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8.计算:
(1)$(a+b)^{3}· (a+b)^{-1}÷ (a+b)^{-2}$;
(2)$(\frac{2}{3})^{-2024}× (-\frac{3}{2})^{-2025}$;
(3)$(3^{-1}m^{3}n^{-2})^{-2}· (m^{-2}n)^{-3}$;
(4)$3^{-2}x^{2}y^{-3}· (-3x^{-1}y^{2})^{2}÷ (y^{-2})^{3}$。
(1)$(a+b)^{3}· (a+b)^{-1}÷ (a+b)^{-2}$;
(2)$(\frac{2}{3})^{-2024}× (-\frac{3}{2})^{-2025}$;
(3)$(3^{-1}m^{3}n^{-2})^{-2}· (m^{-2}n)^{-3}$;
(4)$3^{-2}x^{2}y^{-3}· (-3x^{-1}y^{2})^{2}÷ (y^{-2})^{3}$。
答案
8.(1)$(a+b)^{4}$ (2)$-\frac{2}{3}$ (3)9n (4)$y^{7}$
解析
【分析】
本题考查指数运算的综合应用，需根据不同的运算类型选择对应的法则逐步计算：
1. 第(1)题：底数均为$(a+b)$，属于同底数幂的乘除混合运算，依据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减”，直接对指数进行加减运算即可。
2. 第(2)题：两个幂的指数相近，可将$(-\frac{3}{2})^{-2025}$拆分为$(-\frac{3}{2})^{-2024}×(-\frac{3}{2})^{-1}$，再利用“互为倒数的两个数的同次幂相乘为1”的规律简化计算，同时注意符号的处理。
3. 第(3)题：先根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”计算括号内的幂的乘方，再进行同底数幂的乘法运算，合并同类项。
4. 第(4)题：运算顺序为先算乘方，再算乘除。先计算$(-3x^{-1}y^{2})^{2}$和$(y^{-2})^{3}$，再根据同底数幂的乘除法则计算$x$、$y$的指数，同时单独计算系数部分的指数运算。
【解析】
(1) 原式=$(a+b)^{3+(-1)-(-2)}$
=$(a+b)^{3-1+2}$
=$(a+b)^{4}$
(2) 原式=$(\frac{2}{3})^{-2024}×(-\frac{3}{2})^{-2024}×(-\frac{3}{2})^{-1}$
=$[(\frac{2}{3})×(-\frac{3}{2})]^{-2024}×(-\frac{2}{3})$
=$(-1)^{-2024}×(-\frac{2}{3})$
=$1×(-\frac{2}{3})$
=$-\frac{2}{3}$
(3) 原式=$(3^{(-1)×(-2)}m^{3×(-2)}n^{(-2)×(-2)})·(m^{(-2)×(-3)}n^{1×(-3)})$
=$(3^{2}m^{-6}n^{4})·(m^{6}n^{-3})$
=$9m^{-6+6}n^{4-3}$
=$9m^{0}n^{1}$
=$9n$
(4) 原式=$3^{-2}x^{2}y^{-3}·9x^{-2}y^{4}÷y^{-6}$
=$(3^{-2}×9)x^{2+(-2)}y^{-3+4-(-6)}$
=$(\frac{1}{9}×9)x^{0}y^{-3+4+6}$
=$1×1×y^{7}$
=$y^{7}$
【答案】
(1)$(a+b)^{4}$；(2)$-\frac{2}{3}$；(3)$9n$；(4)$y^{7}$
【知识点】
同底数幂的乘除运算、幂的乘方与积的乘方、负整数指数幂运算
【点评】
本题围绕指数运算的核心法则展开，涵盖了同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方及负整数指数幂的转化等知识点，计算时需严格遵循运算顺序，注意指数的符号变化和系数的运算，是对指数运算基础能力的综合考查。
【难度系数】
0.7
