10. 已知点$(5 - k^2, 2k + 3)$在第四象限内，且在第四象限的角平分线上，则$k=$。

10. －2

【分析】
解题需用到两个核心条件：①点在第四象限，因此横坐标大于0，纵坐标小于0；②点在第四象限的角平分线上，该线上的点横坐标与纵坐标互为相反数（横、纵坐标之和为0）。我们先根据角平分线的性质列出关于k的一元二次方程，求解得到k的可能值后，再结合第四象限的坐标符号要求验证筛选，舍去不符合条件的根即可得到结果。
【解析】
∵ 点在第四象限的角平分线上
∴ 该点横坐标与纵坐标互为相反数，即：
$5 - k^2 + (2k + 3) = 0$
整理方程得：
$k^2 - 2k - 8 = 0$
因式分解得：
$(k - 4)(k + 2) = 0$
解得：$k_1=4$，$k_2=-2$
接下来验证点在第四象限的条件（横坐标＞0，纵坐标＜0）：
当$k=4$时，横坐标$5 - 4^2 = -11 ＜ 0$，不符合第四象限要求，舍去；
当$k=-2$时，横坐标$5 - (-2)^2 = 1 ＞ 0$，纵坐标$2×(-2)+3 = -1 ＜ 0$，符合要求。
综上，$k=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
象限内点的坐标特征；角平分线的坐标性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题是坐标系性质与一元二次方程的综合应用题，易错点是求解方程后忽略第四象限的坐标符号限制，未对根进行取舍导致多解，解题时要注意结合题干所有限制条件验证结果。
【难度系数】
0.7

11. 已知代数式$x^2 - 2$比$2x + 1$小4，则$x=$。

11. 1

【分析】
首先要准确翻译题目中的数量关系：“代数式$x^2 - 2$比$2x + 1$小4”，即$x^2 - 2$等于$2x + 1$减去4，据此列出一元二次方程，再将方程整理为标准形式，用合适的方法求解即可。
【解析】
根据题意列方程：
$x^2 - 2 = (2x + 1) - 4$
整理方程得：
$x^2 - 2 = 2x - 3$
移项将所有项移至等号左侧：
$x^2 - 2x + 1 = 0$
由完全平方公式因式分解得：
$(x - 1)^2 = 0$
解得：$x_1 = x_2 = 1$，即$x=1$
【答案】
1
【知识点】
列一元二次方程、一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是正确将文字描述的数量关系转化为数学方程，再用完全平方公式求解，运算量较小，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

12. 用配方法解下列一元二次方程：
(1) $x^2 + 6x + 8 = 0$；
(2) $x^2 - 2\sqrt{2}x - 4 = 0$；
(3) $(x - 2)(x - 4) = 12$；
(4) $(x + 1)^2 - 10(x + 1) + 9 = 0$。

12. (1) $x_1=-2,x_2=-4$ (2) $x_1=\sqrt{6}+\sqrt{2},x_2=-\sqrt{6}+\sqrt{2}$ (3) $x_1=3+\sqrt{13},x_2=3-\sqrt{13}$ (4) $x_1=8,x_2=0$

【分析】
配方法解一元二次方程的核心思路是将方程转化为完全平方式的形式，再用直接开平方法求解，通用步骤为：①将方程整理为一般形式，若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到方程右侧；③配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④开平方求解。遇到含相同整体的方程时，可先通过换元法简化方程，再按上述步骤求解。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2 + 6x = -8$，
配方，两边加 $3^2$，得 $x^2 +6x +9 = -8 +9$，即 $(x+3)^2=1$，
开平方，得 $x+3 = \pm 1$，
解得 $x_1 = -3+1=-2$，$x_2=-3-1=-4$。
(2) 移项，得 $x^2 - 2\sqrt{2}x = 4$，
配方，两边加 $(\sqrt{2})^2$，得 $x^2 -2\sqrt{2}x +2 =4 +2$，即 $(x-\sqrt{2})^2=6$，
开平方，得 $x-\sqrt{2}=\pm\sqrt{6}$，
解得 $x_1=\sqrt{2}+\sqrt{6}$，$x_2=\sqrt{2}-\sqrt{6}$。
(3) 先展开整理方程：
左边展开得 $x^2 -6x +8 =12$，
移项得 $x^2 -6x = 4$，
配方，两边加 $3^2$，得 $x^2 -6x +9 =4+9$，即 $(x-3)^2=13$，
开平方，得 $x-3=\pm\sqrt{13}$，
解得 $x_1=3+\sqrt{13}$，$x_2=3-\sqrt{13}$。
(4) 设 $y=x+1$，原方程化为 $y^2 -10y +9 =0$，
移项得 $y^2 -10y = -9$，
配方，两边加 $5^2$，得 $y^2 -10y +25 = -9 +25$，即 $(y-5)^2=16$，
开平方得 $y-5=\pm4$，
解得 $y_1=9$，$y_2=1$，
代回 $y=x+1$：当 $y=9$ 时，$x+1=9$，$x=8$；当 $y=1$ 时，$x+1=1$，$x=0$，即 $x_1=8$，$x_2=0$。
【答案】
(1) $x_1=-2,x_2=-4$ (2) $x_1=\sqrt{6}+\sqrt{2},x_2=-\sqrt{6}+\sqrt{2}$ (3) $x_1=3+\sqrt{13},x_2=3-\sqrt{13}$ (4) $x_1=8,x_2=0$
【知识点】
1. 配方法解方程
2. 完全平方公式
3. 换元法解方程
【点评】
本题围绕配方法的应用设置，难度梯度合理，解题时需严格遵循配方法的操作步骤，对于结构特殊的方程巧用换元法可简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.8

13. 用配方法证明:对于任意实数$x$,代数式$-x^2+10x-21$的值总不大于4.

