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1. 某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤.如图，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
B
）A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
1.B
解析
【分析】
这道题考查配方法解一元二次方程的规范步骤，我们可按照配方法的运算流程依次核对四位同学的步骤：第一步移项，将常数项移到等号右侧；第二步将二次项系数化为1，等式两边同时除以二次项系数；第三步配方，等式两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式；第四步开方求解，逐一核对即可找到错误步骤。
【解析】
我们按顺序核对每一步：
1. 核对甲的步骤：原方程$2x^2+4x-1=0$，移项后得$2x^2+4x=1$，移项符号正确，甲步骤无误。
2. 核对乙的步骤：从甲的结果$2x^2+4x=1$将二次项系数化为1，需要等式两边同时除以2，左侧除以2得$x^2+2x$，右侧$1÷2=\frac{1}{2}$，正确结果应为$x^2+2x=\frac{1}{2}$，但乙的步骤写为$x^2+2x=1$，右侧常数项未除以2，乙步骤错误。
丙、丁的步骤是顺着乙的错误结果推导的，本身逻辑符合运算规则，但根源错误出在乙的步骤。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查配方法解方程的步骤，易错点是将二次项系数化为1时，遗漏给等号右侧的常数项除以二次项系数，熟练掌握配方法每一步的运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
这道题考查配方法解一元二次方程的规范步骤，我们可按照配方法的运算流程依次核对四位同学的步骤：第一步移项，将常数项移到等号右侧；第二步将二次项系数化为1，等式两边同时除以二次项系数；第三步配方，等式两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式；第四步开方求解，逐一核对即可找到错误步骤。
【解析】
我们按顺序核对每一步：
1. 核对甲的步骤：原方程$2x^2+4x-1=0$，移项后得$2x^2+4x=1$，移项符号正确，甲步骤无误。
2. 核对乙的步骤：从甲的结果$2x^2+4x=1$将二次项系数化为1，需要等式两边同时除以2，左侧除以2得$x^2+2x$，右侧$1÷2=\frac{1}{2}$，正确结果应为$x^2+2x=\frac{1}{2}$，但乙的步骤写为$x^2+2x=1$，右侧常数项未除以2，乙步骤错误。
丙、丁的步骤是顺着乙的错误结果推导的，本身逻辑符合运算规则，但根源错误出在乙的步骤。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查配方法解方程的步骤，易错点是将二次项系数化为1时，遗漏给等号右侧的常数项除以二次项系数，熟练掌握配方法每一步的运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
2. 方程$2x^2 -7x +6=0$的解是 （
A.$x_1=2,x_2=-\dfrac{3}{2}$
B.$x_1=2,x_2=\dfrac{3}{2}$
C.$x_1=-2,x_2=\dfrac{3}{2}$
D.$x_1=-2,x_2=-\dfrac{3}{2}$
B
）A.$x_1=2,x_2=-\dfrac{3}{2}$
B.$x_1=2,x_2=\dfrac{3}{2}$
C.$x_1=-2,x_2=\dfrac{3}{2}$
D.$x_1=-2,x_2=-\dfrac{3}{2}$
答案
2.B
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，由于方程的二次项系数、一次项系数、常数项均为整数，可优先选择十字相乘法因式分解求解，也可使用通用的求根公式法计算。解题思路为：若用因式分解法，先将方程左侧的二次三项式分解为两个一次因式的乘积，再根据“乘积为0的两个因式至少有一个为0”，转化为两个一元一次方程求解，最后匹配选项即可。
【解析】
解法1：因式分解法
对$2x^2-7x+6$进行十字相乘法分解：
将二次项$2x^2$拆为$2x · x$，常数项6拆为$(-3) · (-2)$，交叉验证得$2x · (-2) + x · (-3) = -7x$，与一次项一致，因此原方程可转化为：
$(2x-3)(x-2)=0$
令每个因式为0，得两个一元一次方程：
$2x-3=0$ 或 $x-2=0$
分别解得：$x_1=\dfrac{3}{2}$，$x_2=2$。
解法2：公式法
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，求根公式为$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
本题中$a=2$，$b=-7$，$c=6$，先计算判别式：
$\Delta = b^2-4ac = (-7)^2 - 4×2×6 = 49-48=1＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：
$x=\dfrac{7\pm\sqrt{1}}{2×2}=\dfrac{7\pm1}{4}$
即$x_1=\dfrac{7+1}{4}=2$，$x_2=\dfrac{7-1}{4}=\dfrac{3}{2}$。
综上方程的解为$x_1=2$，$x_2=\dfrac{3}{2}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程解法、十字相乘法