本题考查指数运算的综合应用，需根据不同的运算类型选择对应的法则逐步计算：
1. 第(1)题：底数均为$(a+b)$，属于同底数幂的乘除混合运算，依据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减”，直接对指数进行加减运算即可。
2. 第(2)题：两个幂的指数相近，可将$(-\frac{3}{2})^{-2025}$拆分为$(-\frac{3}{2})^{-2024}×(-\frac{3}{2})^{-1}$，再利用“互为倒数的两个数的同次幂相乘为1”的规律简化计算，同时注意符号的处理。
3. 第(3)题：先根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”计算括号内的幂的乘方，再进行同底数幂的乘法运算，合并同类项。
4. 第(4)题：运算顺序为先算乘方，再算乘除。先计算$(-3x^{-1}y^{2})^{2}$和$(y^{-2})^{3}$，再根据同底数幂的乘除法则计算$x$、$y$的指数，同时单独计算系数部分的指数运算。
【解析】
(1) 原式=$(a+b)^{3+(-1)-(-2)}$
=$(a+b)^{3-1+2}$
=$(a+b)^{4}$
(2) 原式=$(\frac{2}{3})^{-2024}×(-\frac{3}{2})^{-2024}×(-\frac{3}{2})^{-1}$
=$[(\frac{2}{3})×(-\frac{3}{2})]^{-2024}×(-\frac{2}{3})$
=$(-1)^{-2024}×(-\frac{2}{3})$
=$1×(-\frac{2}{3})$
=$-\frac{2}{3}$
(3) 原式=$(3^{(-1)×(-2)}m^{3×(-2)}n^{(-2)×(-2)})·(m^{(-2)×(-3)}n^{1×(-3)})$
=$(3^{2}m^{-6}n^{4})·(m^{6}n^{-3})$
=$9m^{-6+6}n^{4-3}$
=$9m^{0}n^{1}$
=$9n$
(4) 原式=$3^{-2}x^{2}y^{-3}·9x^{-2}y^{4}÷y^{-6}$
=$(3^{-2}×9)x^{2+(-2)}y^{-3+4-(-6)}$
=$(\frac{1}{9}×9)x^{0}y^{-3+4+6}$
=$1×1×y^{7}$
=$y^{7}$
【答案】
(1)$(a+b)^{4}$；(2)$-\frac{2}{3}$；(3)$9n$；(4)$y^{7}$
【知识点】
同底数幂的乘除运算、幂的乘方与积的乘方、负整数指数幂运算
【点评】
本题围绕指数运算的核心法则展开，涵盖了同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方及负整数指数幂的转化等知识点，计算时需严格遵循运算顺序，注意指数的符号变化和系数的运算，是对指数运算基础能力的综合考查。
【难度系数】
0.7
9.计算:
(1)$[(x+y)^{3}· (x-y)^{-2}]^{-2}· (x+y)^{6}$;
(2)$(x-y)^{9}÷ (y-x)^{8}+(-x-y)^{5}÷ (x+y)^{4}$。
自我反思
存在的问题:
改进的措施:
(1)$[(x+y)^{3}· (x-y)^{-2}]^{-2}· (x+y)^{6}$;
(2)$(x-y)^{9}÷ (y-x)^{8}+(-x-y)^{5}÷ (x+y)^{4}$。
自我反思
存在的问题:
改进的措施:
答案
9.(1)原式$=(x+y)^{-6}(x-y)^{4}(x+y)^{6}=(x-y)^{4}$。
(2)原式$=(x-y)^{9}÷(x-y)^{8}-(x+y)^{5}÷(x+y)^{4}$
$=x-y-x-y=-2y$。
(2)原式$=(x-y)^{9}÷(x-y)^{8}-(x+y)^{5}÷(x+y)^{4}$
$=x-y-x-y=-2y$。
解析
【分析】
