7. 如图68-G-8，线段AB=18 cm，点C在线段AB上，P，Q是线段AC的三等分点，M，N是线段BC的三等分点，则线段PN的长为（）

A.6 cm
B.9 cm
C.12 cm
D.15 cm

7. C

【分析】
要计算线段PN的长度，首先观察PN的组成：PN可拆分为PC与CN的和。已知P、Q是AC的三等分点，M、N是BC的三等分点，我们可以先根据三等分点的性质，分别用AC、BC表示出PC和CN的长度，再利用AC+BC=AB的关系整体代入计算，无需单独求出AC、BC的具体长度，简化计算过程。
【解析】
∵ P、Q是线段AC的三等分点
∴ PC = $\frac{2}{3}$AC
∵ M、N是线段BC的三等分点
∴ CN = $\frac{2}{3}$BC
∴ PN = PC + CN = $\frac{2}{3}$AC + $\frac{2}{3}$BC = $\frac{2}{3}$(AC + BC)
又
∵ 点C在线段AB上，AB=18cm
∴ AC + BC = AB = 18cm
代入得：PN = $\frac{2}{3}$×18 = 12cm
【答案】
C
【知识点】
1. 线段三等分点
2. 线段和差计算
3. 整体代入求值
【点评】
本题重点考查线段等分点的性质与线段和差的运算，解题的核心是将所求线段转化为已知总线段的对应占比，运用整体思想规避了求解单段未知线段的步骤，降低了计算量。
【难度系数】
0.7

8. 如图68-G-9,点P与点Q在线段AB上,$AP:PB=2:3$,$AQ:QB=3:4$.若$PQ=2\ \mathrm{cm}$,则AB的长为（）


A.80 cm
B.75 cm
C.70 cm
D.60 cm

8. C

【分析】
本题是线段比例求总长的题型，解题思路如下：首先将线段AB的总长设为未知数，根据给出的AP与PB、AQ与QB的比例关系，分别用含总长的式子表示出AP、AQ的长度；再观察线段位置可知PQ = AQ - AP，结合PQ的长度为2cm建立方程，求解即可得到AB的长度。
【解析】
设线段AB的长为$x\ \mathrm{cm}$。
1. 由$AP:PB=2:3$，可知AP占AB总长的$\frac{2}{2+3}$，因此：
$AP=\frac{2}{5}x\ \mathrm{cm}$
2. 由$AQ:QB=3:4$，可知AQ占AB总长的$\frac{3}{3+4}$，因此：
$AQ=\frac{3}{7}x\ \mathrm{cm}$
3. 观察线段位置可得$PQ = AQ - AP$，已知$PQ=2\ \mathrm{cm}$，代入得方程：
$\frac{3}{7}x - \frac{2}{5}x = 2$
通分计算：$\frac{15x}{35} - \frac{14x}{35} = 2$，即$\frac{x}{35}=2$
解得$x=70$
因此AB的长为70 cm。
【答案】
C
【知识点】
线段和差计算，比例线段，一元一次方程应用
【点评】
本题属于线段比例的常规题型，解题关键是根据比例关系将分线段用总长表示，结合线段的和差关系建立等量关系，掌握该方法可快速解决同类线段长度求解问题。
【难度系数】
0.7

9. 在同一平面内，点O在直线AD上，$∠ AOC$与$∠ AOB$互补，OM，ON分别为$∠ AOC$，$∠ AOB$的平分线.若$∠ MON=α(0°＜α＜90°)$，则$∠ AOC$的度数为 （）

A.$90° - α$
B.$90° + α$
C.$45° \pm \frac{α}{2}$
D.$90° \pm α$

9. D

【分析】
首先根据补角的定义可知∠AOC + ∠AOB = 180°，再结合角平分线的性质，OM、ON分别平分∠AOC、∠AOB，可得∠AOM=1/2∠AOC，∠AON=1/2∠AOB。由于题目未明确OB与OC的位置关系，需分两种情况讨论：①∠AOC ＞ ∠AOB；②∠AOC ＜ ∠AOB，分别用∠AOC和∠AOB表示出∠MON，再结合两角互补的关系联立计算即可求出∠AOC的度数。
【解析】
∵∠AOC与∠AOB互补，
∴∠AOC + ∠AOB = 180° ①
∵OM、ON分别为∠AOC、∠AOB的平分线
∴∠AOM = $\frac{1}{2}$∠AOC，∠AON = $\frac{1}{2}$∠AOB
分两种情况讨论：
情况1：当∠AOC ＞ ∠AOB时，∠MON = ∠AOM - ∠AON = α
代入得：$\frac{1}{2}$∠AOC - $\frac{1}{2}$∠AOB = α，即∠AOC - ∠AOB = 2α ②
联立①②，①+②得：2∠AOC = 180° + 2α，解得∠AOC = 90° + α
情况2：当∠AOC ＜ ∠AOB时，∠MON = ∠AON - ∠AOM = α
代入得：$\frac{1}{2}$∠AOB - $\frac{1}{2}$∠AOC = α，即∠AOB - ∠AOC = 2α ③
联立①③，①-③得：2∠AOC = 180° - 2α，解得∠AOC = 90° - α
综上，∠AOC的度数为90°±α，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
补角的定义；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题需要结合分类讨论思想求解，解题的关键是考虑到两角位置的不确定性，分情况表示出∠MON的表达式，再结合已知条件联立求解，避免漏解。
【难度系数】
0.6

