4. 如图，菱形$ABCD$的边长为$2$，$∠ B = 60°$，$M$，$N$分别是边$BC$，$CD$上的动点，$∠ MAN = 60°$，连接$MN$。
(1)$△ AMN$是等边三角形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由。
(2)在点$M$，$N$运动的过程中，$△ CMN$的面积存在最大值吗？若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由。

(1)证明：如图，连接AC.
$ \because$四边形ABCD是菱形，
$ \therefore ∠ B=∠ D=60°$，AB=BC=CD=AD，
$ \therefore △ ABC$，△ ACD都是等边三角形，
$ \therefore AB=AC$，∠ BAC=60°，∠ ACN=60°，
$ \therefore ∠ BAM=∠ CAN$，
$ \therefore △ BAM≌△ CAN(\mathrm{ASA})$，$\therefore AM=AN.$
$ \because ∠ MAN=60°$，$\therefore △ AMN$是等边三角形.
(2)解：△ CMN的面积存在最大值，理由如下：
$ \because △ BAM≌△ CAN$，$\therefore S_{△ BAM}=S_{△ CAN}$，
$ \therefore S_{四边形AMCN}=S_{△ AMC}+S_{△ ANC}=S_{△ AMC}+S_{△ BAM}=S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
$ \therefore$四边形AMCN的面积不发生变化，
$ \therefore$当△ AMN的面积最小时，△ CMN的面积最大.
$ \because △ AMN$是等边三角形，
根据垂线段最短可知，当AM⊥ BC时，AM的值最小，△ AMN的面积最小，
此时$S_{△ AMN}=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
$ \therefore △ CMN$的面积的最大值为$\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}.$

5. 如图①，四边形$OABC$是菱形，$B(6,0)$，$∠ C = 60°$。
(1)作$∠ AOB$的平分线$OD$，交$AB$于点$D$；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，点$P$在直线$OD$上，当$|PC - PA|$取最大值时，求$OP$的长；
(3)如图②，$E$，$F$分别是线段$OA$，$OC$上的动点，$∠ EBF = 60°$，求四边形$OEBF$周长的最小值。

(1)如图所示，OD即为所求；
(2)解：如图，连接PA，PC，PB，延长CB交OD于点P'，连接AP'.
$ \because$四边形OABC是菱形，∠ OCB=60°，
$ \therefore AO=AB=OC=BC$，∠ OAB=∠ OCB=60°，
$ \therefore △ OAB$，△ OBC都是等边三角形，$\therefore OA=OB.$
$ \because OD$平分∠ AOB，$\therefore OD⊥ AB$，AD=DB，$\therefore PA=PB$，
$ \therefore PC-PA=PC-PB≤ BC$，
$ \therefore$当点P与点P'重合时，|PC-PA|取最大值.
$ \because ∠ COB=60°$，∠ DOB=30°，$\therefore ∠ COP'=90°.$
$ \because OC=OB=6$，∠ OCP'=60°，$\therefore OP'=6\sqrt{3}$，
$ \therefore$当|PC-PA|取最大值时，OP的长为$6\sqrt{3}.$
(3)解：$\because ∠ EBF=∠ OBC=60°$，$\therefore ∠ OBE=∠ CBF.$
$ \because ∠ BOE=∠ C=60°$，BO=BC，
$ \therefore △ BOE≌△ BCF(\mathrm{ASA})$，$\therefore OE=CF$，BE=BF，
$ \therefore OE+OF=CF+FO=OC=6$，
$ \therefore$当BE+BF的值最小时，四边形OEBF的周长最小.
根据垂线段最短可知，当BE⊥ OA，BF⊥ OC时，BE+BF的值最小，为$6\sqrt{3}$，此时满足∠ EBF=60°，
$ \therefore$四边形OEBF周长的最小值为$6+6\sqrt{3}.$