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8. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$∠ BAD:∠ B = 1:3$，$DE ⊥ BC$ 于点 $E$，交对角线 $AC$ 于点 $P$. 过点 $P$ 作 $PF ⊥ CD$ 于点 $F$. 若 $△ PDF$ 的周长为 $4$，求菱形 $ABCD$ 的面积.
答案
$8. 8\sqrt{2}$
9. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，连接 $BD$，点 $E$，$F$ 分别是 $AB$，$BC$ 上的点，连接 $DE$，$DF$，$EF$，且 $BE = BF$.
求证：$DE = DF$.
求证：$DE = DF$.
答案
证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD=AB=BC，∠A=∠C，∠ABD=∠CBD。
∵BE=BF，AB=BC，
∴AB-BE=BC-BF，即AE=CF。
在△ADE和△CDF中，
$\begin{cases} AD=CD \\ ∠A=∠C \\ AE=CF \end{cases}$，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD=AB=BC，∠A=∠C，∠ABD=∠CBD。
∵BE=BF，AB=BC，
∴AB-BE=BC-BF，即AE=CF。
在△ADE和△CDF中，
$\begin{cases} AD=CD \\ ∠A=∠C \\ AE=CF \end{cases}$，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF。
10. 如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$E$ 是 $AD$ 的中点，点 $F$，$G$ 在 $AB$ 上，$EF ⊥ AB$，$OG // EF$.
(1) 求证：四边形 $OEFG$ 是矩形.
(2) 若 $AD = 10$，$EF = 4$，求 $OE$ 和 $BG$ 的长.
(1) 求证：四边形 $OEFG$ 是矩形.
(2) 若 $AD = 10$，$EF = 4$，求 $OE$ 和 $BG$ 的长.
答案
10. (1) 证明：
∵四边形ABCD是菱形，E是AD的中点，
∴$OE$是$△ ABD$的中位线，
∴$OE// AB，$
∵$OG// EF，$$EF⊥ AB，$
∴$∠ EFG=90°，$
∵$OE// AB，$$OG// EF，$
∴四边形OEFG是平行四边形，
又$∠ EFG=90°，$
∴平行四边形OEFG是矩形；
(2) 解：
∵四边形ABCD是菱形，$AD=10，$
∴$AB=AD=10，$E是AD中点，
∴$OE=\frac{1}{2}AD=5，$
在$Rt△ AEF$中，$AE=5，$$EF=4，$
$AF=\sqrt{AE^2 - EF^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3，$
∵$OE// AB，$四边形OEFG是矩形，
∴$FG=OE=5，$$BF=AB-AF=10-3=7，$
∴$BG=BF-FG=7-5=2$
答：$OE=5，$$BG=2。$
1. 菱形的定义：一组相等的叫菱形.
答案
1. 菱形的定义：一组邻边 相等的平行四边形 叫菱形.
