2026年智慧学习导学练明天出版社八年级数学下册人教版第97页答案
学习盘点
如图，四边形 $ABCD$ 是菱形，$AE ⊥ BC$ 于点 $E$，$AF ⊥ CD$ 于点 $F$.
(1) 求证：$△ ABE ≌ △ ADF$.
(2) 若 $AE = 4$，$CF = 2$，求菱形的边长.

答案

(1) 证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AB=AD，$$∠ B=∠ D，$
∵$AE⊥ BC，$$AF⊥ CD，$
∴$∠ AEB=∠ AFD=90°，$
在$△ ABE$和$△ ADF$中，
$\begin{cases}∠ AEB=∠ AFD \\∠ B=∠ D \\AB=AD\end{cases}$
∴$△ ABE ≌ △ ADF$（AAS）；
(2) 解：设菱形的边长为$x，$则$AB=BC=x，$
由
(1)知$△ ABE ≌ △ ADF，$
∴$BE=DF=x-2，$
在$Rt△ ABE$中，$AE=4，$由勾股定理得：
$AB^2=AE^2 + BE^2，$
即$x^2=4^2 + (x-2)^2，$
展开得：$x^2=16 + x^2 -4x +4，$
化简得：$4x=20，$解得$x=5，$
答：菱形的边长为5。
1. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 3$，$BC = 2$，延长 $CB$ 至点 $E$，延长 $AD$ 至点 $F$，连接 $AE$，$CF$. 若四边形 $AECF$ 为菱形，则这个菱形的面积为(
C
)

A.9
B.$\frac{39}{8}$
C.$\frac{39}{4}$
D.$\frac{21}{2}$

答案

1. C
2. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$∠ ABC = 60°$，$AB = 6$，$AC$ 是一条对角线，$E$ 是 $AC$ 上一点，过点 $E$ 作 $EF ⊥ AB$，垂足为 $F$，连接 $DE$. 若 $CE = AF$，则 $DE$ 的长为(
A
)

A.$2\sqrt{7}$
B.3
C.$2\sqrt{5}$
D.$3\sqrt{3}$

答案

2. A
3. 如图，四边形 $ABCD$ 为菱形，其中 $BD = 6\ \mathrm{cm}$，$AC = 8\ \mathrm{cm}$，过 $O$ 作 $EF ⊥ AB$ 交 $AB$，$CD$ 于点 $E$，$F$，则 $EF$ 的长为
4.8
$\mathrm{cm}$.

答案

3. 4.8
4. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$M$，$N$ 分别在 $AB$，$CD$ 上，且 $AM = CN$，$MN$ 与 $AC$ 交于点 $O$，连接 $BO$. 若 $∠ DAC = 28°$，则 $∠ OBC$ 的度数为(
C
)

A.$28°$
B.$52°$
C.$62°$
D.$72°$

答案

4. C
5. 如图，若菱形 $ABCD$ 的顶点 $A$，$B$ 的坐标分别为 $(3,0)$，$(-2,0)$，点 $D$ 在 $y$ 轴上，则点 $C$ 的坐标是(
A
)


A.$(-5,4)$
B.$(-5,5)$
C.$(-4,4)$
D.$(-4,5)$

答案

5. A
6. 如图，在周长为 $12$ 的菱形 $ABCD$ 中，$AE = 1$，$AF = 2$，若 $P$ 为对角线 $BD$ 上一动点，则 $EP + FP$ 的最小值为(
C
)


A.1
B.2
C.3
D.4

答案

6. C
7. 如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，过点 $A$ 作 $AH ⊥ BC$ 于点 $H$，连接 $OH$，若 $OB = 4$，$S_{\mathrm{菱形}ABCD} = 24$，则 $OH$ 的长为
3
.

答案

7. 3