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1. 用配方法解一元二次方程$x^2 + 2x -24=0$，将它转化为$(x+a)^2 =b$的形式，下列变形正确的是（
A.$(x+2)^2=25$
B.$(x+1)^2=25$
C.$(x-2)^2=12$
D.$(x-1)^2=112$
B
）A.$(x+2)^2=25$
B.$(x+1)^2=25$
C.$(x-2)^2=12$
D.$(x-1)^2=112$
答案
1. B
解析
【分析】
要将一元二次方程用配方法转化为$(x+a)^2 =b$的形式，首先明确配方法的核心思路：对于二次项系数为1的方程，先把常数项移到等号右侧，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将左边凑成完全平方式。本题中二次项系数已经是1，按上述步骤操作即可得到对应变形，再匹配选项判断正误。
【解析】
解：对原方程$x^2 + 2x -24=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 + 2x = 24$
2. 配方：一次项系数为2，它的一半是1，平方为$1^2=1$，在方程两边同时加1，得：
$x^2 + 2x +1 = 24 +1$
3. 左边利用完全平方公式变形，右边合并常数项，得：$(x+1)^2 =25$
对比选项，B选项符合变形结果。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，等式的基本性质
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查二次项系数为1的一元二次方程的配方步骤，熟练掌握“移项、加一次项系数一半的平方”的操作流程即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要将一元二次方程用配方法转化为$(x+a)^2 =b$的形式，首先明确配方法的核心思路：对于二次项系数为1的方程，先把常数项移到等号右侧，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将左边凑成完全平方式。本题中二次项系数已经是1，按上述步骤操作即可得到对应变形，再匹配选项判断正误。
【解析】
解：对原方程$x^2 + 2x -24=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 + 2x = 24$
2. 配方：一次项系数为2，它的一半是1，平方为$1^2=1$，在方程两边同时加1，得：
$x^2 + 2x +1 = 24 +1$
3. 左边利用完全平方公式变形，右边合并常数项，得：$(x+1)^2 =25$
对比选项，B选项符合变形结果。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，等式的基本性质
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查二次项系数为1的一元二次方程的配方步骤，熟练掌握“移项、加一次项系数一半的平方”的操作流程即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 将方程$x^2 -6x + q=0$配方后得$(x - q)^2=6$，则方程$x^2 -6x + q=2$可配方成（
A.$(x - q)^2=4$
B.$(x - q)^2=8$
C.$(x - q + 2)^2=8$
D.$(x - q + 2)^2=4$
B
）A.$(x - q)^2=4$
B.$(x - q)^2=8$
C.$(x - q + 2)^2=8$
D.$(x - q + 2)^2=4$
答案
2. B
解析
【分析】
解题首先要利用已知的配方结果求出参数q的值，再将q代入目标方程用配方法变形即可。首先回忆配方法的操作规则：对形如$x^2+bx+c=0$的方程配方时，先移项将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧写成完全平方式。先通过第一个方程的配方结果对应求出q，再处理第二个方程即可得到答案。
【解析】
1. 先求参数$q$的值：
对$x^2 -6x + q=0$配方，移项得$x^2 -6x = -q$，
等式两边同时加$(\frac{-6}{2})^2=9$，得$x^2-6x+9=9-q$，即$(x-3)^2=9-q$。
已知题目给出该方程配方结果为$(x-q)^2=6$，对应可得$q=3$，且$9-q=6$，代入验证$9-3=6$，符合条件，因此$q=3$。
2. 对$x^2 -6x + q=2$配方：
将$q=3$代入方程，得$x^2-6x+3=2$，
移项得$x^2-6x=2-3=-1$，
等式两边同时加9，得$x^2-6x+9=-1+9=8$，