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，熟练掌握因式分解法、公式法等常见解法即可快速作答，其中因式分解法可简化计算步骤，提升解题速度。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的求解，由于方程的二次项系数、一次项系数、常数项均为整数，可优先选择十字相乘法因式分解求解，也可使用通用的求根公式法计算。解题思路为：若用因式分解法，先将方程左侧的二次三项式分解为两个一次因式的乘积，再根据“乘积为0的两个因式至少有一个为0”，转化为两个一元一次方程求解，最后匹配选项即可。
【解析】
解法1：因式分解法
对$2x^2-7x+6$进行十字相乘法分解：
将二次项$2x^2$拆为$2x · x$，常数项6拆为$(-3) · (-2)$，交叉验证得$2x · (-2) + x · (-3) = -7x$，与一次项一致，因此原方程可转化为：
$(2x-3)(x-2)=0$
令每个因式为0，得两个一元一次方程：
$2x-3=0$ 或 $x-2=0$
分别解得：$x_1=\dfrac{3}{2}$，$x_2=2$。
解法2：公式法
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，求根公式为$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
本题中$a=2$，$b=-7$，$c=6$，先计算判别式：
$\Delta = b^2-4ac = (-7)^2 - 4×2×6 = 49-48=1＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：
$x=\dfrac{7\pm\sqrt{1}}{2×2}=\dfrac{7\pm1}{4}$
即$x_1=\dfrac{7+1}{4}=2$，$x_2=\dfrac{7-1}{4}=\dfrac{3}{2}$。
综上方程的解为$x_1=2$，$x_2=\dfrac{3}{2}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程解法、十字相乘法
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，熟练掌握因式分解法、公式法等常见解法即可快速作答，其中因式分解法可简化计算步骤，提升解题速度。
【难度系数】
0.8
3. (杭州期中)把方程$x^2 -6x -1=0$转化成$(x+a)^2 =b$的形式，则a与b对应的值是（
A.3和10
B.3和8
C.$-3$和3
D.$-3$和10
D
）A.3和10
B.3和8
C.$-3$和3
D.$-3$和10
答案
3.D
解析
【分析】
本题需要用配方法将一元二次方程的一般式转化为完全平方式的形式。解题思路为：先将方程中的常数项移到等号右侧，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方的形式，最后和目标形式$(x+a)^2 =b$对比即可得到a、b的值。
【解析】
解：对原方程$x^2 -6x -1=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 -6x =1$
2. 一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，在方程两边同时加9，得：
$x^2 -6x +9 =1 +9$
3. 左侧利用完全平方公式因式分解，右侧计算得：$(x-3)^2=10$
将所得式子与$(x+a)^2 =b$对比，可得$a=-3$，$b=10$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心考查配方法的操作步骤，熟练掌握移项、加一次项系数一半的平方这两个关键步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题需要用配方法将一元二次方程的一般式转化为完全平方式的形式。解题思路为：先将方程中的常数项移到等号右侧，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方的形式，最后和目标形式$(x+a)^2 =b$对比即可得到a、b的值。
【解析】
解：对原方程$x^2 -6x -1=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 -6x =1$
2. 一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，在方程两边同时加9，得：
$x^2 -6x +9 =1 +9$
3. 左侧利用完全平方公式因式分解，右侧计算得：$(x-3)^2=10$
将所得式子与$(x+a)^2 =b$对比，可得$a=-3$，$b=10$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心考查配方法的操作步骤，熟练掌握移项、加一次项系数一半的平方这两个关键步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 把方程$2x^2 + 8x -1=0$化为$(x+m)^2 =n$的形式，则$\sqrt{mn}$的值是
3
.答案
4.3
解析
【分析】
要解决这个问题，需先利用配方法将一元二次方程的一般式转化为$(x+m)^2=n$的形式，思路如下：首先把方程的二次项系数化为1，再将常数项移到方程右侧，之后给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程左侧配成完全平方式、右侧合并为常数，就能得到$m$、$n$的值，最后代入$\sqrt{mn}$计算算术平方根即可。
【解析】
解：对原方程$2x^2 + 8x -1=0$进行配方：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得$x^2 + 4x - \frac{1}{2}=0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 +4x = \frac{1}{2}$；
