11. 认真阅读材料,完成探究。
探究1:如图①,在$△ ABC$中,$O$是$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线$BO$和$CO$的交点,通过分析发现$∠ BOC=90°+\dfrac{1}{2}∠ A$,理由如下:
因为$BO$和$CO$分别是$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线,
所以$∠ 1=\dfrac{1}{2}∠ ABC$,$∠ 2=\dfrac{1}{2}ACB$,
所以$∠ 1+∠ 2=\dfrac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$。
又因为$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$,
所以$∠ 1+∠ 2=\dfrac{1}{2}(180°-∠ A)=90°-\dfrac{1}{2}∠ A$,
所以$∠ BOC=180°-(∠ 1+∠ 2)$,
$=180°-(90°-\dfrac{1}{2}∠ A)=90°+\dfrac{1}{2}∠ A$。
探究2:如图②中,$O$是$∠ ABC$与外角$∠ ACD$的平分线$BO$和$CO$的交点,试分析$∠ BOC$与$∠ A$有怎样的关系?请说明理由。
探究3:如图③中,$O$是外角$∠ DBC$与外角$∠ ECB$的平分线$BO$和$CO$的交点,则$∠ BOC$与$∠ A$有怎样的关系?只写结论,不需证明
结论:。

自我反思
存在的问题:

改进的措施:

11.探究2:结论:∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A,
理由如下:
因为BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线,
所以∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠2=$\frac{1}{2}$∠ACD。
又因为∠ACD是△ABC的一外角,
所以∠ACD=∠A+∠ABC,
所以∠2=$\frac{1}{2}$(∠A+∠ABC)=$\frac{1}{2}$∠A+∠1。
因为∠2是△BOC的一外角,
所以∠BOC=∠2-∠1=$\frac{1}{2}$∠A+∠1-∠1=$\frac{1}{2}$∠A;
探究3:∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A。

【分析】
探究2：要推导$∠BOC$与$∠A$的关系，先根据角平分线定义，将$∠OBC$、$∠OCD$用原角表示；再利用三角形外角性质，把$∠ACD$转化为$∠A$与$∠ABC$的和，代入$∠OCD$的表达式；最后结合$△ BOC$中$∠OCD$是外角的性质，建立$∠BOC$与$∠A$的等式，化简即可得到关系。
探究3：$O$是两个外角的平分线交点，先利用角平分线定义表示出$∠OBC$和$∠OCB$，结合三角形外角与$∠A$的关系，再根据三角形内角和定理，计算$∠BOC$的表达式，化简后得到结论。
【解析】
探究2：
结论：$\boldsymbol{∠BOC=\frac{1}{2}∠A}$，理由如下：
设$∠ OBC=∠ 1$，$∠ OCD=∠ 2$。
因为$BO$和$CO$分别是$∠ ABC$和$∠ ACD$的角平分线，
所以$∠ 1=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ 2=\frac{1}{2}∠ ACD$。
又因为$∠ ACD$是$△ ABC$的外角，根据三角形外角性质，$∠ ACD=∠ A+∠ ABC$，
所以$∠ 2=\frac{1}{2}(∠ A+∠ ABC)=\frac{1}{2}∠ A+∠ 1$。
因为$∠ 2$是$△ BOC$的外角，根据三角形外角性质，$∠ BOC=∠ 2-∠ 1$，
代入得：$∠ BOC=\frac{1}{2}∠ A+∠ 1-∠ 1=\frac{1}{2}∠ A$。
探究3：
结论：$\boldsymbol{∠BOC=90°-\frac{1}{2}∠A}$。
【答案】
探究2：$\boldsymbol{∠BOC=\frac{1}{2}∠A}$；探究3：$\boldsymbol{∠BOC=90°-\frac{1}{2}∠A}$
【知识点】
三角形外角性质，角平分线定义，三角形内角和定理
【点评】
本题围绕三角形角平分线与内角、外角的关系展开递进式探究，需要灵活运用角平分线定义和三角形内角和、外角性质，既考查了基础几何知识，又培养了逻辑推理与几何探究能力。
【难度系数】
0.6