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三、解答题(共55分)
16. (6分)已知一个角的余角比它的补角的$\frac{1}{2}$小$12°$，求这个角和它的余角的度数。
16. (6分)已知一个角的余角比它的补角的$\frac{1}{2}$小$12°$，求这个角和它的余角的度数。
答案
16. 解:设这个角的度数为α.
根据题意,得 $90°−α=\frac{1}{2}(180°−α)−12°$,解得 $α=24°$.
$90°−α=90°−24°=66°$.
答:这个角和它的余角的度数分别为 $24°$和 $66°$.
根据题意,得 $90°−α=\frac{1}{2}(180°−α)−12°$,解得 $α=24°$.
$90°−α=90°−24°=66°$.
答:这个角和它的余角的度数分别为 $24°$和 $66°$.
解析
【分析】
遇到这类求角度的问题，我们可以通过设未知数列方程求解：第一步先回忆余角、补角的定义，若设这个角的度数为α，那么它的余角为90°-α，补角为180°-α；第二步根据题目给出的等量关系“余角比补角的$\frac{1}{2}$小12°”，列出对应的方程；第三步解方程得到α的数值，再代入90°-α求出余角的度数即可。
【解析】
解：设这个角的度数为α。
根据题意可列方程：$90°−α=\frac{1}{2}(180°−α)−12°$
去括号得：$90°-α=90°-\frac{1}{2}α-12°$
移项合并同类项得：$-\frac{1}{2}α=-12°$
系数化为1得：$α=24°$
则它的余角为：$90°−α=90°−24°=66°$
答：这个角和它的余角的度数分别为24°和66°。
【答案】
这个角的度数为24°，它的余角的度数为66°。
【知识点】
余角的定义；补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题核心是熟练掌握余角、补角的数量关系，准确提取题目中的等量关系列方程求解，认真审题即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
遇到这类求角度的问题，我们可以通过设未知数列方程求解：第一步先回忆余角、补角的定义，若设这个角的度数为α，那么它的余角为90°-α，补角为180°-α；第二步根据题目给出的等量关系“余角比补角的$\frac{1}{2}$小12°”，列出对应的方程；第三步解方程得到α的数值，再代入90°-α求出余角的度数即可。
【解析】
解：设这个角的度数为α。
根据题意可列方程：$90°−α=\frac{1}{2}(180°−α)−12°$
去括号得：$90°-α=90°-\frac{1}{2}α-12°$
移项合并同类项得：$-\frac{1}{2}α=-12°$
系数化为1得：$α=24°$
则它的余角为：$90°−α=90°−24°=66°$
答：这个角和它的余角的度数分别为24°和66°。
【答案】
这个角的度数为24°，它的余角的度数为66°。
【知识点】
余角的定义；补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题核心是熟练掌握余角、补角的数量关系，准确提取题目中的等量关系列方程求解，认真审题即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
17. (6分)(2025和田地区期末)尺规作图.
如图68-G-13,已知在平面上有三个点A,B,C,请按下列要求作图:
(1)作直线AB;
(2)作射线AC;
(3)在射线AC上作线段AD,使$AD=2AB$.
如图68-G-13,已知在平面上有三个点A,B,C,请按下列要求作图:
(1)作直线AB;
(2)作射线AC;
(3)在射线AC上作线段AD,使$AD=2AB$.
答案
解:如图.(1)连接 AB,并延长 AB,BA,得到直线 AB.
(2)连接 AC,延长 AC,得到射线 AC.
(3)以 A 点为圆心,线段 AB 长为半径作圆,交射线 AC 于点 E,再以 E 点为圆心,线段 AB 长为半径作圆,交射线 AC 于点 D,线段 AD 即为所求.
解析
【分析】
解题需结合直线、射线、线段的概念及尺规基本作图方法思考：①直线无端点、可向两端无限延伸，根据“两点确定一条直线”，过A、B两点即可画出直线AB；②射线仅一个端点、可向一端无限延伸，因此以A为端点，向C方向延伸即可得到射线AC；③要得到AD=2AB，可通过尺规两次截取与AB等长的线段，将两段线段拼接在射线AC上即可得到长度为2AB的AD。
【解析】
(1) 连接A、B两点，将线段向AB、BA两个方向无限延长，得到直线AB；
(2) 连接A、C两点，以A为端点，向C所在方向无限延长，得到射线AC；
(3) 先用圆规量取线段AB的长度，以A为圆心、AB长为半径画弧，交射线AC于点E，此时AE=AB；再保持圆规张开幅度不变，以E为圆心、AB长为半径画弧，交射线AC上E点远离A的一侧于点D，此时ED=AB，可得AD=AE+ED=2AB，线段AD即为所求。
【答案】
如图所示：
【知识点】
直线的画法；射线的画法；尺规作等长线段
【点评】
本题是基础的几何作图题型，重点考查对直线、射线、线段特征的理解，以及尺规作相等线段的基本操作能力，作图时要注意区分三类线的延伸特性，保证作图规范。
【难度系数】
0.8
解题需结合直线、射线、线段的概念及尺规基本作图方法思考：①直线无端点、可向两端无限延伸，根据“两点确定一条直线”，过A、B两点即可画出直线AB；②射线仅一个端点、可向一端无限延伸，因此以A为端点，向C方向延伸即可得到射线AC；③要得到AD=2AB，可通过尺规两次截取与AB等长的线段，将两段线段拼接在射线AC上即可得到长度为2AB的AD。
【解析】
(1) 连接A、B两点，将线段向AB、BA两个方向无限延长，得到直线AB；
(2) 连接A、C两点，以A为端点，向C所在方向无限延长，得到射线AC；
(3) 先用圆规量取线段AB的长度，以A为圆心、AB长为半径画弧，交射线AC于点E，此时AE=AB；再保持圆规张开幅度不变，以E为圆心、AB长为半径画弧，交射线AC上E点远离A的一侧于点D，此时ED=AB，可得AD=AE+ED=2AB，线段AD即为所求。
【答案】
如图所示：
【知识点】
直线的画法；射线的画法；尺规作等长线段
【点评】
本题是基础的几何作图题型，重点考查对直线、射线、线段特征的理解，以及尺规作相等线段的基本操作能力，作图时要注意区分三类线的延伸特性，保证作图规范。
【难度系数】
0.8
18. (6分)根据下列步骤画图并回答问题：
①画直线AB；
②在直线AB上任取一点C，过直线AB外一点D画射线CD；
③在∠ACD内部画射线CE.
