2. 如图,小明在距某电视塔塔底水平距离500 m处看塔顶的仰角$∠ CAB$为$20°$(不考虑身高因素),求此塔的高度(结果保留整数.参考数据:$\sin 20° \approx 0.342\ 0$,$\sin 70° \approx 0.939\ 7$, $\tan 20° \approx 0.364\ 0$,$\tan 70° \approx 2.747\ 5$).
答案
解：
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=20°，AB=500m。
∵$\tan∠ CAB=\frac{BC}{AB}$，
∴$BC=AB·\tan20°\approx500×0.3640=182(m)$。
答：此塔的高度约为182m。
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=20°，AB=500m。
∵$\tan∠ CAB=\frac{BC}{AB}$，
∴$BC=AB·\tan20°\approx500×0.3640=182(m)$。
答：此塔的高度约为182m。
3. 图①是一只消毒液喷雾瓶的实物图,其示意图如图②所示,$AB=6\ \mathrm{cm}$,$BC=4\ \mathrm{cm}$, $∠ B=85°$,$∠ C=120°$.求点A到CD的距离(参考数据:$\sin 65° \approx 0.906$,$\cos 65° \approx 0.423$, $\tan 65° \approx 2.145$,$\sqrt{3} \approx 1.732$).
答案
解：过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E，过点A作AF⊥BE，交EB的延长线于点F，
则∠F=∠E=90°，
∵ AF⊥BE，BE⊥CD，
∴ AF//CD，∠FED=90°，
∴ 四边形AFED是矩形，点A到CD的距离等于AF + BE。
在Rt△BCE中，∠BCE=180°-120°=60°，BC=4cm，
BE=BC·sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$≈3.464(cm)，
∠CBE=90°-60°=30°。
∵ ∠ABC=85°，
∴ ∠ABF=180°-∠ABC-∠CBE=180°-85°-30°=65°。
在Rt△ABF中，AB=6cm，
AF=AB·sin65°≈6×0.906=5.436(cm)。
∴ 点A到CD的距离≈5.436+3.464=8.9(cm)。
答：点A到CD的距离约为8.9cm。
则∠F=∠E=90°，
∵ AF⊥BE，BE⊥CD，
∴ AF//CD，∠FED=90°，
∴ 四边形AFED是矩形，点A到CD的距离等于AF + BE。
在Rt△BCE中，∠BCE=180°-120°=60°，BC=4cm，
BE=BC·sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$≈3.464(cm)，
∠CBE=90°-60°=30°。
∵ ∠ABC=85°，
∴ ∠ABF=180°-∠ABC-∠CBE=180°-85°-30°=65°。
在Rt△ABF中，AB=6cm，
AF=AB·sin65°≈6×0.906=5.436(cm)。
∴ 点A到CD的距离≈5.436+3.464=8.9(cm)。
答：点A到CD的距离约为8.9cm。
4. 如图,学校附近一条笔直的公路l设有区间测速,所有车辆限速为40 km/h. 数学实践活动小组设计了如下活动:在l上确定A、B两点,并在AB路段进行区间测速.在l外取一点P,作$PC⊥ l$,垂足为C.测得$PC=30\ \mathrm{m}$,$∠ APC=71°$,$∠ BPC=35°$.上午9时测得一辆汽车从点A到点B用时6 s,用你所学的数学知识说明该车是否超速(参考数据:$\sin 35° \approx 0.57$,$\cos 35° \approx 0.82$,$\tan 35° \approx 0.70$,$\sin 71° \approx 0.95$,$\cos 71° \approx 0.33$, $\tan 71° \approx 2.90$).
答案
解：
在Rt△APC中，∠ACP=90°，
∵ $\tan∠ APC = \frac{AC}{PC}$，
∴ $AC = PC·\tan∠ APC = 30×\tan71°\approx30×2.90=87(\mathrm{m})$。
在Rt△BPC中，∠BCP=90°，
∵ $\tan∠ BPC = \frac{BC}{PC}$，
∴ $BC = PC·\tan∠ BPC = 30×\tan35°\approx30×0.70=21(\mathrm{m})$。
∴ $AB = AC - BC = 87 - 21 = 66(\mathrm{m})$。
该车的速度为：$66÷6 = 11(\mathrm{m/s})$，
$11\ \mathrm{m/s} = 11×3.6 = 39.6(\mathrm{km/h})$。
∵ $39.6 ＜ 40$，
∴ 该车没有超速。
答：该车没有超速。
在Rt△APC中，∠ACP=90°，
∵ $\tan∠ APC = \frac{AC}{PC}$，
∴ $AC = PC·\tan∠ APC = 30×\tan71°\approx30×2.90=87(\mathrm{m})$。
在Rt△BPC中，∠BCP=90°，
∵ $\tan∠ BPC = \frac{BC}{PC}$，
∴ $BC = PC·\tan∠ BPC = 30×\tan35°\approx30×0.70=21(\mathrm{m})$。
∴ $AB = AC - BC = 87 - 21 = 66(\mathrm{m})$。
该车的速度为：$66÷6 = 11(\mathrm{m/s})$，
$11\ \mathrm{m/s} = 11×3.6 = 39.6(\mathrm{km/h})$。
∵ $39.6 ＜ 40$，
∴ 该车没有超速。
答：该车没有超速。
5. 投影仪安装截面图如图所示,教室高$EF=3.5\ \mathrm{m}$,投影仪A发出的光线夹角$∠ BAC=30°$,投影屏幕高$BC=1.2\ \mathrm{m}$.固定投影仪的吊臂$AD=0.5\ \mathrm{m}$,且$AD\bot DE$, $AD// EF$, $∠ ACB=45°$.求屏幕底边沿距离地面CF的高度(精确到0.1 m.参考数据:$\tan 15° \approx 0.27$,$\tan 30° \approx 0.58$).
答案
解：过点A作$AG ⊥ BC$于G，设$AG=x$。
在$\mathrm{Rt}△ AGC$中，$∠ ACG=45°$，
$\therefore CG=AG=x$。
$\because ∠ BAC=30°$，
$\therefore ∠ BAG=∠ CAG - ∠ BAC=45° - 30°=15°$。
在$\mathrm{Rt}△ AGB$中，$BG=AG · \tan15° \approx 0.27x$。
$\because BC=CG - BG=1.2$，
$\therefore x - 0.27x=1.2$，
解得$x \approx 1.64$。
$\because AD ⊥ DE$，$AD// EF$，$AD=0.5\ \mathrm{m}$，$EF=3.5\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 点A到地面的高度为$3.5 - 0.5=3\ \mathrm{m}$。
$\therefore CF=3 - x \approx 3 - 1.64=1.4\ \mathrm{m}$。
答：屏幕底边沿距离地面CF的高度约为$1.4\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AGC$中，$∠ ACG=45°$，
$\therefore CG=AG=x$。
$\because ∠ BAC=30°$，
$\therefore ∠ BAG=∠ CAG - ∠ BAC=45° - 30°=15°$。
在$\mathrm{Rt}△ AGB$中，$BG=AG · \tan15° \approx 0.27x$。
$\because BC=CG - BG=1.2$，
$\therefore x - 0.27x=1.2$，
解得$x \approx 1.64$。
$\because AD ⊥ DE$，$AD// EF$，$AD=0.5\ \mathrm{m}$，$EF=3.5\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 点A到地面的高度为$3.5 - 0.5=3\ \mathrm{m}$。
$\therefore CF=3 - x \approx 3 - 1.64=1.4\ \mathrm{m}$。
答：屏幕底边沿距离地面CF的高度约为$1.4\ \mathrm{m}$。
