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23. (9分)如图68-G-18①,已知线段CD在线段AB上运动,线段AB=10 cm,CD=2 cm,E,F分别是AC,BD的中点.
(1)若AC=3 cm,求EF的长度.
(2)当线段CD在线段AB上运动时,试判断EF的长度是否发生变化.如果不变,请求出EF的长度;如果变化,请说明理由.
(3)我们发现角的很多规律和线段一样.如图②,已知∠COD在∠AOB内部转动,OE,OF分别平分∠AOC和∠BOD,则∠EOF,∠AOB和∠COD之间的关系为
(1)若AC=3 cm,求EF的长度.
(2)当线段CD在线段AB上运动时,试判断EF的长度是否发生变化.如果不变,请求出EF的长度;如果变化,请说明理由.
(3)我们发现角的很多规律和线段一样.如图②,已知∠COD在∠AOB内部转动,OE,OF分别平分∠AOC和∠BOD,则∠EOF,∠AOB和∠COD之间的关系为
$∠ EOF=\frac{1}{2}(∠ AOB+∠ COD)$
.答案
23. 解:(1)因为 $AB=10\ \mathrm{cm},CD=2\ \mathrm{cm},AC=3\ \mathrm{cm}$,
所以 $BD=5\ \mathrm{cm}$.
因为 E,F 分别是 AC,BD 的中点,
所以 $CE=\frac{1}{2}AC=1.5\ \mathrm{cm},DF=\frac{1}{2}BD=2.5\ \mathrm{cm}$.
所以 $EF=CE+CD+DF=1.5+2+2.5=6(\mathrm{cm})$.
(2)EF 的长度不变.
因为 E,F 分别是 AC,BD 的中点,
所以 $CE=\frac{1}{2}AC,DF=\frac{1}{2}BD$.
所以 $EF=CE+CD+DF$
$=\frac{1}{2}AC+CD+\frac{1}{2}BD$
$=\frac{1}{2}(AC+BD)+CD$
$=\frac{1}{2}(AB−CD)+CD$
$=\frac{1}{2}(AB+CD)$.
又因为 $AB=10\ \mathrm{cm},CD=2\ \mathrm{cm}$,所以 $EF=6\ \mathrm{cm}$.
(3)$∠ EOF=\frac{1}{2}(∠ AOB+∠ COD)$
所以 $BD=5\ \mathrm{cm}$.
因为 E,F 分别是 AC,BD 的中点,
所以 $CE=\frac{1}{2}AC=1.5\ \mathrm{cm},DF=\frac{1}{2}BD=2.5\ \mathrm{cm}$.
所以 $EF=CE+CD+DF=1.5+2+2.5=6(\mathrm{cm})$.
(2)EF 的长度不变.
因为 E,F 分别是 AC,BD 的中点,
所以 $CE=\frac{1}{2}AC,DF=\frac{1}{2}BD$.
所以 $EF=CE+CD+DF$
$=\frac{1}{2}AC+CD+\frac{1}{2}BD$
$=\frac{1}{2}(AC+BD)+CD$
$=\frac{1}{2}(AB−CD)+CD$
$=\frac{1}{2}(AB+CD)$.
又因为 $AB=10\ \mathrm{cm},CD=2\ \mathrm{cm}$,所以 $EF=6\ \mathrm{cm}$.
