2. 如图，在$□ ABCD$中，根据菱形的定义可再添加一个条件：，就可以判定$□ ABCD$是菱形，也就是根据菱形的定义判定一个四边形是菱形，要先判断这个四边形是，再说明这个平行四边形的一组相等就可以了.

AB=BC；平行四边形；邻边

3. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC⊥ BD$，你能利用菱形的定义来说明$□ ABCD$是菱形吗？试着写出你的证明过程.

结论：对角线的是菱形.

已知：在 □$ABCD$ 中，对角线 $AC ⊥ BD$。
求证：□$ABCD$ 是菱形。
证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $BO = DO$（平行四边形的对角线互相平分）。
∵ $AC ⊥ BD$，
∴ $AB = AD$（线段垂直平分的性质）。
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ □$ABCD$ 是菱形（菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
结论：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

4. 如图，如果已知在四边形$ABCD$中，$AB = BC = CD = DA$，你能利用菱形的定义来说明这个四边形是菱形吗？试着写出你的证明过程.

结论：四边的是菱形.

相等；四边形

证明：
∵ $AB = BC = CD = DA$，
∴ $AB = CD$，$AD = BC$，
∴ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
又∵ $AB = AD$，
∴ 四边形 $ABCD$ 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
结论：四边相等的四边形是菱形。

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1. 菱形的判定方法：
(1)菱形的定义：一组相等的是菱形.
(2)对角线的是菱形.
(3)四边的是菱形.

(1)菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
(3)四边都相等的四边形是菱形。

2. 下列命题正确的是()

A.对角线互相平分的四边形是菱形
B.对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形
D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

D

菱形的判定定理之一是对于一个四边形，如果它的对角线互相垂直且平分，则这个四边形是菱形。
A选项：仅说明对角线互相平分，这符合平行四边形的性质，但不一定是菱形。
B选项：对角线互相平分且相等，这符合矩形的性质，但不一定是菱形。
C选项：仅说明对角线互相垂直，这不能确定四边形是菱形。
D选项：对角线互相垂直且平分，这符合菱形的判定条件。

3. 如图，四边形$ABCD$是平行四边形，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，在条件①$AB = AD$；②$AC = BD$；③$AC⊥ BD$；④$AC$平分$∠ BAD$中，选择一个条件，使得四边形$ABCD$是菱形，可选择的条件是()

A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④

C

一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，两条对角线平分每一组对角的平行四边形是菱形，
条件①，有一组邻边相等，故能证明这个平行四边形是菱形；
条件②，只是说明这个平行四边形的对角线和长方形的对角线一样长，并不能成为菱形；
条件③，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
条件④，$AC$平分$∠ BAD$，
则$∠ DAC=∠ BAC$，
因为$ABCD$是平行四边形，
则$AD// BC$，
$∠ DAC=∠ BCA$（内错角相等），
则$∠ BAC=∠ BCA$，
所以$AB=BC$，
有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
所以可以选择的条件有①③④，
综上所述，答案为：C.①③④。

4. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$和$BD$相交于点$O$，添加下列条件不能判定四边形$ABCD$是菱形的是()

A.$AB = BC$
B.$AC⊥ BD$
C.$AC$平分$∠ DAB$
D.$AC = BD$

D

本题可根据菱形的判定定理，逐一分析各个选项是否能判定平行四边形$ABCD$是菱形。
选项A：$AB = BC$
根据菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
在平行四边形$ABCD$中，$AB = BC$，即平行四边形$ABCD$的一组邻边相等，所以可以判定平行四边形$ABCD$是菱形。
选项B：$AC⊥ BD$
根据菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
已知四边形$ABCD$是平行四边形，且$AC⊥ BD$，即平行四边形$ABCD$的对角线互相垂直，所以可以判定平行四边形$ABCD$是菱形。
选项C：$AC$平分$∠ DAB$
因为$AD// BC$，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ DAC=∠ BCA$。
又因为$AC$平分$∠ DAB$，所以$∠ DAC = ∠ BAC$，那么$∠ BAC = ∠ BCA$。
根据等角对等边，可得$AB = BC$。
由于四边形$ABCD$是平行四边形，且有一组邻边$AB = BC$，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以可以判定平行四边形$ABCD$是菱形。
选项D：$AC = BD$
根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知四边形$ABCD$是平行四边形，且$AC = BD$，即平行四边形$ABCD$的对角线相等，所以可以判定平行四边形$ABCD$是矩形，不能判定它是菱形。

如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$交于点$O$，$AB = 5$，$AO = 4$，$BO = 3$.
求证：$□ ABCD$是菱形.

注意：由于平行四边形对角线互相平分，构成的$△ ABO$是一个直角三角形，而$AB = 5$，$AO = 4$，$BO = 3$，由勾股定理可知$∠ AOB = 90°$，这样可利用菱形判定定理证明.

证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC与BD互相平分，即AO=OC，BO=OD。
在△AOB中，AB=5，AO=4，BO=3，
∵$AO^2 + BO^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 = AB^2$，
∴△AOB是直角三角形，∠AOB=90°。
∴AC⊥BD。
∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴□ABCD是菱形。