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(1)4,6,10; (2)5,6,7。
Ⅱ.等腰三角形的周长为21 cm,如果它的一条边长为5 cm,求其他两边的长。
Ⅱ.等腰三角形的周长为21 cm,如果它的一条边长为5 cm,求其他两边的长。
答案
【问题思考】
Ⅰ.(1)不能;(2)能。
Ⅱ.8 cm和8 cm。
Ⅰ.(1)不能;(2)能。
Ⅱ.8 cm和8 cm。
解析
【分析】
Ⅰ.判断三条线段能否构成三角形，核心依据是三角形三边关系：任意两边之和大于第三边。我们只需要验证每组中较短两条边的和是否大于最长边即可，若大于则能构成，反之则不能。
Ⅱ.等腰三角形已知周长和一条边长，需要分情况讨论这条边是腰还是底边，再结合三角形三边关系验证所得边长是否符合要求，排除不成立的情况，得到正确结果。
【解析】
Ⅰ.
(1) 对于线段4,6,10，计算较短两边之和：4+6=10，不满足“两边之和大于第三边”，因此不能构成三角形；
(2) 对于线段5,6,7，验证三边关系：5+6＞7，5+7＞6，6+7＞5，均满足“任意两边之和大于第三边”，因此能构成三角形。
Ⅱ.
分两种情况讨论：
① 当5 cm为腰长时，底边长 = 21 - 5×2 = 11 cm，此时三边长为5 cm、5 cm、11 cm。
因为5+5=10＜11，不满足三角形三边关系，此情况舍去；
② 当5 cm为底边长时，腰长 = (21 - 5)÷2 = 8 cm，此时三边长为8 cm、8 cm、5 cm。
验证三边关系：8+8＞5，8+5＞8，满足三角形三边关系，此情况成立。
【答案】
Ⅰ.(1)不能；(2)能。Ⅱ.8 cm和8 cm。
【知识点】
三角形三边关系，等腰三角形性质
【点评】
本题考查三角形三边关系的应用与等腰三角形的分类讨论思想，解题关键在于分类讨论后需验证所得边长是否符合三角形构成条件，避免遗漏验证步骤导致错误。
【难度系数】
0.6
Ⅰ.判断三条线段能否构成三角形，核心依据是三角形三边关系：任意两边之和大于第三边。我们只需要验证每组中较短两条边的和是否大于最长边即可，若大于则能构成，反之则不能。
Ⅱ.等腰三角形已知周长和一条边长，需要分情况讨论这条边是腰还是底边，再结合三角形三边关系验证所得边长是否符合要求，排除不成立的情况，得到正确结果。
【解析】
Ⅰ.
(1) 对于线段4,6,10，计算较短两边之和：4+6=10，不满足“两边之和大于第三边”，因此不能构成三角形；
(2) 对于线段5,6,7，验证三边关系：5+6＞7，5+7＞6，6+7＞5，均满足“任意两边之和大于第三边”，因此能构成三角形。
Ⅱ.