左侧写成完全平方式为$(x-3)^2=8$，代入$q=3$，即$(x-q)^2=8$。
【答案】
B
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题核心考查配方法的实际应用，解题关键是先根据已知配方结果求出未知参数q，再对目标方程按配方法规则变形即可，需要注意配方时等式两边要同时加相同的数，保证等式等价变形。
【难度系数】
0.7
解题首先要利用已知的配方结果求出参数q的值，再将q代入目标方程用配方法变形即可。首先回忆配方法的操作规则：对形如$x^2+bx+c=0$的方程配方时，先移项将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧写成完全平方式。先通过第一个方程的配方结果对应求出q，再处理第二个方程即可得到答案。
【解析】
1. 先求参数$q$的值：
对$x^2 -6x + q=0$配方，移项得$x^2 -6x = -q$，
等式两边同时加$(\frac{-6}{2})^2=9$，得$x^2-6x+9=9-q$，即$(x-3)^2=9-q$。
已知题目给出该方程配方结果为$(x-q)^2=6$，对应可得$q=3$，且$9-q=6$，代入验证$9-3=6$，符合条件，因此$q=3$。
2. 对$x^2 -6x + q=2$配方：
将$q=3$代入方程，得$x^2-6x+3=2$，
移项得$x^2-6x=2-3=-1$，
等式两边同时加9，得$x^2-6x+9=-1+9=8$，
左侧写成完全平方式为$(x-3)^2=8$，代入$q=3$，即$(x-q)^2=8$。
【答案】
B
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题核心考查配方法的实际应用，解题关键是先根据已知配方结果求出未知参数q，再对目标方程按配方法规则变形即可，需要注意配方时等式两边要同时加相同的数，保证等式等价变形。
【难度系数】
0.7
3. 一元二次方程$x^2 -4x -8=0$的解是 （
A.$x_1=-2+2\sqrt{3},x_2=-2-2\sqrt{3}$
B.$x_1=2+2\sqrt{3},x_2=2-2\sqrt{3}$
C.$x_1=2+2\sqrt{2},x_2=2-2\sqrt{2}$
D.$x_1=2\sqrt{3},x_2=-2\sqrt{3}$
B
）A.$x_1=-2+2\sqrt{3},x_2=-2-2\sqrt{3}$
B.$x_1=2+2\sqrt{3},x_2=2-2\sqrt{3}$
C.$x_1=2+2\sqrt{2},x_2=2-2\sqrt{2}$
D.$x_1=2\sqrt{3},x_2=-2\sqrt{3}$
答案
3. B
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，可选择配方法或公式法两种常见思路解题：1. 配方法：先移项把常数项放在等号右侧，再给等式两边同时加一次项系数一半的平方，将左边转化为完全平方式，再开方计算即可；2. 公式法：先确定方程中a、b、c的取值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算，解题时需注意符号不要出错。
【解析】
方法一（公式法）：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
在方程$x^2 -4x -8=0$中，$a=1$，$b=-4$，$c=-8$。
计算判别式：$\Delta =b^2-4ac=(-4)^2-4×1×(-8)=16+32=48＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：$x=\frac{4\pm\sqrt{48}}{2}=\frac{4\pm4\sqrt{3}}{2}=2\pm2\sqrt{3}$，即$x_1=2+2\sqrt{3}$，$x_2=2-2\sqrt{3}$。
方法二（配方法）：移项得$x^2-4x=8$，
两边同时加4配方得：$x^2-4x+4=8+4$，即$(x-2)^2=12$，
开方得$x-2=\pm2\sqrt{3}$，
解得$x_1=2+2\sqrt{3}$，$x_2=2-2\sqrt{3}$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程求根公式、配方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程的常规解法，熟练掌握配方法或公式法即可快速解题，计算时要注意常数项符号、根式化简两个易错点，避免低级失误。
【难度系数】
0.85
本题考查一元二次方程的求解，可选择配方法或公式法两种常见思路解题：1. 配方法：先移项把常数项放在等号右侧，再给等式两边同时加一次项系数一半的平方，将左边转化为完全平方式，再开方计算即可；2. 公式法：先确定方程中a、b、c的取值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算，解题时需注意符号不要出错。
