frac{1}{2}×8×3，$
解得$DH=\frac{24}{5}，$
∴$△ DHO$的周长$=DH+OH+OD=\frac{24}{5}+3+3=\frac{54}{5}。$
1. 已知：如图，$AD$是$△ ABC$的角平分线，$DE// AC$交$AB$于点$E$，点$O$为线段$EF$中点. 求证：四边形$AEDF$是菱形.
答案
1. 证明：
∵$DE// AC，$
∴$∠ EDA=∠ FAD，$
∵$AD$平分$∠ BAC，$
∴$∠ EAD=∠ FAD，$
∴$∠ EDA=∠ EAD，$
∴$AE=DE，$
∵$O$是$EF$的中点，
∴$EO=FO，$
在$△ DOE$和$△ AOF$中，
$\begin{cases}∠ EDO=∠ FAO \\∠ DOE=∠ AOF \\EO=FO\end{cases}$
∴$△ DOE≌△ AOF(\mathrm{AAS})，$
∴$DE=AF，$
∵$AE=DE，$
∴$AE=AF，$
又
∵$DE// AF，$
∴四边形$AEDF$是平行四边形，
又
∵$AE=AF，$
∴$□ AEDF$是菱形。
2. 如图，$AE// BF$，$AC$平分$∠ BAE$，且交$BF$于点$C$，$BD$平分$∠ ABF$，且交$AE$于点$D$，连接$CD$.
(1)求证：四边形$ABCD$是菱形.
(2)若$∠ ADB = 30°$，$BD = 6$，求$AD$的长.
(1)求证：四边形$ABCD$是菱形.
(2)若$∠ ADB = 30°$，$BD = 6$，求$AD$的长.
答案
2. (1)证明：
∵$AE// BF，$
∴$∠ ADB=∠ CBD，$
∵$BD$平分$∠ ABF，$
∴$∠ ABD=∠ CBD，$
∴$∠ ADB=∠ ABD，$
∴$AB=AD，$
同理可证$AB=BC，$
∴$AD=BC，$
又
∵$AD// BC，$
∴四边形$ABCD$是平行四边形，
又
∵$AB=AD，$
∴$□ ABCD$是菱形。
(2)解：
∵四边形$ABCD$是菱形，$BD=6，$
∴$OD=OB=3，$$AC⊥ BD，$
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$∠ ADB=30°，$设$AO=x，$则$AD=2x，$
由勾股定理得：$AO^2+OD^2=AD^2，$
即$x^2+3^2=(2x)^2，$
解得$x=\sqrt{3}，$
∴$AD=2\sqrt{3}。$
学习盘点
如图，点$E$，$F$分别在$□ ABCD$的边$BC$，$AD$上，连接$AE$，$CF$，$AE// CF$，连接$AC$，$EF$相交于点$O$，请你从以下选项①$AE = CE$；②$OA = OC$；③$AC⊥ EF$；④$OE = OF$中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形$AECF$是菱形.
(1)你选择的补充条件是；(填序号)
(2)根据你选择的补充条件，写出四边形$AECF$是菱形的证明过程.
如图，点$E$，$F$分别在$□ ABCD$的边$BC$，$AD$上，连接$AE$，$CF$，$AE// CF$，连接$AC$，$EF$相交于点$O$，请你从以下选项①$AE = CE$；②$OA = OC$；③$AC⊥ EF$；④$OE = OF$中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形$AECF$是菱形.
(1)你选择的补充条件是；(填序号)
(2)根据你选择的补充条件，写出四边形$AECF$是菱形的证明过程.
答案
(1) $\boldsymbol{①}$或$\boldsymbol{③}$，任选其一即可
(2) 以选择条件$\boldsymbol{①}$为例：
解：证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，即$AF// EC$，
又∵ $AE// CF$，
∴ 四边形$AECF$是平行四边形，依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
又∵ $AE = CE$，
∴ 平行四边形$AECF$是菱形，依据是一组邻边相等的平行四边形是菱形。
若选择条件$\boldsymbol{③}$，证明如下：
解：证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，即$AF// EC$，
又∵ $AE// CF$，
∴ 四边形$AECF$是平行四边形，依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
又∵ $AC⊥ EF$，
∴ 平行四边形$AECF$是菱形，依据是对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
(2) 以选择条件$\boldsymbol{①}$为例：
解：证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，即$AF// EC$，
又∵ $AE// CF$，
∴ 四边形$AECF$是平行四边形，依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
又∵ $AE = CE$，
∴ 平行四边形$AECF$是菱形，依据是一组邻边相等的平行四边形是菱形。
若选择条件$\boldsymbol{③}$，证明如下：
解：证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，即$AF// EC$，
又∵ $AE// CF$，
∴ 四边形$AECF$是平行四边形，依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
又∵ $AC⊥ EF$，
∴ 平行四边形$AECF$是菱形，依据是对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