二、填空题(每小题3分,共18分)
10. “枪打一条线，棍扫一大片”，从字面上理解这句话所描述的现象，用数学知识可解释为。

10. 点动成线,线动成面

【分析】
解题时首先要将俗语中的事物抽象为数学中的基础几何图形：先分析前半句“枪打一条线”，射出的子弹可看作一个点，子弹运动的轨迹就是一条线，对应点运动形成线的规律；再分析后半句“棍扫一大片”，棍子可看作一条线，棍子挥动时线运动扫过的区域是一个面，对应线运动形成面的规律，结合两个规律即可得到答案。
【解析】
我们将生活中的事物抽象为几何基本图形分析：
1. 对应“枪打一条线”：子弹可近似看作一个点，子弹高速运动的轨迹是一条线，符合“点动成线”的几何规律；
2. 对应“棍扫一大片”：棍子可近似看作一条线，棍子挥动时，线运动后扫过的区域是一个平面，符合“线动成面”的几何规律。
因此这句话可用“点动成线，线动成面”的数学知识解释。
【答案】
点动成线,线动成面
【知识点】
点动成线；线动成面
【点评】
本题结合生活俗语考查几何基础原理，需要学生将生活现象抽象为数学几何模型，侧重对知识应用能力的考查，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

11. 如图68-G-10，16点时，时钟的分针与时针所成的角的度数为。

11. 120°

【分析】
解决这类钟面角问题，思路分为三步：第一步先明确钟面的基本特征，整个钟面是周角360°，被平均分成12个大格，由此可以先算出每个大格对应的角度；第二步确定对应时刻时针和分针的位置，16点就是下午4点，此时分针指向12，时针指向4；第三步数出时针和分针之间的大格数，用大格数乘每个大格的角度，就能得到夹角的度数。
【解析】
解：
∵ 钟面为周角，总度数为360°，且被平均分为12个大格，
∴ 每个大格对应的角度为：$360° ÷ 12 = 30°$。
16点时，分针指向12，时针指向4，二者之间相差4个大格，
∴ 此时分针与时针的夹角度数为：$4 × 30° = 120°$。
【答案】
120°
【知识点】
钟面角的计算，角的运算
【点评】
本题属于钟面角的基础考题，解题核心是掌握钟面每大格对应的角度，只要准确数出固定时刻时针和分针的间隔格数，就能快速算出结果。
【难度系数】
0.9

12. 计算: $53°27'+18°47'=$ .
图 68-G-10
图 68-G-11

12. 72°14′

【分析】
解决本题首先要明确度、分是60进制的，即1°=60′。解题思路为：先将度与度的数值相加，分与分的数值相加，再判断分的相加结果是否满60，若满60就向度的部分进1，剩余的部分作为分的最终结果，最终合并度和分的结果即可。
【解析】
进行角度加法运算时，同单位的量相加：
1. 先计算度的和：$53° + 18° = 71°$
2. 再计算分的和：$27' + 47' = 74'$
3. 因为$1°=60'$，所以$74' = 60' + 14' = 1°14'$
4. 把分进位的1°加到度的结果中：$71° + 1°14' = 72°14'$
【答案】
$72°14'$
【知识点】
度分秒的换算；角度的加法运算
【点评】
本题是角度运算的基础题型，解题核心是掌握度分秒的60进制规则，计算时注意同单位相加、满60进位即可，易错点是容易混淆进制误用10进制计算。
【难度系数】
0.8

13. 如图68-G-11，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOC+∠DOB= °.