(1)图中共有
(2)若∠BCD=60°15′，∠DCE=78°30′，求∠ACE的度数.
①画直线AB；
②在直线AB上任取一点C，过直线AB外一点D画射线CD；
③在∠ACD内部画射线CE.
(1)图中共有
5
个小于平角的角，它们分别是∠ACE,∠ACD,∠DCE,∠ECB,∠BCD
；(2)若∠BCD=60°15′，∠DCE=78°30′，求∠ACE的度数.
答案
18. 解:如图所示(答案不唯一).
(1)5 ∠ACE,∠ACD,∠DCE,∠ECB,∠BCD
(2)因为$∠BCD=60°15',∠DCE=78°30'$,
所以$∠ACE=180°−∠BCD−∠DCE=180°−60°15'−78°30'=41°15'$.
解析
【分析】
解决第(1)问时，先明确小于平角的角是度数小于180°的角，以点C为顶点先列出所有射线：CA、CE、CD、CB，按固定顺序数角，排除平角∠ACB，避免重复和遗漏即可找出所有符合要求的角。解决第(2)问时，由直线AB可得∠ACB是180°的平角，因此∠ACE、∠DCE、∠BCD的和为180°，代入已知角度，按照度分秒60进制的规则计算即可求出∠ACE的度数。
【解析】
首先按照题目要求完成画图（如图所示）。
(1) 以C为顶点数小于平角的角：依次可得单独的小角∠ACE、∠DCE、∠BCD，两个小角组成的角∠ACD、∠ECB，共5个，所有角均小于180°。
(2) 因为AB是直线，根据平角的定义可得∠ACB=180°，即$∠ ACE + ∠ DCE + ∠ BCD = 180°$。
将$∠ BCD=60°15'$，$∠ DCE=78°30'$代入得：
$\begin{aligned}∠ ACE&=180° - ∠ BCD - ∠ DCE\\&=180° - 60°15' - 78°30'\\&=41°15'\end{aligned}$
【答案】
解:如图所示(答案不唯一).
(1)5 ∠ACE,∠ACD,∠DCE,∠ECB,∠BCD
(2)$∠ACE=41°15'$
【知识点】
角的计数；度分秒运算；平角的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查角的识别计数和角度的基本运算，按顺序数角可避免漏数或重复，角度计算时要注意度分秒为60进制，不要和十进制运算规则混淆。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问时，先明确小于平角的角是度数小于180°的角，以点C为顶点先列出所有射线：CA、CE、CD、CB，按固定顺序数角，排除平角∠ACB，避免重复和遗漏即可找出所有符合要求的角。解决第(2)问时，由直线AB可得∠ACB是180°的平角，因此∠ACE、∠DCE、∠BCD的和为180°，代入已知角度，按照度分秒60进制的规则计算即可求出∠ACE的度数。
【解析】
首先按照题目要求完成画图（如图所示）。
(1) 以C为顶点数小于平角的角：依次可得单独的小角∠ACE、∠DCE、∠BCD，两个小角组成的角∠ACD、∠ECB，共5个，所有角均小于180°。
(2) 因为AB是直线，根据平角的定义可得∠ACB=180°，即$∠ ACE + ∠ DCE + ∠ BCD = 180°$。
将$∠ BCD=60°15'$，$∠ DCE=78°30'$代入得：
$\begin{aligned}∠ ACE&=180° - ∠ BCD - ∠ DCE\\&=180° - 60°15' - 78°30'\\&=41°15'\end{aligned}$
【答案】
解:如图所示(答案不唯一).
(1)5 ∠ACE,∠ACD,∠DCE,∠ECB,∠BCD
(2)$∠ACE=41°15'$
【知识点】
角的计数；度分秒运算；平角的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查角的识别计数和角度的基本运算，按顺序数角可避免漏数或重复，角度计算时要注意度分秒为60进制，不要和十进制运算规则混淆。
【难度系数】
0.8
