22. (8分)如图68-G-17,将一副三角尺叠放在一起.
(1)如图①,若∠α=3∠β,求∠CAE的度数.
(2)如图②,∠CAM=2∠BAN能否成立?若能成立,请求出∠CAN的度数;若不能成立,请说明理由.

图68-G-17

22. 解:(1)因为$∠α=3∠β$,
所以$∠β=\frac{1}{4}∠CAB=\frac{1}{4}×90°=22.5°$.
因为$∠CAE+∠α=90°,∠β+∠α=90°$,
所以$∠CAE=∠β=22.5°$.
(2)能成立.
设$∠CAN=x°$,
则$∠CAM=(x−60)°,∠BAN=(x−90)°$.
若$∠CAM=2∠BAN$,
则 $x−60=2(x−90)$,解得 $x=120$.
故当$∠CAN=120°$时,$∠CAM=2∠BAN$ 成立.

【分析】
（1）首先观察图①，两个直角三角尺的直角顶点重合于点A，因此∠CAB=∠DAE=90°，可得∠α+∠β=90°，结合已知∠α=3∠β，可先求出∠β的度数；再根据∠CAE+∠α=90°，利用同角的余角相等，即可得出∠CAE的度数。
（2）先明确三角尺的固定角度：∠CAB=90°，∠MAN=60°。假设∠CAM=2∠BAN成立，设∠CAN=x°，用含x的式子分别表示出∠CAM和∠BAN，再根据等量关系列一元一次方程求解，若解符合角度的取值范围则成立，否则不成立。
【解析】
(1) 由图可知∠CAB=90°，即$\boldsymbol{∠α+∠β=90°}$，
已知$∠α=3∠β$，代入得$3∠β+∠β=90°$，
解得$∠β=\frac{1}{4}×90°=22.5°$。
又因为$∠DAE=90°$，即$∠CAE+∠α=90°$，
结合$∠β+∠α=90°$，根据同角的余角相等，可得$∠CAE=∠β=22.5°$。
(2) 能成立。
设$∠CAN=x°$，
由图可知$∠MAN=60°$，因此$∠CAM=∠CAN-∠MAN=(x-60)°$，
又$∠CAB=90°$，因此$∠BAN=∠CAN-∠CAB=(x-90)°$。
若$∠CAM=2∠BAN$，代入得方程：
$x-60=2(x-90)$
解方程：$x-60=2x-180$，
移项得$2x-x=180-60$，
解得$x=120$，符合角度取值要求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠CAE=22.5°}$；
(2) 能成立，此时$\boldsymbol{∠CAN=120°}$。
【知识点】
余角的性质；角的和差计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合三角尺的特征考查角度的计算，解题关键是准确识别图形中角的和差关系，第二问运用方程思想求解更直观简便，注意验证所求角度是否合理。
【难度系数】
0.7