3. 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为4，一半为2，平方为4，因此左右两边同时加4：
$x^2 +4x +4 = \frac{1}{2} +4$
左侧整理为完全平方式，右侧合并常数项，得：$(x+2)^2 = \frac{9}{2}$
对比$(x+m)^2 =n$的形式，可得$m=2$，$n=\frac{9}{2}$。
代入计算$\sqrt{mn}$：
$mn=2×\frac{9}{2}=9$，因此$\sqrt{mn}=\sqrt{9}=3$。
【答案】
3
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，算术平方根运算
【点评】
本题主要考查配方法的实际应用，熟练掌握配方法“一化、二移、三配”的操作步骤是解题的核心，计算过程中要注意常数项的运算准确性，算术平方根的结果为非负数。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需先利用配方法将一元二次方程的一般式转化为$(x+m)^2=n$的形式，思路如下：首先把方程的二次项系数化为1，再将常数项移到方程右侧，之后给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程左侧配成完全平方式、右侧合并为常数，就能得到$m$、$n$的值，最后代入$\sqrt{mn}$计算算术平方根即可。
【解析】
解：对原方程$2x^2 + 8x -1=0$进行配方：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得$x^2 + 4x - \frac{1}{2}=0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 +4x = \frac{1}{2}$；
3. 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为4，一半为2，平方为4，因此左右两边同时加4：
$x^2 +4x +4 = \frac{1}{2} +4$
左侧整理为完全平方式，右侧合并常数项，得：$(x+2)^2 = \frac{9}{2}$
对比$(x+m)^2 =n$的形式，可得$m=2$，$n=\frac{9}{2}$。
代入计算$\sqrt{mn}$：
$mn=2×\frac{9}{2}=9$，因此$\sqrt{mn}=\sqrt{9}=3$。
【答案】
3
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，算术平方根运算
【点评】
本题主要考查配方法的实际应用，熟练掌握配方法“一化、二移、三配”的操作步骤是解题的核心，计算过程中要注意常数项的运算准确性，算术平方根的结果为非负数。
【难度系数】
0.7
5. 当$t=$
3 或 $\dfrac{1}{2}$
时，代数式$2t^2 - 7t$的值为$-3$。答案
5.3或$\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时首先根据“代数式的值为-3”的条件建立等量关系，列出关于t的方程；再将方程整理为一元二次方程的标准形式，最后用学过的一元二次方程解法（如因式分解法、公式法）求解即可得到t的取值。
【解析】
解：根据题意列方程得：
$\begin{aligned}2t^2 - 7t &= -3 \\2t^2 - 7t + 3 &= 0 \end{aligned}$
对左侧多项式用十字相乘法因式分解，得：
$(2t - 1)(t - 3) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：
$2t - 1 = 0$ 或 $t - 3 = 0$
分别求解两个一次方程：
当$2t - 1 = 0$时，$t = \frac{1}{2}$；
当$t - 3 = 0$时，$t = 3$。
【答案】
3或$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题是基础题，核心考查根据代数式取值列方程的能力和一元二次方程的求解能力，掌握一元二次方程的常用解法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据“代数式的值为-3”的条件建立等量关系，列出关于t的方程；再将方程整理为一元二次方程的标准形式，最后用学过的一元二次方程解法（如因式分解法、公式法）求解即可得到t的取值。
【解析】
解：根据题意列方程得：
$\begin{aligned}2t^2 - 7t &= -3 \\2t^2 - 7t + 3 &= 0 \end{aligned}$
对左侧多项式用十字相乘法因式分解，得：
$(2t - 1)(t - 3) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：
$2t - 1 = 0$ 或 $t - 3 = 0$
分别求解两个一次方程：
当$2t - 1 = 0$时，$t = \frac{1}{2}$；
当$t - 3 = 0$时，$t = 3$。
【答案】
3或$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题是基础题，核心考查根据代数式取值列方程的能力和一元二次方程的求解能力，掌握一元二次方程的常用解法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6. 用配方法解下列方程：
(1) $3x^2 + 5x - 1 = 0$;
(2) $-2x^2 + 4x + 1 = 0$;
(3) $\frac{1}{4}x^2 - 6x + 3 = 0$;
(4) $3x^2 + 2 = 5x$.