13. 180

【分析】
首先明确三角尺的两个直角度数均为90°，要计算∠AOC与∠DOB的和，我们可以对∠AOC进行拆分：∠AOC可拆为∠AOB与∠BOC的和，将其代入求和式子后，可发现剩余的∠BOC和∠DOB刚好能拼成另一个直角∠COD，通过转化为两个直角的和即可算出结果。
【解析】
解：由三角尺的性质可得，∠AOB=∠COD=90°。
因为∠AOC = ∠AOB + ∠BOC，
所以∠AOC + ∠DOB = ∠AOB + ∠BOC + ∠DOB，
又因为∠BOC + ∠DOB = ∠COD，
因此∠AOC + ∠DOB = ∠AOB + ∠COD = 90°+90°=180°。
【答案】
180
【知识点】
角的和差计算，直角的性质
【点评】
本题是基础的角度运算题，解题关键是观察图形中角的组成关系，通过合理拆分角度，将未知的角度和转化为已知的直角度数和，掌握角的和差关系就能快速解答。
【难度系数】
0.8

14. 点A,B,C在同一条直线上，AB=10 cm，BC=4 cm.若M是线段AC的中点，则线段BM的长度为.

14. 3 cm 或 7 cm

【分析】
本题未明确点C在线段AB上还是AB的延长线上，因此需要分两种情况讨论：①点C在线段AB之间；②点C在线段AB的延长线上。先结合线段和差计算不同情况下AC的长度，再根据线段中点的定义求出MC的长度，最后计算BM的长度即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点C在线段AB之间时：
$AC = AB - BC = 10\ \mathrm{cm} - 4\ \mathrm{cm} = 6\ \mathrm{cm}$
∵M是AC的中点
∴$MC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×6\ \mathrm{cm} = 3\ \mathrm{cm}$
∴$BM = BC + MC = 4\ \mathrm{cm} + 3\ \mathrm{cm} = 7\ \mathrm{cm}$
2. 当点C在线段AB的延长线上时：
$AC = AB + BC = 10\ \mathrm{cm} + 4\ \mathrm{cm} = 14\ \mathrm{cm}$
∵M是AC的中点
∴$MC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×14\ \mathrm{cm} = 7\ \mathrm{cm}$
∴$BM = MC - BC = 7\ \mathrm{cm} - 4\ \mathrm{cm} = 3\ \mathrm{cm}$
综上，线段BM的长度为3 cm或7 cm。
【答案】
3 cm 或 7 cm
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的定义，分类讨论思想
【点评】
解题时容易因忽略点C位置的不确定性出现漏解，遇到直线上三点的线段计算问题时，要先考虑所有可能的点的位置关系，再分类计算，避免漏算。
【难度系数】
0.6

15. 如图68-G-12，在一块长为a cm，宽为b cm的长方形硬纸板的四个角各剪去一个边长为2 cm的正方形，然后将四周的部分折起，可制成一个无盖长方体盒子，则该长方体盒子的侧面积为（用含a，b的式子表示）。

15. (4a+4b−32)cm²

【分析】
要计算无盖长方体盒子的侧面积，首先明确侧面积是折起的4个长方形面的总面积。首先推导长方体各边的长度：四个角剪去边长为2cm的正方形，因此折成的长方体的高为2cm；长方体底面的长比原硬纸板的长少2个2cm（左右各剪去1个正方形），即长为(a-4)cm，底面的宽比原硬纸板的宽少2个2cm，即宽为(b-4)cm。四个侧面中2个面的长为(a-4)cm、宽为2cm，另外2个面的长为(b-4)cm、宽为2cm，分别计算面积求和后化简整式即可得到结果。
【解析】
解：由题意可知，剪去的正方形边长为2cm，因此折成的无盖长方体的高为2cm。
长方体底面的长为：$a - 2×2 = (a-4)\ \mathrm{cm}$
长方体底面的宽为：$b - 2×2 = (b-4)\ \mathrm{cm}$
侧面积为4个侧面的面积之和：
两个长侧面的总面积：$2×(a-4)×2 = 4(a-4)\ \mathrm{cm^2}$
两个短侧面的总面积：$2×(b-4)×2 = 4(b-4)\ \mathrm{cm^2}$
总侧面积：
$\begin{aligned}S&=4(a-4)+4(b-4)\\&=4a -16 +4b -16\\&=(4a+4b-32)\ \mathrm{cm^2}\end{aligned}$
【答案】
$(4a+4b−32)\mathrm{cm}^2$
【知识点】
列代数式；整式的加减运算；长方体侧面积计算
【点评】
本题结合生活实际考查代数式的应用，解题的核心是理清折成的长方体各边长度和原图形边长的对应关系，计算时需注意去括号时不要漏乘系数，合并同类项要准确。
【难度系数】
0.7