1. 下列各方程组中，属于二元一次方程组的是 ()

A.$\{\begin{array}{l}3x + 2y = 7,\\xy = 5\end{array} $
B.$\{\begin{array}{l}2x + y = 1,\\x + z = 2\end{array} $
C.$\{\begin{array}{l}y = 2x,\\3x + 4y = 2\end{array} $
D.$\{\begin{array}{l}\frac{5}{x}+\frac{y}{3}=\frac{1}{2},\\x + 2y = 3\end{array} $

C

二元一次方程组需要满足以下条件：
1. 含有两个未知数；
2. 每个方程均为整式方程；
3. 每个方程中未知数的次数均为1次。
对选项逐一分析：
A. 方程$xy = 5$中，$xy$为二次项，不满足次数为1次的条件；
B. 方程组含三个未知数$x, y, z$，不满足仅含两个未知数的条件；
C. 方程组$\begin{cases} y = 2x, \\ 3x + 4y = 2 \end{cases}$中，两方程均为一次方程且含两个未知数，满足条件；
D. 方程$\frac{5}{x} + \frac{y}{3} = \frac{1}{2}$中，$\frac{5}{x}$为分式，不满足整式方程的条件。

2. 下列以$\{\begin{array}{l}x = 2,\\y = -1\end{array} $为解的二元一次方程组是 ( )

A.$\{\begin{array}{l}3x + y = -5,\\2x - 3y = 7\end{array} $
B.$\{\begin{array}{l}3x + y = 5,\\2x + 3y = 7\end{array} $
C.$\{\begin{array}{l}3x + y = 5,\\2x - 3y = 7\end{array} $
D.$\{\begin{array}{l}3x + y = -5,\\2x - 3y = -7\end{array} $

C

将$x = 2$，$y = -1$代入各选项进行验证：
A选项：
$3×2+ (-1)=5≠-5$，
$2×2-3×(-1)=4 + 3 = 7$，
有一个方程不成立，所以A选项不符合；
B选项：
$3×2+ (-1)=5$，
$2×2+3×(-1)=4 - 3 = 1≠7$，
有一个方程不成立，所以B选项不符合；
C选项：
$3×2+ (-1)=5$，
$2×2-3×(-1)=4 + 3 = 7$，
两个方程都成立，所以C选项符合；
D选项：
$3×2+ (-1)=5≠-5$，
$2×2-3×(-1)=4 + 3 = 7≠-7$，
两个方程都不成立，所以D选项不符合。

3. 已知$\{\begin{array}{l}x = -1,\\y = 2\end{array} $是方程组$\{\begin{array}{l}3x + 2y = m,\\nx - y = 1\end{array} $的解，则$m - n$的值是 ( )

A.1
B.2
C.3
D.4

D

将 $x = -1$，$y = 2$ 代入方程组：
$\begin{cases}3x + 2y = m, \ x - y = 1.\end{cases}$
代入第一方程得：
$3× (-1) + 2 × 2= m$，
即：
$m = 1$，
代入第二个方程得：
$n× (-1) - 2 = 1$，
即：
$n = -3$，
所以：
$m - n = 1 - (-3) = 4$。

4. 在①$\{\begin{array}{l}x = 2,\\y = 1,\end{array} $②$\{\begin{array}{l}x = 1,\\y = 1,\end{array} $③$\{\begin{array}{l}x = -1,\\y = 4\end{array} $这三组数中， ______ (填序号，下同)是方程$x + y = 3$的解， ______ 是方程$3x + 2y = 5$的解， ______ 是方程组$\{\begin{array}{l}x + y = 3,\\3x + 2y = 5\end{array} $的解.

①③；②③；③

1. 判断各组数是否为方程$x + y = 3$的解：
对于①$\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$，将$x = 2$，$y = 1$代入$x + y$得$2 + 1=3$，所以①是方程$x + y = 3$的解。
对于②$\begin{cases}x = 1\\y = 1\end{cases}$，把$x = 1$，$y = 1$代入$x + y$得$1 + 1 = 2≠3$，所以②不是方程$x + y = 3$的解。
对于③$\begin{cases}x = -1\\y = 4\end{cases}$，将$x = -1$，$y = 4$代入$x + y$得$-1 + 4 = 3$，所以③是方程$x + y = 3$的解。
故方程$x + y = 3$的解是①③。
2. 判断各组数是否为方程$3x + 2y = 5$的解：
对于①$\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$，把$x = 2$，$y = 1$代入$3x + 2y$得$3×2+2×1 = 6 + 2 = 8≠5$，所以①不是方程$3x + 2y = 5$的解。
对于②$\begin{cases}x = 1\\y = 1\end{cases}$，将$x = 1$，$y = 1$代入$3x + 2y$得$3×1+2×1 = 3 + 2 = 5$，所以②是方程$3x + 2y = 5$的解。
对于③$\begin{cases}x = -1\\y = 4\end{cases}$，把$x = -1$，$y = 4$代入$3x + 2y$得$3×(-1)+2×4=-3 + 8 = 5$，所以③是方程$3x + 2y = 5$的解。
故方程$3x + 2y = 5$的解是②③。
3. 判断各组数是否为方程组$\begin{cases}x + y = 3\\3x + 2y = 5\end{cases}$的解：
方程组的解要同时满足两个方程，由前面计算可知，同时满足$x + y = 3$和$3x + 2y = 5$的只有③。

5. 甲、乙两人共有 6 本课外书，如果甲送给乙 1 本，那么两人的课外书恰好一样多，问甲和乙原来各有几本课外书？设原来甲有课外书$x$本，乙有课外书$y$本.
(1)请列出方程组：.
(2)当$x$分别取 3，4，5，6 时，填写下表：

(3)写出方程组的解.求甲、乙两人原有课外书的数量.

(1) $\begin{cases} x + y = 6 \\ x - 1 = y + 1 \end{cases}$
(2) 当$x=3$时，$y=3$；$x=4$时，$y=2$；$x=5$时，$y=1$；$x=6$时，$y=0$；$x=3$时，$y=1$；$x=4$时，$y=2$；$x=5$时，$y=3$；$x=6$时，$y=4$
(3) 方程组的解为$\begin{cases} x = 4 \\ y = 2 \end{cases}$，甲原有4本，乙原有2本。

【解析】
(1) 根据“甲、乙两人共有6本课外书”可列方程$x+y=6$；根据“甲送给乙1本，两人的课外书恰好一样多”，即甲送书后数量等于乙得到书后数量，可列方程$x-1=y+1$，因此方程组为$\begin{cases} x + y = 6 \\ x - 1 = y + 1 \end{cases}$。
(2) 对于方程$x+y=6$，变形为$y=6-x$，分别代入$x=3,4,5,6$计算对应的$y$值；对于方程$x-1=y+1$，变形为$y=x-2$，分别代入$x=3,4,5,6$计算对应的$y$值，完成填表。
(3) 找出同时满足两个方程的$x$和$y$的值，即为方程组的解，进而得到甲、乙原有课外书的数量。
【答案】
(1) $\begin{cases} x + y = 6 \\ x - 1 = y + 1 \end{cases}$
(2) 第一行$y$值：3，2，1，0；第二行$y$值：1，2，3，4
(3) 方程组的解为$\begin{cases} x = 4 \\ y = 2 \end{cases}$，甲原有4本课外书，乙原有2本课外书。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程组的解
【点评】
本题考查根据实际问题列二元一次方程组，以及利用枚举法求解二元一次方程组，准确理解题意、找出等量关系是解题关键。