13. 证明:$\because -x^2+10x-21=-(x^2-10x+25-25)-21=-(x-5)^2+4$,又$\because (x-5)^2≥0,\therefore -(x-5)^2≤0.\therefore -(x-5)^2+4≤4.\therefore$ 代数式$-x^2+10x-21$的值总不大于4.

【分析】
要证明代数式的值总不大于4，本质是推导该二次式的最大值为4，可通过配方法变形求解。解题步骤为：①先提取二次项的负号，将二次项与一次项整合到括号内；②对括号内的二次式凑完全平方，变形为含平方式的形式；③结合实数平方的非负性，推导整个代数式的取值范围，即可完成证明。
【解析】
证明：
首先对代数式进行配方：
$\begin{aligned}-x^2+10x-21&=-(x^2-10x+25-25)-21\\&=-[(x-5)^2 -25]-21\\&=-(x-5)^2 +25 -21\\&=-(x-5)^2 +4\end{aligned}$
∵ 对于任意实数$x$，都有$(x-5)^2≥0$，
∴ $-(x-5)^2≤0$，
不等式两边同时加4可得：$-(x-5)^2 +4≤4$，
即对于任意实数$x$，代数式$-x^2+10x-21$的值总不大于4。
【答案】
证明:$\because -x^2+10x-21=-(x^2-10x+25-25)-21=-(x-5)^2+4$,又$\because (x-5)^2≥0,\therefore -(x-5)^2≤0.\therefore -(x-5)^2+4≤4.\therefore$ 代数式$-x^2+10x-21$的值总不大于4.
【知识点】
配方法的应用，平方的非负性，代数式最值求解
【点评】
本题是配方法的典型应用题型，核心是掌握二次三项式的配方技巧，尤其注意二次项系数为负时要先提取负号再配方，再结合平方的非负性即可快速推导代数式的取值范围。
【难度系数】
0.8

14. 有$n$个方程：
$x^2+2x-8=0$；
$x^2+2×2x-8×2^2=0$；
…
$x^2+2nx-8n^2=0$。
小静同学解第1个方程$x^2+2x-8=0$的步骤为：
① $x^2+2x=8$；
② $x^2+2x+1=8+1$；
③ $(x+1)^2=9$；
④ $x+1=\pm3$；
⑤ $x=1\pm3$；
⑥ $x_1=4,x_2=-2$。
（1）小静的解法是从步骤开始出现错误的；
（2）用配方法解第$n$个方程$x^2+2nx-8n^2=0$（用含$n$的式子表示方程的根）。

14. (1) ⑤
(2) $x^2+2nx-8n^2=0$,$x^2+2nx=8n^2$,$x^2+2nx+n^2=8n^2+n^2$,$(x+n)^2=9n^2$,$x+n=\pm3n$,$x=-n\pm3n$,$\therefore x_1=-4n$,$x_2=2n$.

【分析】
第(1)问需逐步骤核对小静的解题过程：配方法移项时要注意符号变化，步骤④为$x+1=\pm3$，移项后应为$x=-1\pm3$，小静移项时符号出错，即可判断错误步骤。第(2)问遵循配方法的通用步骤解题：先将常数项移到方程右侧，再给方程两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方形式，最后开平方求解即可。
【解析】
(1) 观察小静的解题步骤，步骤④为$x+1=\pm3$，移项时+1移到等号右侧应变号为-1，正确结果为$x=-1\pm3$，小静错误写为$x=1\pm3$，因此从步骤⑤开始出现错误。
(2) 用配方法解第$n$个方程$x^2+2nx-8n^2=0$：
① 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2+2nx=8n^2$；
② 配方，两边同时加一次项系数$2n$一半的平方$n^2$：$x^2+2nx+n^2=8n^2+n^2$；
③ 左侧化为完全平方形式：$(x+n)^2=9n^2$；
④ 开平方：$x+n=\pm3n$；
⑤ 移项求解：$x=-n\pm3n$，因此$x_1=-n+3n=2n$，$x_2=-n-3n=-4n$。
【答案】
(1) $\boxed{⑤}$
(2) $\boxed{x_1=2n，x_2=-4n}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；平方根的意义
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的规范步骤，解题时要注意移项的符号变化、开平方时不要遗漏负根，熟练掌握配方法的基本流程就能轻松解题。
【难度系数】
0.8