【解析】
方法一（公式法）：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
在方程$x^2 -4x -8=0$中，$a=1$，$b=-4$，$c=-8$。
计算判别式：$\Delta =b^2-4ac=(-4)^2-4×1×(-8)=16+32=48＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：$x=\frac{4\pm\sqrt{48}}{2}=\frac{4\pm4\sqrt{3}}{2}=2\pm2\sqrt{3}$，即$x_1=2+2\sqrt{3}$，$x_2=2-2\sqrt{3}$。
方法二（配方法）：移项得$x^2-4x=8$，
两边同时加4配方得：$x^2-4x+4=8+4$，即$(x-2)^2=12$，
开方得$x-2=\pm2\sqrt{3}$，
解得$x_1=2+2\sqrt{3}$，$x_2=2-2\sqrt{3}$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程求根公式、配方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程的常规解法，熟练掌握配方法或公式法即可快速解题，计算时要注意常数项符号、根式化简两个易错点，避免低级失误。
【难度系数】
0.85
4. 若代数式$x^2 + (k - 1)x + 16$是完全平方式，则$k=$
9或－7
。答案
4. 9或－7
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，包含和的平方、差的平方两种形式。我们先将给定代数式和完全平方式的结构对应，确定首尾两项对应的$a$和$b$，再根据中间项等于首尾两项乘积的2倍（带正负两种符号），列出关于$k$的方程，求解即可得到$k$的值。
【解析】
解：已知完全平方式的结构为$a^2\pm2ab+b^2$，
观察代数式$x^2 + (k - 1)x + 16$，可得：
首项$x^2 = a^2$，即$a=x$；
尾项$16 = 4^2 = b^2$，即$b=4$；
因此中间项$(k-1)x = \pm2ab = \pm2· x·4 = \pm8x$，
根据等式两边同类项系数相等，可得：
$k-1 = 8$ 或 $k-1 = -8$，
当$k-1=8$时，解得$k=9$；
当$k-1=-8$时，解得$k=-7$。
【答案】9或－7
【知识点】
完全平方式；解一元一次方程
【点评】
本题重点考查完全平方式的结构，解题时需注意完全平方式存在“和的平方”“差的平方”两种形式，切勿遗漏负号情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，包含和的平方、差的平方两种形式。我们先将给定代数式和完全平方式的结构对应，确定首尾两项对应的$a$和$b$，再根据中间项等于首尾两项乘积的2倍（带正负两种符号），列出关于$k$的方程，求解即可得到$k$的值。
【解析】
解：已知完全平方式的结构为$a^2\pm2ab+b^2$，
观察代数式$x^2 + (k - 1)x + 16$，可得：
首项$x^2 = a^2$，即$a=x$；
尾项$16 = 4^2 = b^2$，即$b=4$；
因此中间项$(k-1)x = \pm2ab = \pm2· x·4 = \pm8x$，
根据等式两边同类项系数相等，可得：
$k-1 = 8$ 或 $k-1 = -8$，
当$k-1=8$时，解得$k=9$；
当$k-1=-8$时，解得$k=-7$。
【答案】9或－7
【知识点】
完全平方式；解一元一次方程
【点评】
本题重点考查完全平方式的结构，解题时需注意完全平方式存在“和的平方”“差的平方”两种形式，切勿遗漏负号情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
5. 用配方法解方程$x^2 -4x -3=0$，配方得$(x+m)^2=7$，常数$m$的值是
－2
。答案
5. －2
解析
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题思路如下：首先回忆配方法的操作步骤，先将一元二次方程的常数项移到等号右侧，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧整理为完全平方式，最后把得到的配方结果和题目给出的$(x+m)^2=7$对比，即可求出常数$m$的值。
【解析】
解：对原方程$x^2 -4x -3=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 -4x = 3$
