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9. 如图,已知三角形ABC,$∠ ACB=85°$,点E,F分别在AB,AC上,ED交AC于点G,交BC的延长线于点D,$∠ FEG=40°$,$∠ CGD=45°$。试判断EF与BC的位置关系,并说明理由。
答案
解:EF//BC。理由:
因为∠CGD=45°,
所以∠EGF=∠CGD=45°。
因为∠FEG=40°,
所以∠EFG=180°−∠EGF−∠FEG=180°−45°−40°=95°。
因为∠ACB=85°,
所以∠ACB+∠EFC=180°,
所以EF//BC。
因为∠CGD=45°,
所以∠EGF=∠CGD=45°。
因为∠FEG=40°,
所以∠EFG=180°−∠EGF−∠FEG=180°−45°−40°=95°。
因为∠ACB=85°,
所以∠ACB+∠EFC=180°,
所以EF//BC。
解析
【分析】
要判断EF与BC的位置关系，可通过角的关系结合平行线的判定定理推导。首先利用对顶角相等得到∠EGF的度数，再根据三角形内角和定理求出∠EFG的度数，最后验证∠EFG与∠ACB是否满足同旁内角互补的条件，进而判定两直线平行。
【解析】
$\boldsymbol{EF// BC}$。理由如下：
因为$∠ CGD=45°$，根据对顶角相等，所以$∠ EGF=∠ CGD=45°$。
在$△ EFG$中，根据三角形内角和为$180°$，已知$∠ FEG=40°$，$∠ EGF=45°$，则$∠ EFG=180°-∠ EGF-∠ FEG=180°-45°-40°=95°$。
又因为$∠ ACB=85°$，所以$∠ ACB+∠ EFG=85°+95°=180°$。
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$EF// BC$。
【答案】
$EF// BC$
【知识点】
对顶角相等；三角形内角和定理；平行线的判定
【点评】
本题综合考查对顶角性质、三角形内角和定理及平行线判定定理的应用，解题核心是通过角的计算找到能判定两直线平行的角的数量关系，需要学生熟练掌握基础几何定理并灵活运用。
【难度系数】
0.6
要判断EF与BC的位置关系，可通过角的关系结合平行线的判定定理推导。首先利用对顶角相等得到∠EGF的度数，再根据三角形内角和定理求出∠EFG的度数，最后验证∠EFG与∠ACB是否满足同旁内角互补的条件，进而判定两直线平行。
【解析】
$\boldsymbol{EF// BC}$。理由如下：
因为$∠ CGD=45°$，根据对顶角相等，所以$∠ EGF=∠ CGD=45°$。
在$△ EFG$中，根据三角形内角和为$180°$，已知$∠ FEG=40°$，$∠ EGF=45°$，则$∠ EFG=180°-∠ EGF-∠ FEG=180°-45°-40°=95°$。
又因为$∠ ACB=85°$，所以$∠ ACB+∠ EFG=85°+95°=180°$。
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$EF// BC$。
【答案】
$EF// BC$
【知识点】
对顶角相等；三角形内角和定理；平行线的判定
【点评】
本题综合考查对顶角性质、三角形内角和定理及平行线判定定理的应用，解题核心是通过角的计算找到能判定两直线平行的角的数量关系，需要学生熟练掌握基础几何定理并灵活运用。
【难度系数】
0.6
10. 将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起,其中$∠ A=30°$,$∠ B=60°$,$∠ D=∠ E=45°$。
(1)若$∠ BCD=110°$,则$∠ ACE=$
(2)试猜想$∠ BCD$与$∠ ACE$的数量关系,并说明理由;
(3)若按住三角板ABC不动,将三角板DCE绕顶点C转动一周,试探究$∠ BCD$等于多少度时,$CE// AB$,请画出图,并说明理由。
自我反思
存在的问题:
改进的措施:
(1)若$∠ BCD=110°$,则$∠ ACE=$
70°
;(2)试猜想$∠ BCD$与$∠ ACE$的数量关系,并说明理由;
(3)若按住三角板ABC不动,将三角板DCE绕顶点C转动一周,试探究$∠ BCD$等于多少度时,$CE// AB$,请画出图,并说明理由。
自我反思
存在的问题:
改进的措施:
答案
解:(1)70°;
(2)∠BCD+∠ACE=180°,理由如下:
因为∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD,
所以∠BCD+∠ACE=90°+∠ACD+∠ACE=90°+90°=180°;
(3)分两种情况:
①如图①所示,当∠BCD=150°时,AB//CE。
因为∠BCD=150°,∠ACB=∠ECD=90°,
所以∠ACE=30°,
所以∠A=∠ACE=30°,
所以AB//CE。
②如图②所示,当∠BCD=30°时,AB//CE。
因为∠BCD=30°,∠DCE=90°,
所以∠BCE=∠B=60°,
所以AB//CE。
综上所述,∠BCD等于150°或30°时,CE//AB。
解析
【分析】
1. 第(1)问：已知两个直角三角板的直角顶点重合，即$∠ ACB=∠ ECD=90°$，先通过$∠ BCD$与$∠ ACB$的差求出$∠ ACD$的度数，再利用$∠ ECD$与$∠ ACD$的差计算$∠ ACE$；也可直接用$∠ ACB+∠ ECD-∠ BCD$快速得到结果。