分两种情况讨论：
① 当5 cm为腰长时，底边长 = 21 - 5×2 = 11 cm，此时三边长为5 cm、5 cm、11 cm。
因为5+5=10＜11，不满足三角形三边关系，此情况舍去；
② 当5 cm为底边长时，腰长 = (21 - 5)÷2 = 8 cm，此时三边长为8 cm、8 cm、5 cm。
验证三边关系：8+8＞5，8+5＞8，满足三角形三边关系，此情况成立。
【答案】
Ⅰ.(1)不能；(2)能。Ⅱ.8 cm和8 cm。
【知识点】
三角形三边关系，等腰三角形性质
【点评】
本题考查三角形三边关系的应用与等腰三角形的分类讨论思想，解题关键在于分类讨论后需验证所得边长是否符合三角形构成条件，避免遗漏验证步骤导致错误。
【难度系数】
0.6
1.下列各组线段能组成三角形的是(
A.1 cm,2 cm,4 cm
B.8 cm,6 cm,4 cm
C.12 cm,6 cm,5 cm
D.2 cm,3 cm,6 cm
B
)。A.1 cm,2 cm,4 cm
B.8 cm,6 cm,4 cm
C.12 cm,6 cm,5 cm
D.2 cm,3 cm,6 cm
答案
1. B
解析
【分析】
要判断各组线段能否组成三角形，需依据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。为简化判断，只需验证每组中较短两条线段的和是否大于最长线段即可（因为最长线段与任意较短线段的和必然大于另一条较短线段），接下来对每个选项逐一验证。
【解析】
根据三角形三边关系，验证每组较短两边之和与最长边的大小关系：
选项A：较短两边为1cm、2cm，最长边为4cm，$1+2=3＜4$，不满足三边关系，不能组成三角形；
选项B：较短两边为4cm、6cm，最长边为8cm，$4+6=10＞8$，满足三边关系，能组成三角形；
选项C：较短两边为5cm、6cm，最长边为12cm，$5+6=11＜12$，不满足三边关系，不能组成三角形；
选项D：较短两边为2cm、3cm，最长边为6cm，$2+3=5＜6$，不满足三边关系，不能组成三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题考查三角形三边关系的基础应用，解题核心是掌握“较短两边之和大于最长边”的简便判断方法，可有效减少计算量，提升解题速度与准确性。
【难度系数】
0.8
要判断各组线段能否组成三角形，需依据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。为简化判断，只需验证每组中较短两条线段的和是否大于最长线段即可（因为最长线段与任意较短线段的和必然大于另一条较短线段），接下来对每个选项逐一验证。
【解析】
根据三角形三边关系，验证每组较短两边之和与最长边的大小关系：
选项A：较短两边为1cm、2cm，最长边为4cm，$1+2=3＜4$，不满足三边关系，不能组成三角形；
选项B：较短两边为4cm、6cm，最长边为8cm，$4+6=10＞8$，满足三边关系，能组成三角形；
选项C：较短两边为5cm、6cm，最长边为12cm，$5+6=11＜12$，不满足三边关系，不能组成三角形；
选项D：较短两边为2cm、3cm，最长边为6cm，$2+3=5＜6$，不满足三边关系，不能组成三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题考查三角形三边关系的基础应用，解题核心是掌握“较短两边之和大于最长边”的简便判断方法，可有效减少计算量，提升解题速度与准确性。
【难度系数】
0.8
2.等腰三角形一边长为5 cm,它比另一边短6 cm,求三角形的周长。
答案
2.解:因为等腰三角形一边长为5 cm,它比另一边短6 cm,
所以另一边为6+5=11,
当5为底时,其他两边都为11,则5,11,11可以构成三角形,周长为27;
当5为腰时,其他两边为5和11,因为5+5＜11,所以不能构成三角形,故舍去。
所以三角形的周长为27 cm。
所以另一边为6+5=11,
当5为底时,其他两边都为11,则5,11,11可以构成三角形,周长为27;
当5为腰时,其他两边为5和11,因为5+5＜11,所以不能构成三角形,故舍去。
所以三角形的周长为27 cm。
解析
【分析】
首先根据题目给出的边长关系，先算出另一边的长度为5+6=11cm。由于是等腰三角形，需分两种情况讨论：5cm为底边或5cm为腰。之后要依据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，判断两种情况是否能构成三角形，能构成的计算周长，不能的舍去，最终确定符合条件的周长。
【解析】
解：因为等腰三角形一边长为5 cm，它比另一边短6 cm，
所以另一边的长度为6+5=11(cm)。
情况一：当5 cm为底时，等腰三角形的腰长为11 cm，此时三角形三边为5 cm、11 cm、11 cm。
因为5+11＞11，11+11＞5，满足三角形三边关系，可以构成三角形，