2. 配方，一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，在方程两边同时加4，得：
$x^2 -4x +4 = 3 +4$
3. 等号左侧利用完全平方公式整理，右侧计算得：
$(x-2)^2=7$
题目给出配方结果为$(x+m)^2=7$，对比可得$x-2 = x+(-2)$，因此$m=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心考查配方法的操作步骤，只要熟练掌握“移项、凑完全平方”的配方法流程，就能快速准确求解，是后续解复杂一元二次方程的基础。
【难度系数】
0.8
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题思路如下：首先回忆配方法的操作步骤，先将一元二次方程的常数项移到等号右侧，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧整理为完全平方式，最后把得到的配方结果和题目给出的$(x+m)^2=7$对比，即可求出常数$m$的值。
【解析】
解：对原方程$x^2 -4x -3=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 -4x = 3$
2. 配方，一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，在方程两边同时加4，得：
$x^2 -4x +4 = 3 +4$
3. 等号左侧利用完全平方公式整理，右侧计算得：
$(x-2)^2=7$
题目给出配方结果为$(x+m)^2=7$，对比可得$x-2 = x+(-2)$，因此$m=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心考查配方法的操作步骤，只要熟练掌握“移项、凑完全平方”的配方法流程，就能快速准确求解，是后续解复杂一元二次方程的基础。
【难度系数】
0.8
6. 用配方法解下列一元二次方程：
(1) $x^2 + 8x - 9 = 0$；
(2) $x^2 - 2x - 24 = 0$；
(3) $x^2 + 7 = -6x$；
(4) $x^2 + 3 = -2\sqrt{6}x$。
(1) $x^2 + 8x - 9 = 0$；
(2) $x^2 - 2x - 24 = 0$；
(3) $x^2 + 7 = -6x$；
(4) $x^2 + 3 = -2\sqrt{6}x$。
答案
6. (1) $x_1=1,x_2=-9$ (2) $x_1=6,x_2=-4$ (3) $x_1=-3+\sqrt{2},x_2=-3-\sqrt{2}$ (4) $x_1=-\sqrt{6}+\sqrt{3},x_2=-\sqrt{6}-\sqrt{3}$
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程的核心思路是将方程转化为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，再用直接开平方法求解。通用步骤为：①移项，将常数项移到等号右侧，含未知数的项留在左侧；②若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1（本题4个方程二次项系数均为1，可省略该步）；③配方，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式；④当右侧常数非负时，直接开平方得到两个一元一次方程，求解即可得到原方程的根。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2 + 8x = 9$，
配方，两边同时加$4^2=16$，得$x^2 + 8x + 16 = 9 + 16$，
即$(x + 4)^2 = 25$，
开平方，得$x + 4 = ±5$，
即$x + 4 = 5$或$x + 4 = -5$，
解得$x_1 = 1$，$x_2 = -9$。
(2) 移项，得$x^2 - 2x = 24$，
配方，两边同时加$(-1)^2=1$，得$x^2 - 2x + 1 = 24 + 1$，
即$(x - 1)^2 = 25$，
开平方，得$x - 1 = ±5$，
即$x - 1 = 5$或$x - 1 = -5$，
解得$x_1 = 6$，$x_2 = -4$。
(3) 移项整理，得$x^2 + 6x = -7$，
配方，两边同时加$3^2=9$，得$x^2 + 6x + 9 = -7 + 9$，
即$(x + 3)^2 = 2$，
开平方，得$x + 3 = ±\sqrt{2}$，
即$x + 3 = \sqrt{2}$或$x + 3 = -\sqrt{2}$，
解得$x_1 = -3 + \sqrt{2}$，$x_2 = -3 - \sqrt{2}$。
(4) 移项整理，得$x^2 + 2\sqrt{6}x = -3$，