(1) $3x^2 + 5x - 1 = 0$;
(2) $-2x^2 + 4x + 1 = 0$;
(3) $\frac{1}{4}x^2 - 6x + 3 = 0$;
(4) $3x^2 + 2 = 5x$.
答案
6.(1) $x_1=\dfrac{-5+\sqrt{37}}{6},x_2=\dfrac{-5-\sqrt{37}}{6}$
(2) $x_1=\dfrac{\sqrt{6}}{2}+1$,$x_2=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}+1$
(3) $x_1=2\sqrt{33}+12$,$x_2=-2\sqrt{33}+12$
(4) $x_1=1,x_2=\dfrac{2}{3}$
(2) $x_1=\dfrac{\sqrt{6}}{2}+1$,$x_2=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}+1$
(3) $x_1=2\sqrt{33}+12$,$x_2=-2\sqrt{33}+12$
(4) $x_1=1,x_2=\dfrac{2}{3}$
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$的标准形式；②将二次项系数化为1，方程两边同时除以二次项系数；③移项，将常数项移到方程等号右侧；④配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，右侧合并为常数；⑤若右侧常数非负，直接开平方转化为一元一次方程求解即可，每一步计算注意符号不要出错。
【解析】
(1) 解方程$3x^2 + 5x - 1 = 0$
二次项系数化为1，两边同除以3得：$x^2+\dfrac{5}{3}x-\dfrac{1}{3}=0$
移项得：$x^2+\dfrac{5}{3}x=\dfrac{1}{3}$
配方，两边加$(\dfrac{5}{6})^2=\dfrac{25}{36}$得：$x^2+\dfrac{5}{3}x+\dfrac{25}{36}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{25}{36}$
整理得：$(x+\dfrac{5}{6})^2=\dfrac{37}{36}$
开平方得：$x+\dfrac{5}{6}=\pm\dfrac{\sqrt{37}}{6}$
解得两根。
(2) 解方程$-2x^2 + 4x + 1 = 0$
二次项系数化为1，两边同除以-2得：$x^2-2x-\dfrac{1}{2}=0$
移项得：$x^2-2x=\dfrac{1}{2}$
配方，两边加$1^2=1$得：$x^2-2x+1=\dfrac{1}{2}+1$
整理得：$(x-1)^2=\dfrac{3}{2}$
开平方得：$x-1=\pm\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
解得两根。
(3) 解方程$\dfrac{1}{4}x^2 - 6x + 3 = 0$
二次项系数化为1，两边同乘4得：$x^2-24x+12=0$
移项得：$x^2-24x=-12$
配方，两边加$12^2=144$得：$x^2-24x+144=-12+144$
整理得：$(x-12)^2=132$
开平方得：$x-12=\pm2\sqrt{33}$
解得两根。
(4) 解方程$3x^2 + 2 = 5x$
整理为标准形式：$3x^2-5x+2=0$
二次项系数化为1，两边同除以3得：$x^2-\dfrac{5}{3}x+\dfrac{2}{3}=0$
移项得：$x^2-\dfrac{5}{3}x=-\dfrac{2}{3}$
配方，两边加$(\dfrac{5}{6})^2=\dfrac{25}{36}$得：$x^2-\dfrac{5}{3}x+\dfrac{25}{36}=-\dfrac{2}{3}+\dfrac{25}{36}$
整理得：$(x-\dfrac{5}{6})^2=\dfrac{1}{36}$
开平方得：$x-\dfrac{5}{6}=\pm\dfrac{1}{6}$
解得两根。
【答案】
(1) $x_1=\dfrac{-5+\sqrt{37}}{6},x_2=\dfrac{-5-\sqrt{37}}{6}$
(2) $x_1=\dfrac{\sqrt{6}}{2}+1$,$x_2=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}+1$
(3) $x_1=2\sqrt{33}+12$,$x_2=-2\sqrt{33}+12$