周长为5+11+11=27(cm)。
情况二：当5 cm为腰时，等腰三角形的底边长为11 cm，此时三角形三边为5 cm、5 cm、11 cm。
因为5+5=10＜11，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，故舍去。
综上，三角形的周长为27 cm。
【答案】
27 cm
【知识点】
等腰三角形性质、三角形三边关系
【点评】
本题考查等腰三角形性质与三角形三边关系的综合应用，解题核心是运用分类讨论思想，分情况确定腰和底边的长度，同时必须验证三边能否构成三角形，避免得出错误结论。
【难度系数】
0.6
首先根据题目给出的边长关系，先算出另一边的长度为5+6=11cm。由于是等腰三角形，需分两种情况讨论：5cm为底边或5cm为腰。之后要依据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，判断两种情况是否能构成三角形，能构成的计算周长，不能的舍去，最终确定符合条件的周长。
【解析】
解：因为等腰三角形一边长为5 cm，它比另一边短6 cm，
所以另一边的长度为6+5=11(cm)。
情况一：当5 cm为底时，等腰三角形的腰长为11 cm，此时三角形三边为5 cm、11 cm、11 cm。
因为5+11＞11，11+11＞5，满足三角形三边关系，可以构成三角形，
周长为5+11+11=27(cm)。
情况二：当5 cm为腰时，等腰三角形的底边长为11 cm，此时三角形三边为5 cm、5 cm、11 cm。
因为5+5=10＜11，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，故舍去。
综上，三角形的周长为27 cm。
【答案】
27 cm
【知识点】
等腰三角形性质、三角形三边关系
【点评】
本题考查等腰三角形性质与三角形三边关系的综合应用，解题核心是运用分类讨论思想，分情况确定腰和底边的长度，同时必须验证三边能否构成三角形，避免得出错误结论。
【难度系数】
0.6
1.已知三条线段的长是:①1,3,4;②1,2,3;③1,4,6;④3,3,6;⑤6,6,10;⑥3,4,5。其中可构成三角形的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)。A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1. B
解析
【分析】
要判断三条线段能否构成三角形，核心依据是三角形三边关系：任意两边之和大于第三边。为简化判断，只需验证较短两条线段的和是否大于最长线段即可（若较短两边之和大于最长边，则其他组合的两边之和必然大于第三边）。接下来我们依次对每组线段进行验证。
【解析】
根据三角形三边关系，逐一分析各组线段：
①线段1,3,4：较短两边之和为1+3=4，等于最长边4，不满足“两边之和大于第三边”，不能构成三角形；
②线段1,2,3：较短两边之和为1+2=3，等于最长边3，不满足条件，不能构成三角形；
③线段1,4,6：较短两边之和为1+4=5＜6，小于最长边6，不满足条件，不能构成三角形；
④线段3,3,6：较短两边之和为3+3=6，等于最长边6，不满足条件，不能构成三角形；
⑤线段6,6,10：较短两边之和为6+6=12＞10，大于最长边10，满足条件，可以构成三角形；
⑥线段3,4,5：较短两边之和为3+4=7＞5，大于最长边5，满足条件，可以构成三角形。
综上，能构成三角形的有2组。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题考查三角形三边关系的应用，判断时优先验证较短两边之和与最长边的大小关系，可简化计算，同时需注意“两边之和大于第三边”是严格大于，等于的情况无法构成三角形。
【难度系数】
0.8
要判断三条线段能否构成三角形，核心依据是三角形三边关系：任意两边之和大于第三边。为简化判断，只需验证较短两条线段的和是否大于最长线段即可（若较短两边之和大于最长边，则其他组合的两边之和必然大于第三边）。接下来我们依次对每组线段进行验证。
【解析】
根据三角形三边关系，逐一分析各组线段：
①线段1,3,4：较短两边之和为1+3=4，等于最长边4，不满足“两边之和大于第三边”，不能构成三角形；
②线段1,2,3：较短两边之和为1+2=3，等于最长边3，不满足条件，不能构成三角形；
③线段1,4,6：较短两边之和为1+4=5＜6，小于最长边6，不满足条件，不能构成三角形；
④线段3,3,6：较短两边之和为3+3=6，等于最长边6，不满足条件，不能构成三角形；
⑤线段6,6,10：较短两边之和为6+6=12＞10，大于最长边10，满足条件，可以构成三角形；
⑥线段3,4,5：较短两边之和为3+4=7＞5，大于最长边5，满足条件，可以构成三角形。