2. 第(2)问：要探究$∠ BCD$与$∠ ACE$的数量关系，可将$∠ BCD$拆分为$∠ ACB+∠ ACD$，结合$∠ ACD+∠ ACE=∠ ECD=90°$，将两个式子结合即可推导出两者的和为$180°$。
3. 第(3)问：当$CE// AB$时，需分两种情况讨论：一是$CE$在$AB$上方，利用内错角相等（$∠ A=∠ ACE$）推导$∠ BCD$的度数；二是$CE$在$AB$下方，利用同位角相等（$∠ B=∠ BCE$）推导$∠ BCD$的度数，注意转动一周会出现两种平行情况，不能遗漏。
【解析】
(1) 因为$∠ ACB=∠ ECD=90°$，$∠ BCD=110°$，
所以$∠ ACD=∠ BCD - ∠ ACB=110°-90°=20°$，
则$∠ ACE=∠ ECD - ∠ ACD=90°-20°=70°$。
(2) $\boldsymbol{∠ BCD+∠ ACE=180°}$，理由如下：
因为$∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=90°+∠ ACD$，
所以$∠ BCD+∠ ACE=90°+∠ ACD+∠ ACE=90°+∠ ECD=90°+90°=180°$。
(3) 分两种情况：
① 如图①所示，当$∠ BCD=150°$时，$AB// CE$。
因为$∠ BCD=150°$，$∠ ACB=∠ ECD=90°$，
所以$∠ ACE=30°$，
所以$∠ A=∠ ACE=30°$，
根据内错角相等，两直线平行，可得$AB// CE$。
② 如图②所示，当$∠ BCD=30°$时，$AB// CE$。
因为$∠ BCD=30°$，$∠ DCE=90°$，
所以$∠ BCE=60°$，
所以$∠ B=∠ BCE=60°$，
根据同位角相等，两直线平行，可得$AB// CE$。
综上所述，$∠ BCD$等于$150°$或$30°$时，$CE// AB$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{70°}$
(2) $\boldsymbol{∠ BCD+∠ ACE=180°}$，理由见解析；
(3) $\boldsymbol{∠ BCD}$等于$\boldsymbol{150°}$或$\boldsymbol{30°}$时，$CE// AB$，对应图形如下：
【知识点】
角的和差运算、平行线的判定、三角板角度性质
【点评】
本题综合考查了角的和差计算与平行线的判定，第(3)问的分类讨论是解题难点，考查了学生的分类思想和逻辑推理能力，解题时要全面考虑图形的位置变化，避免遗漏情况。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：已知两个直角三角板的直角顶点重合，即$∠ ACB=∠ ECD=90°$，先通过$∠ BCD$与$∠ ACB$的差求出$∠ ACD$的度数，再利用$∠ ECD$与$∠ ACD$的差计算$∠ ACE$；也可直接用$∠ ACB+∠ ECD-∠ BCD$快速得到结果。
2. 第(2)问：要探究$∠ BCD$与$∠ ACE$的数量关系，可将$∠ BCD$拆分为$∠ ACB+∠ ACD$，结合$∠ ACD+∠ ACE=∠ ECD=90°$，将两个式子结合即可推导出两者的和为$180°$。
3. 第(3)问：当$CE// AB$时，需分两种情况讨论：一是$CE$在$AB$上方，利用内错角相等（$∠ A=∠ ACE$）推导$∠ BCD$的度数；二是$CE$在$AB$下方，利用同位角相等（$∠ B=∠ BCE$）推导$∠ BCD$的度数，注意转动一周会出现两种平行情况，不能遗漏。
【解析】
(1) 因为$∠ ACB=∠ ECD=90°$，$∠ BCD=110°$，
所以$∠ ACD=∠ BCD - ∠ ACB=110°-90°=20°$，
则$∠ ACE=∠ ECD - ∠ ACD=90°-20°=70°$。
(2) $\boldsymbol{∠ BCD+∠ ACE=180°}$，理由如下：
因为$∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=90°+∠ ACD$，
所以$∠ BCD+∠ ACE=90°+∠ ACD+∠ ACE=90°+∠ ECD=90°+90°=180°$。
(3) 分两种情况：
① 如图①所示，当$∠ BCD=150°$时，$AB// CE$。
因为$∠ BCD=150°$，$∠ ACB=∠ ECD=90°$，
所以$∠ ACE=30°$，
所以$∠ A=∠ ACE=30°$，
根据内错角相等，两直线平行，可得$AB// CE$。
② 如图②所示，当$∠ BCD=30°$时，$AB// CE$。
因为$∠ BCD=30°$，$∠ DCE=90°$，
所以$∠ BCE=60°$，
所以$∠ B=∠ BCE=60°$，
根据同位角相等，两直线平行，可得$AB// CE$。
综上所述，$∠ BCD$等于$150°$或$30°$时，$CE// AB$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{70°}$
(2) $\boldsymbol{∠ BCD+∠ ACE=180°}$，理由见解析；
(3) $\boldsymbol{∠ BCD}$等于$\boldsymbol{150°}$或$\boldsymbol{30°}$时，$CE// AB$，对应图形如下：
【知识点】
角的和差运算、平行线的判定、三角板角度性质
【点评】
本题综合考查了角的和差计算与平行线的判定，第(3)问的分类讨论是解题难点，考查了学生的分类思想和逻辑推理能力，解题时要全面考虑图形的位置变化，避免遗漏情况。
【难度系数】
0.6