(4) $x_1=1,x_2=\dfrac{2}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，开平方运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，解题核心是熟练掌握配方法的固定步骤，计算时需注意二次项系数化1时各项都要做对应运算，配方时等号两侧要同时加一次项系数一半的平方，避免因漏算、符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.75
用配方法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$的标准形式；②将二次项系数化为1，方程两边同时除以二次项系数；③移项，将常数项移到方程等号右侧；④配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，右侧合并为常数；⑤若右侧常数非负，直接开平方转化为一元一次方程求解即可，每一步计算注意符号不要出错。
【解析】
(1) 解方程$3x^2 + 5x - 1 = 0$
二次项系数化为1，两边同除以3得：$x^2+\dfrac{5}{3}x-\dfrac{1}{3}=0$
移项得：$x^2+\dfrac{5}{3}x=\dfrac{1}{3}$
配方，两边加$(\dfrac{5}{6})^2=\dfrac{25}{36}$得：$x^2+\dfrac{5}{3}x+\dfrac{25}{36}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{25}{36}$
整理得：$(x+\dfrac{5}{6})^2=\dfrac{37}{36}$
开平方得：$x+\dfrac{5}{6}=\pm\dfrac{\sqrt{37}}{6}$
解得两根。
(2) 解方程$-2x^2 + 4x + 1 = 0$
二次项系数化为1，两边同除以-2得：$x^2-2x-\dfrac{1}{2}=0$
移项得：$x^2-2x=\dfrac{1}{2}$
配方，两边加$1^2=1$得：$x^2-2x+1=\dfrac{1}{2}+1$
整理得：$(x-1)^2=\dfrac{3}{2}$
开平方得：$x-1=\pm\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
解得两根。
(3) 解方程$\dfrac{1}{4}x^2 - 6x + 3 = 0$
二次项系数化为1，两边同乘4得：$x^2-24x+12=0$
移项得：$x^2-24x=-12$
配方，两边加$12^2=144$得：$x^2-24x+144=-12+144$
整理得：$(x-12)^2=132$
开平方得：$x-12=\pm2\sqrt{33}$
解得两根。
(4) 解方程$3x^2 + 2 = 5x$
整理为标准形式：$3x^2-5x+2=0$
二次项系数化为1，两边同除以3得：$x^2-\dfrac{5}{3}x+\dfrac{2}{3}=0$
移项得：$x^2-\dfrac{5}{3}x=-\dfrac{2}{3}$
配方，两边加$(\dfrac{5}{6})^2=\dfrac{25}{36}$得：$x^2-\dfrac{5}{3}x+\dfrac{25}{36}=-\dfrac{2}{3}+\dfrac{25}{36}$
整理得：$(x-\dfrac{5}{6})^2=\dfrac{1}{36}$
开平方得：$x-\dfrac{5}{6}=\pm\dfrac{1}{6}$
解得两根。
【答案】
(1) $x_1=\dfrac{-5+\sqrt{37}}{6},x_2=\dfrac{-5-\sqrt{37}}{6}$
(2) $x_1=\dfrac{\sqrt{6}}{2}+1$,$x_2=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}+1$
(3) $x_1=2\sqrt{33}+12$,$x_2=-2\sqrt{33}+12$
(4) $x_1=1,x_2=\dfrac{2}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，开平方运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，解题核心是熟练掌握配方法的固定步骤，计算时需注意二次项系数化1时各项都要做对应运算，配方时等号两侧要同时加一次项系数一半的平方，避免因漏算、符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.75
7. 等腰三角形的两边长是一元二次方程$2x^2 -17x +36=0$的两根，则该等腰三角形的周长为（
A.13
B.9
C.12.5或13
D.9或13
C
）A.13
B.9
C.12.5或13
D.9或13
答案
7.C
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步先求解给定的一元二次方程，得到两根的数值；第二步结合等腰三角形“两腰长度相等”的性质，分两种情况讨论腰长和底边长的取值；第三步根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证每种情况是否能构成三角形，排除不符合的情况后计算对应周长即可。