配方，两边同时加$(\sqrt{6})^2=6$，得$x^2 + 2\sqrt{6}x + 6 = -3 + 6$，
即$(x + \sqrt{6})^2 = 3$，
开平方，得$x + \sqrt{6} = ±\sqrt{3}$，
即$x + \sqrt{6} = \sqrt{3}$或$x + \sqrt{6} = -\sqrt{3}$，
解得$x_1 = -\sqrt{6} + \sqrt{3}$，$x_2 = -\sqrt{6} - \sqrt{3}$。
【答案】
(1) $x_1=1,x_2=-9$；(2) $x_1=6,x_2=-4$；(3) $x_1=-3+\sqrt{2},x_2=-3-\sqrt{2}$；(4) $x_1=-\sqrt{6}+\sqrt{3},x_2=-\sqrt{6}-\sqrt{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根的性质
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤，注意移项时要变号，配方时等号两边需同时加一次项系数一半的平方，开平方时不要遗漏负根。
【难度系数】
0.75
用配方法解一元二次方程的核心思路是将方程转化为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，再用直接开平方法求解。通用步骤为：①移项，将常数项移到等号右侧，含未知数的项留在左侧；②若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1（本题4个方程二次项系数均为1，可省略该步）；③配方，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式；④当右侧常数非负时，直接开平方得到两个一元一次方程，求解即可得到原方程的根。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2 + 8x = 9$，
配方，两边同时加$4^2=16$，得$x^2 + 8x + 16 = 9 + 16$，
即$(x + 4)^2 = 25$，
开平方，得$x + 4 = ±5$，
即$x + 4 = 5$或$x + 4 = -5$，
解得$x_1 = 1$，$x_2 = -9$。
(2) 移项，得$x^2 - 2x = 24$，
配方，两边同时加$(-1)^2=1$，得$x^2 - 2x + 1 = 24 + 1$，
即$(x - 1)^2 = 25$，
开平方，得$x - 1 = ±5$，
即$x - 1 = 5$或$x - 1 = -5$，
解得$x_1 = 6$，$x_2 = -4$。
(3) 移项整理，得$x^2 + 6x = -7$，
配方，两边同时加$3^2=9$，得$x^2 + 6x + 9 = -7 + 9$，
即$(x + 3)^2 = 2$，
开平方，得$x + 3 = ±\sqrt{2}$，
即$x + 3 = \sqrt{2}$或$x + 3 = -\sqrt{2}$，
解得$x_1 = -3 + \sqrt{2}$，$x_2 = -3 - \sqrt{2}$。
(4) 移项整理，得$x^2 + 2\sqrt{6}x = -3$，
配方，两边同时加$(\sqrt{6})^2=6$，得$x^2 + 2\sqrt{6}x + 6 = -3 + 6$，
即$(x + \sqrt{6})^2 = 3$，
开平方，得$x + \sqrt{6} = ±\sqrt{3}$，
即$x + \sqrt{6} = \sqrt{3}$或$x + \sqrt{6} = -\sqrt{3}$，
解得$x_1 = -\sqrt{6} + \sqrt{3}$，$x_2 = -\sqrt{6} - \sqrt{3}$。
【答案】
(1) $x_1=1,x_2=-9$；(2) $x_1=6,x_2=-4$；(3) $x_1=-3+\sqrt{2},x_2=-3-\sqrt{2}$；(4) $x_1=-\sqrt{6}+\sqrt{3},x_2=-\sqrt{6}-\sqrt{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根的性质
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤，注意移项时要变号，配方时等号两边需同时加一次项系数一半的平方，开平方时不要遗漏负根。
【难度系数】
0.75
7. 若关于$x$的一元二次方程$x^2 +6x +c=0$配方后得到方程$(x+3)^2=2c$，则$c$的值为（
A.$-3$
B.$0$
C.$3$
D.$9$
C
）A.$-3$
B.$0$
C.$3$
D.$9$
答案