(3)$∠ EOF=\frac{1}{2}(∠ AOB+∠ COD)$
解析
【分析】
(1) 第一问先根据已知的AB、CD、AC的长度，先求出BD的长度，再利用线段中点的性质分别计算CE、DF的长度，最后根据线段和的关系$EF=CE+CD+DF$代入数值计算即可得到结果。
(2) 第二问要判断EF是否为定值，可先利用中点性质将CE、DF用AC、BD表示，再将EF的表达式整理为仅含AB和CD的形式，由于AB和CD是固定值，即可判断EF长度不变，代入数值就能求出定值。
(3) 第三问类比线段的推导逻辑，将线段中点替换为角平分线，线段的和差关系替换为角的和差关系，即可推导出三个角的数量关系。
【解析】
(1) 已知$AB=10\ \mathrm{cm}$，$CD=2\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$，因此$BD=AB-AC-CD=10-3-2=5\ \mathrm{cm}$。
因为E、F分别是AC、BD的中点，所以$CE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×3=1.5\ \mathrm{cm}$，$DF=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×5=2.5\ \mathrm{cm}$。
因此$EF=CE+CD+DF=1.5+2+2.5=6\ \mathrm{cm}$。
(2) EF的长度不变，理由如下：
因为E、F分别是AC、BD的中点，所以$CE=\frac{1}{2}AC$，$DF=\frac{1}{2}BD$。
则$EF=CE+CD+DF=\frac{1}{2}AC+CD+\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}(AC+BD)+CD$。
又因为$AC+BD=AB-CD$，代入上式可得：
$EF=\frac{1}{2}(AB-CD)+CD=\frac{1}{2}(AB+CD)$。
将$AB=10\ \mathrm{cm}$，$CD=2\ \mathrm{cm}$代入，得$EF=\frac{1}{2}×(10+2)=6\ \mathrm{cm}$，因此EF长度不变，为6 cm。
(3) 类比线段的推导过程：
因为OE平分$∠ AOC$，OF平分$∠ BOD$，所以$∠ EOC=\frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ DOF=\frac{1}{2}∠ BOD$。
则$∠ EOF=∠ EOC+∠ COD+∠ DOF=\frac{1}{2}∠ AOC+∠ COD+\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOD)+∠ COD$。
又因为$∠ AOC+∠ BOD=∠ AOB-∠ COD$，代入得：
$∠ EOF=\frac{1}{2}(∠ AOB-∠ COD)+∠ COD=\frac{1}{2}(∠ AOB+∠ COD)$。
【答案】
(1) $6\ \mathrm{cm}$
(2) EF长度不变，为$6\ \mathrm{cm}$
(3) $∠ EOF=\frac{1}{2}(∠ AOB+∠ COD)$
【知识点】
线段中点的性质，角平分线的性质，线段与角的和差计算
【点评】
本题是类比探究类题目，先从具体数值运算入手，再推导一般规律，最后将线段的运算规律迁移到角的相关问题中，考查了从特殊到一般的探究思路和类比思想，熟练掌握中点、角平分线的性质以及和差运算规则是解题的核心。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问先根据已知的AB、CD、AC的长度，先求出BD的长度，再利用线段中点的性质分别计算CE、DF的长度，最后根据线段和的关系$EF=CE+CD+DF$代入数值计算即可得到结果。
(2) 第二问要判断EF是否为定值，可先利用中点性质将CE、DF用AC、BD表示，再将EF的表达式整理为仅含AB和CD的形式，由于AB和CD是固定值，即可判断EF长度不变，代入数值就能求出定值。
(3) 第三问类比线段的推导逻辑，将线段中点替换为角平分线，线段的和差关系替换为角的和差关系，即可推导出三个角的数量关系。
【解析】
(1) 已知$AB=10\ \mathrm{cm}$，$CD=2\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$，因此$BD=AB-AC-CD=10-3-2=5\ \mathrm{cm}$。
因为E、F分别是AC、BD的中点，所以$CE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×3=1.5\ \mathrm{cm}$，$DF=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×5=2.5\ \mathrm{cm}$。
因此$EF=CE+CD+DF=1.5+2+2.5=6\ \mathrm{cm}$。
(2) EF的长度不变，理由如下：
因为E、F分别是AC、BD的中点，所以$CE=\frac{1}{2}AC$，$DF=\frac{1}{2}BD$。
则$EF=CE+CD+DF=\frac{1}{2}AC+CD+\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}(AC+BD)+CD$。
又因为$AC+BD=AB-CD$，代入上式可得：
$EF=\frac{1}{2}(AB-CD)+CD=\frac{1}{2}(AB+CD)$。
将$AB=10\ \mathrm{cm}$，$CD=2\ \mathrm{cm}$代入，得$EF=\frac{1}{2}×(10+2)=6\ \mathrm{cm}$，因此EF长度不变，为6 cm。
(3) 类比线段的推导过程：
因为OE平分$∠ AOC$，OF平分$∠ BOD$，所以$∠ EOC=\frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ DOF=\frac{1}{2}∠ BOD$。
则$∠ EOF=∠ EOC+∠ COD+∠ DOF=\frac{1}{2}∠ AOC+∠ COD+\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOD)+∠ COD$。
又因为$∠ AOC+∠ BOD=∠ AOB-∠ COD$，代入得：
$∠ EOF=\frac{1}{2}(∠ AOB-∠ COD)+∠ COD=\frac{1}{2}(∠ AOB+∠ COD)$。
【答案】
(1) $6\ \mathrm{cm}$
(2) EF长度不变，为$6\ \mathrm{cm}$
(3) $∠ EOF=\frac{1}{2}(∠ AOB+∠ COD)$
【知识点】
线段中点的性质，角平分线的性质，线段与角的和差计算
【点评】
本题是类比探究类题目，先从具体数值运算入手，再推导一般规律，最后将线段的运算规律迁移到角的相关问题中，考查了从特殊到一般的探究思路和类比思想，熟练掌握中点、角平分线的性质以及和差运算规则是解题的核心。
【难度系数】
0.7
