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6. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$G$ 是对角线 $BD$ 上的一点（与点 $B$，$D$ 不重合），$GE ⊥ CD$，$GF ⊥ BC$，$E$，$F$ 为垂足。连接 $EF$，$AG$，延长 $AG$ 交 $EF$ 于点 $H$。
(1) 求证：$∠ DAG = ∠ EGH$；
(2) 判断 $AH$ 与 $EF$ 是否垂直，并说明理由。
(1) 求证：$∠ DAG = ∠ EGH$；
(2) 判断 $AH$ 与 $EF$ 是否垂直，并说明理由。
答案
(1)证明：在正方形ABCD中，AD⊥ CD，GE⊥ CD，
∴∠ ADE=∠ GEC=90°，
∴AD// GE，
∴∠ DAG=∠ EGH.
(2)解：AH⊥ EF.理由：连接GC交EF 于点O
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ ADG=∠ CDG=45°.
又∵DG=DG，AD=CD，
∴$△ ADG≌△ CDG(\mathrm {SAS})$，
∴∠ DAG=∠ DCG.
在正方形ABCD中，∠ ECF=90°.
又∵GE⊥ CD，GF⊥ BC，
∴四边形FCEG 为矩形，
∴OE=OC，
∴∠ OEC=∠ OCE，
∴∠ DAG=∠ OEC.
由(1)得∠ DAG=∠ EGH，
∴∠ EGH=∠ OEC，
∴∠ EGH+∠ GEH=∠ OEC+∠ GEH=∠ GEC=90°，
∴∠ GHE=90°，
∴AH⊥ EF.
7. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$E$ 是 $BC$ 上的一点，连接 $AE$，过点 $B$ 作 $BH ⊥ AE$，垂足为 $H$，延长 $BH$ 交 $CD$ 于点 $F$，连接 $AF$。
(1) 求证：$AE = BF$；
(2) 若正方形 $ABCD$ 的边长是 $5$，$BE = 2$，求 $AF$ 的长。
(1) 求证：$AE = BF$；
(2) 若正方形 $ABCD$ 的边长是 $5$，$BE = 2$，求 $AF$ 的长。
答案
(1)证明：$\because$四边形ABCD是正方形，
$ \therefore AB=BC$，∠ ABE=∠ BCF=90°，
$ \therefore ∠ BAE+∠ AEB=90°.$
$ \because BH⊥ AE$，$\therefore ∠ AEB+∠ EBH=90°$，
$ \therefore ∠ BAE=∠ EBH.$
在△ ABE和△ BCF中，
$ \begin{cases} ∠ BAE=∠ CBF, \\ AB=BC, \\ ∠ ABE=∠ BCF, \end{cases}$
$ \therefore △ ABE≌△ BCF(\mathrm{ASA})$，$\therefore AE=BF.$
(2)解：由
(1)得△ ABE≌△ BCF，$\therefore BE=CF.$
$ \because$正方形ABCD的边长是5，BE=2，
$ \therefore DF=CD-CF=CD-BE=5-2=3.$
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，由勾股定理，
得$AF=\sqrt{AD^{2}+DF^{2}}=\sqrt{5^{2}+3^{2}}=\sqrt{34}.$
$ \therefore AB=BC$，∠ ABE=∠ BCF=90°，
$ \therefore ∠ BAE+∠ AEB=90°.$
$ \because BH⊥ AE$，$\therefore ∠ AEB+∠ EBH=90°$，
$ \therefore ∠ BAE=∠ EBH.$
在△ ABE和△ BCF中，
$ \begin{cases} ∠ BAE=∠ CBF, \\ AB=BC, \\ ∠ ABE=∠ BCF, \end{cases}$
$ \therefore △ ABE≌△ BCF(\mathrm{ASA})$，$\therefore AE=BF.$
(2)解：由
(1)得△ ABE≌△ BCF，$\therefore BE=CF.$
$ \because$正方形ABCD的边长是5，BE=2，
$ \therefore DF=CD-CF=CD-BE=5-2=3.$
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，由勾股定理，
得$AF=\sqrt{AD^{2}+DF^{2}}=\sqrt{5^{2}+3^{2}}=\sqrt{34}.$
8. 如图，$BE$，$BD$ 分别是 $△ ABC$ 的内、外角平分线，$AD ⊥ BD$ 于点 $D$，$AE ⊥ BE$ 于点 $E$ 且交 $BC$ 的延长线于点 $F$，连接 $DE$。
(1) 判断四边形 $ADBE$ 的形状，并说明理由；
(2) $DE$ 与 $BF$ 相等吗？为什么？
(3) 当 $△ ABC$ 满足什么条件时，四边形 $ADBE$ 是正方形？并说明理由。
(1) 判断四边形 $ADBE$ 的形状，并说明理由；
(2) $DE$ 与 $BF$ 相等吗？为什么？
(3) 当 $△ ABC$ 满足什么条件时，四边形 $ADBE$ 是正方形？并说明理由。
答案
(1)解：四边形ADBE是矩形.
理由：$\because BE$，BD分别是△ ABC的内、外角平分线，
$ \therefore ∠ DBE=\frac{1}{2}×180°=90°.$
$ \because AD⊥ BD$，AE⊥ BE，$\therefore ∠ ADB=∠ AEB=90°$，
$ \therefore$四边形ADBE是矩形.
(2)解：相等.
理由：在△ ABE和△ FBE中，
$ \begin{cases} ∠ ABE=∠ FBE, \\ BE=BE, \\ ∠ BEA=∠ BEF, \end{cases}$
$ \therefore △ ABE≌△ FBE(\mathrm{ASA})$，$\therefore AB=BF.$
由
(1)知四边形ADBE是矩形，
$ \therefore DE=AB$，$\therefore DE=BF.$
(3)解：当△ ABC为等腰直角三角形且∠ ABC=90°时，四边形ADBE是正方形.
理由：$\because △ ABC$是等腰直角三角形且∠ ABC=90°，
$ \therefore AE=BE=\frac{1}{2}AF$，
$ \therefore$矩形ADBE是正方形.
理由：$\because BE$，BD分别是△ ABC的内、外角平分线，
$ \therefore ∠ DBE=\frac{1}{2}×180°=90°.$
$ \because AD⊥ BD$，AE⊥ BE，$\therefore ∠ ADB=∠ AEB=90°$，
$ \therefore$四边形ADBE是矩形.
(2)解：相等.
理由：在△ ABE和△ FBE中，
$ \begin{cases} ∠ ABE=∠ FBE, \\ BE=BE, \\ ∠ BEA=∠ BEF, \end{cases}$
$ \therefore △ ABE≌△ FBE(\mathrm{ASA})$，$\therefore AB=BF.$
由
(1)知四边形ADBE是矩形，
$ \therefore DE=AB$，$\therefore DE=BF.$
(3)解：当△ ABC为等腰直角三角形且∠ ABC=90°时，四边形ADBE是正方形.
理由：$\because △ ABC$是等腰直角三角形且∠ ABC=90°，
$ \therefore AE=BE=\frac{1}{2}AF$，
$ \therefore$矩形ADBE是正方形.