7. C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以用两种常见思路求解：思路一：先对给定的一元二次方程按照配方法的标准步骤配方，再将得到的配方结果和题目给出的$(x+3)^2=2c$对照，建立关于$c$的一元一次方程求解；思路二：将题目给出的配方后的方程展开为一元二次方程的一般形式，和原方程对比常数项，建立关于$c$的方程求解，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
我们以配方法为例求解：
1. 对原方程$x^2 +6x +c=0$进行配方，先移项得：$x^2 + 6x = -c$
2. 方程两边同时加一次项系数一半的平方，一次项系数为6，一半是3，平方为9，得：
$x^2 + 6x +9 = 9 - c$
3. 左边写成完全平方形式：$(x+3)^2 = 9 - c$
4. 结合题意配方后方程为$(x+3)^2=2c$，因此两个等式右边相等：
$9 - c = 2c$
5. 移项合并同类项得$3c=9$，解得$c=3$
【答案】
C
【知识点】
配方法；一元二次方程系数对应
【点评】
本题属于基础题型，主要考查配方法在一元二次方程中的应用，只要熟练掌握配方法的操作步骤，或是理解一元二次方程对应项系数相等的性质即可顺利解题，计算时注意移项要变号，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以用两种常见思路求解：思路一：先对给定的一元二次方程按照配方法的标准步骤配方，再将得到的配方结果和题目给出的$(x+3)^2=2c$对照，建立关于$c$的一元一次方程求解；思路二：将题目给出的配方后的方程展开为一元二次方程的一般形式，和原方程对比常数项，建立关于$c$的方程求解，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
我们以配方法为例求解：
1. 对原方程$x^2 +6x +c=0$进行配方，先移项得：$x^2 + 6x = -c$
2. 方程两边同时加一次项系数一半的平方，一次项系数为6，一半是3，平方为9，得：
$x^2 + 6x +9 = 9 - c$
3. 左边写成完全平方形式：$(x+3)^2 = 9 - c$
4. 结合题意配方后方程为$(x+3)^2=2c$，因此两个等式右边相等：
$9 - c = 2c$
5. 移项合并同类项得$3c=9$，解得$c=3$
【答案】
C
【知识点】
配方法；一元二次方程系数对应
【点评】
本题属于基础题型，主要考查配方法在一元二次方程中的应用，只要熟练掌握配方法的操作步骤，或是理解一元二次方程对应项系数相等的性质即可顺利解题，计算时注意移项要变号，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
8. 方程$x^2 + 4x = 2$的正根为（
A.$x=2-\sqrt{6}$
B.$x=2+\sqrt{6}$
C.$x=-2-\sqrt{6}$
D.$x=-2+\sqrt{6}$
D
）A.$x=2-\sqrt{6}$
B.$x=2+\sqrt{6}$
C.$x=-2-\sqrt{6}$
D.$x=-2+\sqrt{6}$
答案
8. D
解析
【分析】
要得到方程的正根，首先需要求解这个一元二次方程，再从根中选出值为正的即可。本题二次项系数为1，一次项系数为偶数，优先选用配方法求解更简便：先对左边配方转化为完全平方式，再开方得到两个根，最后判断根的正负选出符合要求的正根，也可先通过正根的性质排除部分错误选项，提高解题效率。
【解析】
解法一：配方法求解
1. 配方：方程两边同时加4，得$x^2+4x+4=2+4$，整理为完全平方式：$\boldsymbol{(x+2)^2=6}$；
2. 开方：两边同时开平方，得$x+2=\pm\sqrt{6}$；
3. 求根：移项得$x=-2\pm\sqrt{6}$，即方程的两个根为$x_1=-2+\sqrt{6}$，$x_2=-2-\sqrt{6}$；
4. 筛选正根：$\sqrt{6}\approx2.45$，因此$-2+\sqrt{6}\approx0.45＞0$，是正根；$-2-\sqrt{6}＜0$，是负根，因此正根为$x=-2+\sqrt{6}$。
解法二：排除法快速验证
正根满足$x＞0$：
A选项$2-\sqrt{6}\approx2-2.45＜0$，为负根，排除；
B选项$2+\sqrt{6}$代入原方程，左边为$(2+\sqrt{6})^2+4(2+\sqrt{6})=18+8\sqrt{6}≠2$，不是方程的根，排除；
C选项$-2-\sqrt{6}＜0$，为负根，排除；
因此符合要求的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，根的正负判断，无理数估算
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过规范解方程直接得到结果，也可以结合正根的性质用排除法快速选出答案，解题时要注意配方时等式两边需同时加相同的数，开平方不要遗漏正负号，判断根的正负时可通过估算无理数的近似值快速验证。