综上，能构成三角形的有2组。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题考查三角形三边关系的应用，判断时优先验证较短两边之和与最长边的大小关系，可简化计算，同时需注意“两边之和大于第三边”是严格大于，等于的情况无法构成三角形。
【难度系数】
0.8
2.在下列长度的四根木棒中,能与4 cm,9 cm长的两根木棒钉成一个三角形的是(
A.4 cm
B.5 cm
C.9 cm
D.13 cm
C
)。A.4 cm
B.5 cm
C.9 cm
D.13 cm
答案
2. C
解析
【分析】
要解决这个问题，核心是运用三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。首先设第三根木棒长度为$x$cm，结合已知的4cm和9cm两根木棒，先算出第三边的取值范围，再逐一对比选项，找出符合范围的数值即可。
【解析】
设第三根木棒的长度为$x$cm，根据三角形三边关系可得：
$9 - 4 ＜ x ＜ 9 + 4$
计算得出：$5 ＜ x ＜ 13$
对各选项进行判断：
A选项：$4\mathrm{cm}$，$4 ≤ 5$，不满足$5 ＜ x$，不符合要求；
B选项：$5\mathrm{cm}$，$5 = 5$，不满足$5 ＜ x$，不符合要求；
C选项：$9\mathrm{cm}$，$5 ＜ 9 ＜ 13$，符合取值范围；
D选项：$13\mathrm{cm}$，$13 = 13$，不满足$x ＜ 13$，不符合要求。
因此能与4cm、9cm木棒钉成三角形的是9cm的木棒。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，解题关键是准确推导第三边的取值范围，再结合选项筛选答案，难度较低，有助于巩固三角形三边关系的核心知识点。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，核心是运用三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。首先设第三根木棒长度为$x$cm，结合已知的4cm和9cm两根木棒，先算出第三边的取值范围，再逐一对比选项，找出符合范围的数值即可。
【解析】
设第三根木棒的长度为$x$cm，根据三角形三边关系可得：
$9 - 4 ＜ x ＜ 9 + 4$
计算得出：$5 ＜ x ＜ 13$
对各选项进行判断：
A选项：$4\mathrm{cm}$，$4 ≤ 5$，不满足$5 ＜ x$，不符合要求；
B选项：$5\mathrm{cm}$，$5 = 5$，不满足$5 ＜ x$，不符合要求；
C选项：$9\mathrm{cm}$，$5 ＜ 9 ＜ 13$，符合取值范围；
D选项：$13\mathrm{cm}$，$13 = 13$，不满足$x ＜ 13$，不符合要求。
因此能与4cm、9cm木棒钉成三角形的是9cm的木棒。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，解题关键是准确推导第三边的取值范围，再结合选项筛选答案，难度较低，有助于巩固三角形三边关系的核心知识点。
【难度系数】
0.8
3.等腰三角形一边长为4,一边长为9,它的周长是(
A.17
B.22
C.17或22
D.13
B
)。A.17
B.22
C.17或22
D.13
答案
3. B
解析
【分析】
要解决这道题，需结合等腰三角形的性质和三角形三边关系来思考：
1. 首先明确等腰三角形两腰长度相等，题目给出两条边长4和9，因此需要分两种情况讨论：腰长为4、底边长为9；腰长为9、底边长为4。
2. 然后根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，验证每种情况是否能构成三角形：
若腰长为4，底边长为9，此时4+4=8＜9，不满足三边关系，无法构成三角形，这种情况要舍去。
若腰长为9，底边长为4，此时9+9=18＞4，9+4=13＞9，满足三边关系，可以构成三角形。
3. 最后计算符合条件的三角形周长即可得到答案。
【解析】
分两种情况讨论：
情况1：当等腰三角形的腰长为4，底边长为9时，
因为4+4=8＜9，不满足三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，所以这种情况无法构成三角形，舍去。
情况2：当等腰三角形的腰长为9，底边长为4时，
验证三边关系：9+9=18＞4，9+4=13＞9，满足三边关系，能构成三角形。
此时周长为：9+9+4=22。
综上，该等腰三角形的周长是22。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形三边关系
【点评】
本题考查等腰三角形的性质与三角形三边关系的综合应用，易错点在于容易忽略验证三边关系，直接分两种情况计算周长，导致误选C。解题时一定要先判断每种情况是否能构成三角形，再计算周长。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需结合等腰三角形的性质和三角形三边关系来思考：