【解析】
首先解一元二次方程$2x^2 -17x +36=0$：
用因式分解法对左边十字相乘得$(2x-9)(x-4)=0$，
则$2x-9=0$或$x-4=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=\frac{9}{2}=4.5$。
接下来分情况讨论等腰三角形的边长：
情况1：若腰长为4，底边长为4.5，此时三边长为4、4、4.5，
验证三边关系：$4+4＞4.5$，满足构成三角形的条件，
周长为$4+4+4.5=12.5$。
情况2：若腰长为4.5，底边长为4，此时三边长为4.5、4.5、4，
验证三边关系：$4.5+4＞4.5$，满足构成三角形的条件，
周长为$4.5+4.5+4=13$。
综上，该等腰三角形的周长为12.5或13。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础综合题，解题时需注意分情况讨论边长的可能组合，同时一定要验证三边是否符合三角形的构成条件，避免出现错解或漏解。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步先求解给定的一元二次方程，得到两根的数值；第二步结合等腰三角形“两腰长度相等”的性质，分两种情况讨论腰长和底边长的取值；第三步根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证每种情况是否能构成三角形，排除不符合的情况后计算对应周长即可。
【解析】
首先解一元二次方程$2x^2 -17x +36=0$：
用因式分解法对左边十字相乘得$(2x-9)(x-4)=0$，
则$2x-9=0$或$x-4=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=\frac{9}{2}=4.5$。
接下来分情况讨论等腰三角形的边长：
情况1：若腰长为4，底边长为4.5，此时三边长为4、4、4.5，
验证三边关系：$4+4＞4.5$，满足构成三角形的条件，
周长为$4+4+4.5=12.5$。
情况2：若腰长为4.5，底边长为4，此时三边长为4.5、4.5、4，
验证三边关系：$4.5+4＞4.5$，满足构成三角形的条件，
周长为$4.5+4.5+4=13$。
综上，该等腰三角形的周长为12.5或13。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础综合题，解题时需注意分情况讨论边长的可能组合，同时一定要验证三边是否符合三角形的构成条件，避免出现错解或漏解。
【难度系数】
0.7
8. (贵州模拟)对于两个不相等的实数$a,b$,我们规定符号$\max(a,b)$表示$a,b$中的较大值,如:$\max(3,5)=5$,因此,$\max(-3,-5)=-3$.按照这个规定,若$\max\{x,-x\}=x^2 - 3x -5$,则$x$的值是（
A.$5$
B.$5$或$1-\sqrt{6}$
C.$-1$或$1-\sqrt{6}$
D.$5$或$1+\sqrt{6}$
B
）A.$5$
B.$5$或$1-\sqrt{6}$
C.$-1$或$1-\sqrt{6}$
D.$5$或$1+\sqrt{6}$
答案
8.B
解析
【分析】
首先理解新定义符号$\max(a,b)$的含义：取两个不相等实数中的较大值。因此需分两种情况讨论$\max\{x,-x\}$的结果：①当$x ＞ -x$（即$x＞0$）时，$\max\{x,-x\}=x$；②当$x ＜ -x$（即$x＜0$）时，$\max\{x,-x\}=-x$。分别将两种情况代入原方程得到一元二次方程，求解后结合对应情况的$x$取值范围检验根的合理性，舍去不符合条件的根即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$x ＞ -x$，即$x＞0$时，$\max\{x,-x\}=x$，
原方程可化为：$x = x^2 - 3x -5$，
整理得：$x^2 -4x -5 = 0$，
因式分解得：$(x-5)(x+1)=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=-1$，
结合$x＞0$的前提，舍去$x=-1$，保留$x=5$；
2. 当$x ＜ -x$，即$x＜0$时，$\max\{x,-x\}=-x$，
原方程可化为：$-x = x^2 - 3x -5$，
整理得：$x^2 -2x -5 = 0$，
由求根公式得$x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2 - 4×1×(-5)}}{2×1}=1\pm\sqrt{6}$，
