1. 在$□ ABCD$中，$AD = 2AB$，$∠ B = 60°$，$E$，$F$分别为边$AD$，$BC$的中点。请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹)。
(1)在图①中画一个以$A$，$C$为顶点的菱形；
(2)在图②中画一个以$B$，$C$为顶点的矩形。

2. 如图，在菱形$ABCD$中，$∠ B = 60°$，延长$BC$至点$E$，使$CE = \dfrac{1}{2}BC$。取$CD$的中点$F$，连接$EF$，请利用无刻度的直尺按下列要求作图(保留画图痕迹)。
(1)在图①中作出$△ CEF$中$CF$边上的中线；
(2)在图②中作出$BC$的中点。

解： (1)如图①所示，EG即为△ CEF中CF边上的中线；
(2)如图②所示，N即为BC的中点。

3. 如图，在菱形$ABCD$中，$∠ BAD = 60°$，在$∠ ABC$内作射线$BM$，作点$C$关于$BM$的对称点$E$，连接$AE$并延长交$BM$于点$F$，连接$CF$，$CE$，$BE$。
(1)求证：$△ CEF$是等边三角形；
(2)若$∠ BAF = 45°$，$AE = 5$，求$BF$的长。

​ (1)​证明：如图，作​BG⊥ AE​于点​G，​设​CE​交​BM​于点​N.​
∵点​E，​​C​关于​BM​对称，
∴​BC=BE，​​FE=FC，​∴​BM​垂直平分​CE，​
∴​∠ BNE=90°，​​∠ 3=∠ 4.​
∵在菱形​ABCD​中，​AB=BC，​​∠ BAD=60°，​
∴​AB=BE，​​∠ ABC=120°.​
又∵​BG⊥ AE，​∴​∠ 1=∠ 2，​​∠ BGE=90°，​
∴$​∠ 2+∠ 3=\frac {1}{2}∠ ABC=60°$，​
∴在四边形$​BNEG_{中}$，​​∠ NEG=360°-90°-90°-60°=120°，
​∴​∠ CEF=60°.​
又∵​FE=FC，​∴​△ CEF ​是等边三角形​.​
​ (2)​解：由​(1)​知​AB=BE，​
∴当​∠ BAF=45°​时，​∠ AEB=45°，​​∠ ABE=90°，​
∴​△ ABE​是等腰直角三角形​.​
又∵​BG⊥ AE，​∴$​AG=EG=BG=\frac {1}{2}AE=\frac {5}{2}.​$
由
​ (1)​可得，​∠ BFG=30°，​
∴在$​Rt△ BFG_{中}$，​​BF=2BG=5.​