1. 首先明确等腰三角形两腰长度相等，题目给出两条边长4和9，因此需要分两种情况讨论：腰长为4、底边长为9；腰长为9、底边长为4。
2. 然后根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，验证每种情况是否能构成三角形：
若腰长为4，底边长为9，此时4+4=8＜9，不满足三边关系，无法构成三角形，这种情况要舍去。
若腰长为9，底边长为4，此时9+9=18＞4，9+4=13＞9，满足三边关系，可以构成三角形。
3. 最后计算符合条件的三角形周长即可得到答案。
【解析】
分两种情况讨论：
情况1：当等腰三角形的腰长为4，底边长为9时，
因为4+4=8＜9，不满足三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，所以这种情况无法构成三角形，舍去。
情况2：当等腰三角形的腰长为9，底边长为4时，
验证三边关系：9+9=18＞4，9+4=13＞9，满足三边关系，能构成三角形。
此时周长为：9+9+4=22。
综上，该等腰三角形的周长是22。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形三边关系
【点评】
本题考查等腰三角形的性质与三角形三边关系的综合应用，易错点在于容易忽略验证三边关系，直接分两种情况计算周长，导致误选C。解题时一定要先判断每种情况是否能构成三角形，再计算周长。
【难度系数】
0.5
4.组成三角形的三根棒中有两根棒长为2 cm和5 cm,则第三根棒长x的取值范围是
3 cm＜x＜7 cm
;若它的周长是偶数,则第三根棒的长是5 cm
。答案
4. 3 cm＜x＜7 cm 5 cm
解析
【分析】
首先，解决第一问需依据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两根棒长为2cm和5cm，第三边x需满足“两边之差＜x＜两边之和”，由此可确定x的取值范围。
接着解决第二问，先计算已知两边的和为2+5=7cm，三角形周长为7+x。因为周长是偶数，7是奇数，根据“奇数+奇数=偶数”，可知x必须是奇数，再结合第一问的取值范围，找出符合条件的奇数即可。
【解析】
1. 求第三根棒长x的取值范围：
根据三角形三边关系，可得：
$5 - 2 ＜ x ＜ 5 + 2$
计算得：$3\ \mathrm{cm} ＜ x ＜ 7\ \mathrm{cm}$
2. 求周长为偶数时第三根棒的长：
已知两根棒长度和为$2 + 5 = 7\ \mathrm{cm}$，三角形周长为$7 + x$。
由于周长是偶数，7是奇数，根据奇偶性运算性质，x必须为奇数。
结合$3\ \mathrm{cm} ＜ x ＜ 7\ \mathrm{cm}$，此范围内的奇数只有5cm，因此第三根棒的长是5cm。
【答案】
3 cm＜x＜7 cm；5 cm
【知识点】
三角形三边关系，奇偶性应用
【点评】
本题是基础综合题，既考查三角形三边关系的核心知识点，又结合数的奇偶性进行拓展分析。解题时需准确运用三边关系列出不等式，同时结合奇偶性性质筛选数值，考验学生的基础知识点掌握程度与简单逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
首先，解决第一问需依据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两根棒长为2cm和5cm，第三边x需满足“两边之差＜x＜两边之和”，由此可确定x的取值范围。
接着解决第二问，先计算已知两边的和为2+5=7cm，三角形周长为7+x。因为周长是偶数，7是奇数，根据“奇数+奇数=偶数”，可知x必须是奇数，再结合第一问的取值范围，找出符合条件的奇数即可。
【解析】
1. 求第三根棒长x的取值范围：
根据三角形三边关系，可得：
$5 - 2 ＜ x ＜ 5 + 2$
计算得：$3\ \mathrm{cm} ＜ x ＜ 7\ \mathrm{cm}$
2. 求周长为偶数时第三根棒的长：
已知两根棒长度和为$2 + 5 = 7\ \mathrm{cm}$，三角形周长为$7 + x$。
由于周长是偶数，7是奇数，根据奇偶性运算性质，x必须为奇数。
结合$3\ \mathrm{cm} ＜ x ＜ 7\ \mathrm{cm}$，此范围内的奇数只有5cm，因此第三根棒的长是5cm。
【答案】
3 cm＜x＜7 cm；5 cm
【知识点】
三角形三边关系，奇偶性应用
【点评】
本题是基础综合题，既考查三角形三边关系的核心知识点，又结合数的奇偶性进行拓展分析。解题时需准确运用三边关系列出不等式，同时结合奇偶性性质筛选数值，考验学生的基础知识点掌握程度与简单逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
