19. (6分)(2025克州期末)如图68-G-14，$AB=5\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，$O$是线段$AC$的中点.
(1)求$AC$的长；
(2)求$OB$的长.

19. 解:(1)因为 $AB=5\ \mathrm{cm},BC=3\ \mathrm{cm}$,
所以 $AC=AB+BC=5+3=8(\mathrm{cm})$.
(2)由题意可得 $AO=\frac{1}{2}AC$.
由(1)知 $AC=8\ \mathrm{cm}$,所以 $AO=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{cm})$.
又因为 $OB=AB−AO$,所以 $OB=5−4=1(\mathrm{cm})$.

【分析】
首先观察线段图，可知点A、B、C在同一直线上，点B位于A、C之间。（1）求AC的长度时，可直接利用线段和的关系：AC的长度等于AB与BC的长度之和，代入已知数值计算即可；（2）求OB的长度时，先根据O是AC中点的性质，求出AC一半的长度即AO的长度，再利用线段差的关系，OB的长度等于AB的长度减去AO的长度，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 已知$AB=5\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，根据线段和的关系可得：
$AC=AB+BC=5+3=8(\mathrm{cm})$
(2) 因为O是线段AC的中点，根据线段中点的定义可得：
$AO=\frac{1}{2}AC$
将$AC=8\ \mathrm{cm}$代入得：$AO=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{cm})$
再根据线段差的关系：$OB=AB−AO$，代入数值得：
$OB=5−4=1(\mathrm{cm})$
【答案】
(1) $AC=8\ \mathrm{cm}$；(2) $OB=1\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的定义
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，解题核心是结合图形梳理清楚各线段之间的数量关系，熟练掌握线段中点的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9

20. (7分)如图68-G-15，已知轮船A在灯塔P的北偏东$30°$的方向上，轮船B在灯塔P的南偏东$70°$的方向上。
(1)求从灯塔P看两轮船的视角(即$∠ APB$)的度数；
(2)若轮船C在$∠ APB$的平分线上，则轮船C在灯塔P的什么方位？

20. 解:(1)如图.
由题意可知$∠APN=30°,∠BPS=70°$,
所以$∠APB=180°−∠APN−∠BPS=80°$.

(2)因为轮船 C 在$∠ APB$ 的平分线上,$∠APB=80°$,
所以$∠APC=\frac{1}{2}∠APB=40°$.
所以$∠NPC=∠APN+∠APC=70°$.
故轮船 C 在灯塔 P 的北偏东 $70°$的方向上.

【分析】
(1) 求解∠APB的度数时，首先明确正北、正南方向共线，构成180°平角。已知轮船A在北偏东30°，即正北方向与PA夹角为30°，轮船B在南偏东70°，即正南方向与PB夹角为70°，三个角之和为180°，用平角减去两个已知角即可得到∠APB的度数。
(2) 求轮船C的方位时，先根据角平分线的定义求出∠APC的度数，再加上正北与PA的夹角30°，即可得到正北方向与PC的夹角度数，进而确定C的方位。
【解析】
(1) 标注正北方向为PN，正南方向为PS，根据题意可得：∠APN=30°，∠BPS=70°，
因为正北与正南方向在同一直线上，所以∠NPS=180°，
因此$∠ APB = 180° - ∠ APN - ∠ BPS = 180° - 30° - 70° = 80°$。
(2) 因为轮船C在∠APB的平分线上，所以PC平分∠APB，
可得$∠ APC = \frac{1}{2}∠ APB = \frac{1}{2} × 80° = 40°$，
因此$∠ NPC = ∠ APN + ∠ APC = 30° + 40° = 70°$，即PC在正北方向东侧，与正北方向夹角为70°。
【答案】
20. 解:(1)如图.
由题意可知$∠APN=30°,∠BPS=70°$,
所以$∠APB=180°−∠APN−∠BPS=80°$.

(2)因为轮船 C 在$∠ APB$ 的平分线上,$∠APB=80°$,
所以$∠APC=\frac{1}{2}∠APB=40°$.
所以$∠NPC=∠APN+∠APC=70°$.
故轮船 C 在灯塔 P 的北偏东 $70°$的方向上.
【知识点】
方位角的概念，角的和差计算，角平分线的定义
【点评】
本题结合生活中的方位场景考查角的计算，解题核心是准确理解方位角的含义，理清各角之间的位置和数量关系，属于基础类题型，熟练掌握方位角的表示方法和角的运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

21. (7分)利用折纸可以作出角平分线,如图68-G-16①折叠并展开,则OC平分$∠ AOB$,如图②、图③,折叠长方形纸片,OC,OD均是折痕,折叠后,点A落在点$A'$处,点B落在点$B'$处.
(1)如图②,若点$B'$恰好落在$OA'$上,且$∠ AOC=32°$,则$∠ BOD$的度数为;
(2)如图③,当点$B'$在$∠ COA'$的内部时,若$∠ AOC=44°$,$∠ BOD=61°$,求$∠ A'OB'$的度数.

21. 解:(1)由题意知 $∠AOC=∠A'OC,∠BOD=∠B'OD$,
$∠AOC + ∠A' OC + ∠BOD + ∠B'OD = 180°$,
$∠AOC=32°$,
所以$∠BOD=\frac{1}{2}×(180°−2×32°)=58°$.故答案为 58°.
(2)由题意知 $∠AOC = ∠A'OC,∠BOD = ∠B'OD$,
$∠AOC+∠A'OC + ∠A'OD + ∠BOD = 180°,∠AOC=44°,∠BOD=61°$,
所以$∠A'OD=180°−2×44°−61°=31°$,
所以$∠A'OB'=∠B'OD−∠A'OD=30°$.

【分析】
本题解题核心是利用折叠的性质：折叠前后对应角相等，折痕为对应角的角平分线。
(1) 首先根据折叠性质可得∠AOC=∠A'OC，∠BOD=∠B'OD，点A、O、B共线，∠AOB是平角为180°，即四个角∠AOC、∠A'OC、∠BOD、∠B'OD的和为180°，代入已知∠AOC的度数即可求出∠BOD。
(2) 同样先由折叠性质得∠A'OC=∠AOC，∠B'OD=∠BOD，结合平角180°的特征，通过角度的和差关系推导即可求出∠A'OB'的度数。
【解析】
(1) 根据折叠的性质可知：$∠ AOC=∠ A'OC$，$∠ BOD=∠ B'OD$，
∵ 点A、O、B在同一直线上，$∠ AOB=180°$，
∴ $∠ AOC + ∠ A'OC + ∠ BOD + ∠ B'OD = 180°$，
代入$∠ AOC=32°$，得$32°×2 + 2∠ BOD = 180°$，
解得$∠ BOD=(180°-64°)÷2=58°$。
(2) 由折叠的性质可得：$∠ A'OC=∠ AOC=44°$，$∠ B'OD=∠ BOD=61°$，
∵ $∠ AOC+∠ A'OC+∠ B'OD+∠ BOD - ∠ A'OB' = 180°$，
代入数值计算得：$44°×2 + 61°×2 - ∠ A'OB' = 180°$，
∴ $∠ A'OB'=88°+122°-180°=30°$。
【答案】
(1) $\boxed{58°}$；(2) $\boxed{30°}$
【知识点】
折叠的性质；角的和差计算；平角的定义
【点评】
本题结合折纸操作考查角度的计算，解题的关键是掌握折叠前后对应角相等的性质，结合平角的特征找到角度之间的和差关系，是角的计算类的典型题型，熟练掌握该类题的解题思路可快速解决同类折叠角度问题。
【难度系数】
0.7