7. 铁路部门为了安全起见,在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯。如图所示,灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转,灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转,两灯不停交叉照射巡视。若灯A转动的速度是每秒$2°$,灯B转动的速度是每秒$1°$。假定主道路是平行的,即$PQ// MN$,且$∠ BAM=2∠ BAN$。
(1)填空:$∠ ABQ=$;
(2)若灯B射线先转动30秒,灯A射线才开始转动,在灯B射线第一次到达BQ之前,A灯转动几秒,两灯的光束互相平行?

(1)60°;
(2)A灯转动30或110秒,两灯的光束互相平行。

【分析】
(1) 首先根据平角的定义，结合已知的∠BAM与∠BAN的数量关系，求出∠BAN的度数；再利用平行线的内错角相等的性质，即可得到∠ABQ的度数。
(2) 需分两种情况讨论：第一种是灯A的光束从AM向AN旋转（未回转）时，第二种是灯A的光束到达AN后回转（从AN向AM旋转）时。结合平行线的性质，分别列出一元一次方程求解，同时要注意灯B第一次到达BQ的时间限制，确定t的取值范围，避免不符合条件的解。
【解析】
(1) 因为∠BAM + ∠BAN = 180°，且∠BAM=2∠BAN，
所以$2∠BAN + ∠BAN = 180°$，
解得$∠BAN=60°$。
又因为$PQ// MN$，根据“两直线平行，内错角相等”，
所以$∠ABQ=∠BAN=60°$。
(2) 设A灯转动$t$秒，两灯的光束互相平行。
灯B先转动30秒，故灯B总共转动时间为$(t+30)$秒，灯B第一次到达BQ时，$t+30=180$，即$t=150$，因此$t＜150$。
① 当$0＜t≤90$时（灯A未回转，光束在AM与AN之间）：
灯A的光束与AM的夹角为$2t°$，灯B的光束与BP的夹角为$(t+30)°$。
因为$PQ// MN$，两光束平行，内错角相等，所以$2t = t+30$，
解得$t=30$，符合$0＜t≤90$的范围。
② 当$90＜t＜150$时（灯A已回转，光束在AN与AM之间）：
灯A回转后，光束与AN的夹角为$2(t-90)°$；
灯B的光束与BQ的夹角为$180°-(t+30)°$。
因为$PQ// MN$，两光束平行，内错角相等，所以$2(t-90)=180-(t+30)$，
展开得：$2t-180=150-t$，
移项合并得：$3t=330$，
解得$t=110$，符合$90＜t＜150$的范围。
综上，A灯转动30秒或110秒时，两灯的光束互相平行。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60°}$;
(2) $\boldsymbol{30}$或$\boldsymbol{110}$秒
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 一元一次方程的应用
3. 平角的定义
【点评】
本题是平行线性质与一元一次方程的综合应用，解题的核心是根据灯的旋转状态分类讨论，准确利用平行线的角度关系建立方程，同时要关注旋转过程中角度的取值范围，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6

8. 如图,点O在直线AB上,OC平分$∠ AOF$,OD平分$∠ BOF$,F是DE上一点,连接OF。
(1)试判断OC与OD的位置关系,并说明理由;
(2)若$∠ D$与$∠ 1$互余,试说明:$ED// AB$。

解:(1)OC⊥OD,理由:
因为OC平分∠AOF,OD平分∠BOF,
所以∠COF=$\frac{1}{2}$∠AOF,∠DOF=$\frac{1}{2}$∠BOF。
因为∠AOF+∠BOF=180°,
所以∠COF+∠DOF=$\frac{1}{2}$(∠AOF+∠BOF)=90°,
所以OC⊥OD;
(2)由(1)知,OC⊥OD,
所以∠COD=90°,
所以∠1+∠DOB=90°。
因为∠D+∠1=90°,
所以∠D=∠DOB,
所以ED//AB。

【分析】
(1) 要判断OC与OD的位置关系，优先考虑垂直，需证明$∠ COD=90°$。根据角平分线的定义，可将$∠ COF$、$∠ DOF$分别表示为$∠ AOF$、$∠ BOF$的一半，再结合$∠ AOF$与$∠ BOF$组成平角（和为$180°$），即可求出$∠ COF+∠ DOF$的度数，进而判定垂直关系。
(2) 要证明$ED// AB$，可通过寻找内错角相等来推导。由(1)的结论可知$∠ COD=90°$，从而得到$∠ 1+∠ DOB=90°$，结合已知$∠ D$与$∠ 1$互余，可推出$∠ D=∠ DOB$，根据内错角相等两直线平行即可证明平行。
【解析】
(1) $\boldsymbol{OC⊥ OD}$，理由如下：
因为OC平分$∠ AOF$，OD平分$∠ BOF$，
所以$∠ COF=\frac{1}{2}∠ AOF$，$∠ DOF=\frac{1}{2}∠ BOF$。
又因为$∠ AOF+∠ BOF=180°$（平角的定义），
所以$∠ COF+∠ DOF=\frac{1}{2}(∠ AOF+∠ BOF)=\frac{1}{2}×180°=90°$，
即$∠ COD=90°$，故$OC⊥ OD$。
(2) 证明：
由(1)知$OC⊥ OD$，所以$∠ COD=90°$，
因此$∠ 1+∠ DOB=180°-∠ COD=90°$。
又因为$∠ D$与$∠ 1$互余，即$∠ D+∠ 1=90°$，
所以$∠ D=∠ DOB$（同角的余角相等），
根据内错角相等，两直线平行，可得$ED// AB$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{OC⊥ OD}$，理由见上述解析；
(2) 证明见上述解析。
【知识点】
角平分线的定义；垂直的判定；平行线的判定
【点评】
本题考查角平分线、垂直与平行线的综合应用，核心是利用角的和差关系及互余性质进行角度转化，解题关键是熟练掌握角平分线定义、垂直判定和平行线判定定理，属于基础几何题型，注重对几何逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.8