1. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$E$ 为 $AD$ 上一点，连接 $BE$ 交对角线于点 $F$，连接 $DF$，若 $∠ ABE = 35°$，则 $∠ CFD$ 的度数为()

A.$80°$
B.$70°$
C.$75°$
D.$45°$

A

2. 如图，在边长为 $4$ 的正方形 $ABCD$ 中，$E$ 是 $BC$ 上一点，$F$ 是 $CD$ 延长线上一点，连接 $AE$，$AF$，$AM$ 平分 $∠ EAF$ 交 $CD$ 于点 $M$。若 $BE = DF = 1$，则 $DM$ 的长度为()

A.$2$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{6}$
D.$\frac{12}{5}$

D

3. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 $ABCD$ 的边长为 $2$，$∠ DAO = 60°$，则点 $C$ 的坐标为。

$(\sqrt{3},1+\sqrt{3})$

4. (2024·南京秦淮)如图，$E$ 为正方形 $ABCD$ 对角线 $BD$ 上一点，且 $BE = BC$，$EF ⊥ BD$，交 $DC$ 于点 $F$。
(1) 求证：$DE = CF$；
(2) 若 $DE = 1$，则该正方形的边长为。

证明：如图，连接BF.
$ \because$四边形ABCD是正方形，
$ \therefore ∠ C=∠ ADC=90°$，∠ BDC=45°.
$ \because EF⊥ BD$，$\therefore ∠ FEB=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ BEF$和$\mathrm{Rt}△ BCF$中，
$\begin{cases} BF=BF, \\ BE=BC, \end{cases}$
$ \therefore \mathrm{Rt}△ BEF≌\mathrm{Rt}△ BCF(\mathrm{HL})$，$\therefore EF=CF.$
$ \because ∠ FED=90°$，∠ BDC=45°，$\therefore ∠ DFE=45°$，
$ \therefore DE=EF$，$\therefore DE=CF.$
$1+\sqrt{2}$

5. (2024·徐州)如图，正方形 $OABC$ 的边长为 $4$，点 $A$，$C$ 分别在 $x$ 轴，$y$ 轴的正半轴上，点 $D$ 在 $OA$ 上，且点 $D$ 的坐标为 $(1,0)$，$P$ 是 $OB$ 上的一个动点，则 $PD + PA$ 的最小值是。

$\sqrt{17}$