【难度系数】
0.8
要得到方程的正根，首先需要求解这个一元二次方程，再从根中选出值为正的即可。本题二次项系数为1，一次项系数为偶数，优先选用配方法求解更简便：先对左边配方转化为完全平方式，再开方得到两个根，最后判断根的正负选出符合要求的正根，也可先通过正根的性质排除部分错误选项，提高解题效率。
【解析】
解法一：配方法求解
1. 配方：方程两边同时加4，得$x^2+4x+4=2+4$，整理为完全平方式：$\boldsymbol{(x+2)^2=6}$；
2. 开方：两边同时开平方，得$x+2=\pm\sqrt{6}$；
3. 求根：移项得$x=-2\pm\sqrt{6}$，即方程的两个根为$x_1=-2+\sqrt{6}$，$x_2=-2-\sqrt{6}$；
4. 筛选正根：$\sqrt{6}\approx2.45$，因此$-2+\sqrt{6}\approx0.45＞0$，是正根；$-2-\sqrt{6}＜0$，是负根，因此正根为$x=-2+\sqrt{6}$。
解法二：排除法快速验证
正根满足$x＞0$：
A选项$2-\sqrt{6}\approx2-2.45＜0$，为负根，排除；
B选项$2+\sqrt{6}$代入原方程，左边为$(2+\sqrt{6})^2+4(2+\sqrt{6})=18+8\sqrt{6}≠2$，不是方程的根，排除；
C选项$-2-\sqrt{6}＜0$，为负根，排除；
因此符合要求的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，根的正负判断，无理数估算
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过规范解方程直接得到结果，也可以结合正根的性质用排除法快速选出答案，解题时要注意配方时等式两边需同时加相同的数，开平方不要遗漏正负号，判断根的正负时可通过估算无理数的近似值快速验证。
【难度系数】
0.8
9. 三角形的两边长分别为2和6，第三边的长是方程$x^2 -10x +21=0$的解，则第三边的长为（
A.7
B.3
C.7或3
D.无法确定
A
）A.7
B.3
C.7或3
D.无法确定
答案
9. A
解析
【分析】
本题需结合一元二次方程的求解和三角形三边关系两个知识点解题。第一步先求解一元二次方程得到第三边的可能取值，第二步根据三角形“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”的性质，对得到的解进行验证，排除不符合条件的解，即可得到正确答案。
【解析】
1. 求解一元二次方程$x^2 -10x +21=0$，使用因式分解法将方程变形为：
$(x-3)(x-7)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=7$，即第三边的长可能为3或7。
2. 结合三角形三边关系验证：
若第三边长为3，此时三角形三边长为2、3、6，$2+3=5＜6$，不满足两边之和大于第三边的要求，故舍去3；
若第三边长为7，此时三角形三边长为2、6、7，$2+6=8＞7$，$6-2=4＜7$，符合三角形三边关系。
因此第三边的长为7。
【答案】
A
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程 2. 三角形三边关系
【点评】
本题属于基础易错题，解题时容易忽略三角形三边关系的隐含限制，直接选取方程的所有解导致错选，做题时要注意结合题目的实际场景对结果进行检验取舍。
【难度系数】
0.7
本题需结合一元二次方程的求解和三角形三边关系两个知识点解题。第一步先求解一元二次方程得到第三边的可能取值，第二步根据三角形“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”的性质，对得到的解进行验证，排除不符合条件的解，即可得到正确答案。
【解析】
1. 求解一元二次方程$x^2 -10x +21=0$，使用因式分解法将方程变形为：
$(x-3)(x-7)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=7$，即第三边的长可能为3或7。
2. 结合三角形三边关系验证：
若第三边长为3，此时三角形三边长为2、3、6，$2+3=5＜6$，不满足两边之和大于第三边的要求，故舍去3；
若第三边长为7，此时三角形三边长为2、6、7，$2+6=8＞7$，$6-2=4＜7$，符合三角形三边关系。
因此第三边的长为7。
【答案】
A
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程 2. 三角形三边关系
【点评】
本题属于基础易错题，解题时容易忽略三角形三边关系的隐含限制，直接选取方程的所有解导致错选，做题时要注意结合题目的实际场景对结果进行检验取舍。
【难度系数】
0.7