(1) 这是幂的混合运算，解题思路是先运用幂的乘方法则处理中括号里的乘方运算，再利用同底数幂的乘法法则合并同类底数的幂。首先，根据幂的乘方法则$[a^m]^n=a^{mn}$，将中括号内的$(x+y)^3$和$(x-y)^{-2}$分别进行乘方运算，得到$(x+y)^{-6}$和$(x-y)^4$；然后观察到式子中还有$(x+y)^6$，利用同底数幂相乘，底数不变指数相加的法则，$(x+y)^{-6}$与$(x+y)^6$相乘后指数和为0，结果为1，最终剩下$(x-y)^4$。
(2) 这道题需要先统一底数，再进行同底数幂的除法运算。首先，根据偶数次方的性质，$(y-x)^8=(x-y)^8$；对于$(-x-y)^5$，可提取负号转化为$-(x+y)^5$（奇数次方保留负号）。然后运用同底数幂的除法法则$a^m÷a^n=a^{m-n}$，分别计算两个除法项，得到$x-y$和$-(x+y)$，最后合并同类项化简即可。
【解析】
(1) 原式$=(x+y)^{3×(-2)}·(x-y)^{(-2)×(-2)}·(x+y)^{6}$
$=(x+y)^{-6}·(x-y)^{4}·(x+y)^{6}$
$=(x+y)^{-6+6}·(x-y)^{4}$
$=(x+y)^0·(x-y)^{4}$
$=(x-y)^{4}$
(2) 原式$=(x-y)^{9}÷(x-y)^{8}+[-(x+y)]^{5}÷(x+y)^{4}$
$=(x-y)^{9-8}-(x+y)^{5}÷(x+y)^{4}$
$=(x-y)-(x+y)$
$=x-y-x-y$
$=-2y$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x-y)^{4}}$；(2) $\boldsymbol{-2y}$
【知识点】
幂的乘方法则，同底数幂的乘除法，底数统一技巧
【点评】
本题主要考查幂的运算法则的综合应用，重点在于灵活处理互为相反数的底数的幂运算，以及准确运用幂的乘方、同底数幂的乘除法则进行计算，解题时需注意符号的变化，尤其是奇数次方的符号处理，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.6
(1) 这是幂的混合运算，解题思路是先运用幂的乘方法则处理中括号里的乘方运算，再利用同底数幂的乘法法则合并同类底数的幂。首先，根据幂的乘方法则$[a^m]^n=a^{mn}$，将中括号内的$(x+y)^3$和$(x-y)^{-2}$分别进行乘方运算，得到$(x+y)^{-6}$和$(x-y)^4$；然后观察到式子中还有$(x+y)^6$，利用同底数幂相乘，底数不变指数相加的法则，$(x+y)^{-6}$与$(x+y)^6$相乘后指数和为0，结果为1，最终剩下$(x-y)^4$。
(2) 这道题需要先统一底数，再进行同底数幂的除法运算。首先，根据偶数次方的性质，$(y-x)^8=(x-y)^8$；对于$(-x-y)^5$，可提取负号转化为$-(x+y)^5$（奇数次方保留负号）。然后运用同底数幂的除法法则$a^m÷a^n=a^{m-n}$，分别计算两个除法项，得到$x-y$和$-(x+y)$，最后合并同类项化简即可。
【解析】
(1) 原式$=(x+y)^{3×(-2)}·(x-y)^{(-2)×(-2)}·(x+y)^{6}$
$=(x+y)^{-6}·(x-y)^{4}·(x+y)^{6}$
$=(x+y)^{-6+6}·(x-y)^{4}$
$=(x+y)^0·(x-y)^{4}$
$=(x-y)^{4}$
(2) 原式$=(x-y)^{9}÷(x-y)^{8}+[-(x+y)]^{5}÷(x+y)^{4}$
$=(x-y)^{9-8}-(x+y)^{5}÷(x+y)^{4}$
$=(x-y)-(x+y)$
$=x-y-x-y$
$=-2y$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x-y)^{4}}$；(2) $\boldsymbol{-2y}$
【知识点】
幂的乘方法则，同底数幂的乘除法，底数统一技巧
【点评】
本题主要考查幂的运算法则的综合应用，重点在于灵活处理互为相反数的底数的幂运算，以及准确运用幂的乘方、同底数幂的乘除法则进行计算，解题时需注意符号的变化，尤其是奇数次方的符号处理，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.6