结合$x＜0$的前提，$1+\sqrt{6}＞0$舍去，保留$x=1-\sqrt{6}$。
综上，$x$的值为$5$或$1-\sqrt{6}$。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算、一元二次方程的解法、分类讨论思想
【点评】
本题将新定义运算与一元二次方程求解结合考查，解题核心是根据新定义规则分类转化为熟悉的方程问题，求解后要注意结合分类的前提条件检验根是否符合要求，避免多解错选。
【难度系数】
0.6
首先理解新定义符号$\max(a,b)$的含义：取两个不相等实数中的较大值。因此需分两种情况讨论$\max\{x,-x\}$的结果：①当$x ＞ -x$（即$x＞0$）时，$\max\{x,-x\}=x$；②当$x ＜ -x$（即$x＜0$）时，$\max\{x,-x\}=-x$。分别将两种情况代入原方程得到一元二次方程，求解后结合对应情况的$x$取值范围检验根的合理性，舍去不符合条件的根即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$x ＞ -x$，即$x＞0$时，$\max\{x,-x\}=x$，
原方程可化为：$x = x^2 - 3x -5$，
整理得：$x^2 -4x -5 = 0$，
因式分解得：$(x-5)(x+1)=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=-1$，
结合$x＞0$的前提，舍去$x=-1$，保留$x=5$；
2. 当$x ＜ -x$，即$x＜0$时，$\max\{x,-x\}=-x$，
原方程可化为：$-x = x^2 - 3x -5$，
整理得：$x^2 -2x -5 = 0$，
由求根公式得$x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2 - 4×1×(-5)}}{2×1}=1\pm\sqrt{6}$，
结合$x＜0$的前提，$1+\sqrt{6}＞0$舍去，保留$x=1-\sqrt{6}$。
综上，$x$的值为$5$或$1-\sqrt{6}$。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算、一元二次方程的解法、分类讨论思想
【点评】
本题将新定义运算与一元二次方程求解结合考查，解题核心是根据新定义规则分类转化为熟悉的方程问题，求解后要注意结合分类的前提条件检验根是否符合要求，避免多解错选。
【难度系数】
0.6
9. 已知$y_1=5x^2+7x+1$，$y_2=x^2-9x-15$，则当$x=$
$-2$
时，$y_1=y_2$。答案
9.$-2$
解析
【分析】
要求使得$y_1=y_2$的$x$值，首先根据两个函数值相等的条件列出等式，再通过移项、合并同类项将等式整理为一元二次方程的标准形式，最后选取合适的方法解一元二次方程即可得到$x$的值。
【解析】
根据题意，当$y_1=y_2$时，可列方程：
$5x^2+7x+1 = x^2-9x-15$
移项，将所有项移到等号左侧：
$5x^2+7x+1 - x^2 +9x +15 = 0$
合并同类项得：
$4x^2 + 16x + 16 = 0$
两边同时除以4，化简为：
$x^2 +4x +4 =0$
利用完全平方公式因式分解得：
$(x+2)^2 = 0$
解得：$x=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 等式的性质
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查根据等量关系列方程以及一元二次方程的求解能力，熟练掌握一元二次方程的常见解法就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
要求使得$y_1=y_2$的$x$值，首先根据两个函数值相等的条件列出等式，再通过移项、合并同类项将等式整理为一元二次方程的标准形式，最后选取合适的方法解一元二次方程即可得到$x$的值。
【解析】
根据题意，当$y_1=y_2$时，可列方程：
$5x^2+7x+1 = x^2-9x-15$
移项，将所有项移到等号左侧：
$5x^2+7x+1 - x^2 +9x +15 = 0$
合并同类项得：
$4x^2 + 16x + 16 = 0$
两边同时除以4，化简为：
$x^2 +4x +4 =0$
利用完全平方公式因式分解得：
$(x+2)^2 = 0$
解得：$x=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 等式的性质
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查根据等量关系列方程以及一元二次方程的求解能力，熟练掌握一元二次方程的常见解法就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
