10. 如果$(a^2 + b^2 + 1)(a^2 + b^2 - 1) = 63$，那么$a^2 + b^2$的值为 （）

A.8
B.-8
C.8或-8
D.7或-9

10. A

【分析】
首先观察等式左边的结构，两个因式中都包含相同的整体$a^2 + b^2$，且两个因式分别是该整体加1、减1，完全符合平方差公式的特征。解题时可先将$a^2 + b^2$看作一个整体，利用平方差公式展开等式，得到关于这个整体的一元二次方程，求解后还要注意：平方数具有非负性，$a^2$和$b^2$都大于等于0，因此它们的和也一定是非负数，需要舍去不符合条件的负根，就能得到正确结果。
【解析】
设$x = a^2 + b^2$，
∵$a^2 ≥ 0$，$b^2 ≥ 0$，
∴$x ≥ 0$，
原等式可变形为：$(x+1)(x-1) = 63$，
根据平方差公式展开得：$x^2 - 1 = 63$，
整理得：$x^2 = 64$，
解得：$x_1 = 8$，$x_2 = -8$，
∵$x ≥ 0$，
∴$x = -8$不符合题意，舍去，
∴$a^2 + b^2 = 8$。
【答案】
A
【知识点】
整体代换思想，平方差公式，平方的非负性
【点评】
本题解题的核心是运用整体代换简化计算，需特别注意结合平方的非负性对求出的解进行取舍，避免忽略隐含条件导致多选错误。
【难度系数】
0.7

11. 若一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$的两个根分别是$2m+1$与$m-4$，则$\frac{b}{a}=$.

11. 9

【分析】
首先对一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$变形可得$x^2=\frac{b}{a}$，根据平方根的性质可知，该方程的两个根互为相反数，即两根之和为0。我们可以利用这个性质先列方程求出$m$的值，再代入根的表达式求出根的平方，即可得到$\frac{b}{a}$的值。
【解析】
1. 对方程$ax^2 = b(ab＞0)$变形：
两边同时除以$a$（$ab＞0$说明$a≠0$），得$x^2=\frac{b}{a}$。
根据平方根的定义，该方程的两个根互为相反数，即两根之和为0。
2. 列方程求$m$：
已知两根为$2m+1$和$m-4$，则：
$(2m+1)+(m-4)=0$
合并同类项得$3m-3=0$，解得$m=1$。
3. 求$\frac{b}{a}$的值：
将$m=1$代入根的表达式，得两根分别为$2×1+1=3$，$1-4=-3$。
因此$x^2=3^2=9$，即$\frac{b}{a}=9$。
【答案】
9
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；相反数的性质；平方根的定义
【点评】
本题考查直接开平方法解一元二次方程的应用，解题的关键是掌握直接开平方类一元二次方程的根互为相反数的特点，通过列方程求出参数后即可计算结果，属于基础题型。
【难度系数】
0.7

12. 对于实数$ p $、$ q $，我们用符号$\min\{p,q\}$表示$ p $、$ q $两数中较小的数，如$\min\{1,2\}=1$，$\min\{-2,-3\}=-3$. 若$\min\{(x+1)^2,x^2\}=1$，则$ x=\_\_\_\_\_\_ $.

12. 1或-2

【分析】
首先要理解新定义$\min\{p,q\}$的含义，即取p、q中较小的数。本题中$\min\{(x+1)^2,x^2\}=1$，说明两个式子中较小的那个值为1，因此需要先判断$(x+1)^2$和$x^2$的大小关系，分情况讨论：先求出两式相等时x的取值，以此为分界点分情况列出方程求解，最后检验所得的解是否符合对应情况的取值范围，舍去不符合的解即可。
【解析】
第一步：先求$(x+1)^2 = x^2$时x的值：
展开得：$x^2 + 2x + 1 = x^2$，
化简得：$2x + 1 = 0$，解得$x = -\frac{1}{2}$。
此时$\min\{(x+1)^2,x^2\} = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} ≠ 1$，故$x = -\frac{1}{2}$不符合题意。
第二步：分情况讨论：
① 当$x ＜ -\frac{1}{2}$时，$(x+1)^2 ＜ x^2$，此时$\min\{(x+1)^2,x^2\} = (x+1)^2 = 1$，
解方程$(x+1)^2 = 1$，开方得$x+1 = \pm 1$，
即$x+1=1$时$x=0$，$x+1=-1$时$x=-2$。
结合前提$x ＜ -\frac{1}{2}$，舍去$x=0$，保留$x=-2$。
② 当$x ＞ -\frac{1}{2}$时，$x^2 ＜ (x+1)^2$，此时$\min\{(x+1)^2,x^2\} = x^2 = 1$，
解方程$x^2 = 1$，得$x = \pm 1$。
结合前提$x ＞ -\frac{1}{2}$，舍去$x=-1$，保留$x=1$。
综上，x的值为1或-2。
【答案】
1或-2
【知识点】
新定义运算，一元二次方程的解法，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的求解，解题的关键是根据两个代数式的大小关系正确分类，求解后要注意检验解是否符合对应分类的取值范围，避免出现增根或漏解的情况。
【难度系数】
0.6

13. 解下列方程：
(1) $5(1-x)^2=125$；
(2) $\frac{2}{3}(x+1)^2 -6=0$；
(3) $(2y-1)^2=6-4y$；
(4) $x(2x+1)=x+2$；
(5) $(y+12)(y-12)-25=0$；
(6) $(2x-1)^2=(3-x)^2$。

13. (1) $x_1=6,x_2=-4$ (2) $x_1=2,x_2=-4$ (3) $y_1=\frac{\sqrt{5}}{2},y_2=-\frac{\sqrt{5}}{2}$ (4) $x_1=1,x_2=-1$ (5) $y_1=13,y_2=-13$ (6) $x_1=\frac{4}{3},x_2=-2$

【分析】
这组题目是一元二次方程的求解，解题时优先观察方程的结构特征选择简便解法：①形如$a(x+m)^2=n$（$a≠0,n≥0$）的方程可直接用开平方法求解；②可整理为平方差、完全平方形式，或可移项提取公因式的方程优先用因式分解法；③没有简便特征的可先整理为一般式再求解，注意开平方时不要漏负根，移项要变号。
【解析】
(1) $5(1-x)^2=125$
两边同时除以5，得：$(1-x)^2=25$
开平方，得：$1-x=\pm5$
当$1-x=5$时，$x=-4$；当$1-x=-5$时，$x=6$
$\therefore x_1=6,x_2=-4$
(2) $\frac{2}{3}(x+1)^2 -6=0$
移项，得：$\frac{2}{3}(x+1)^2=6$
两边同时乘$\frac{3}{2}$，得：$(x+1)^2=9$
开平方，得：$x+1=\pm3$
当$x+1=3$时，$x=2$；当$x+1=-3$时，$x=-4$
$\therefore x_1=2,x_2=-4$
(3) $(2y-1)^2=6-4y$
展开左边并移项，得：$4y^2-4y+1-6+4y=0$
合并同类项，得：$4y^2-5=0$
变形得：$y^2=\frac{5}{4}$
开平方，得：$y=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$
$\therefore y_1=\frac{\sqrt{5}}{2},y_2=-\frac{\sqrt{5}}{2}$
(4) $x(2x+1)=x+2$
展开左边，得：$2x^2+x=x+2$
移项合并同类项，得：$2x^2-2=0$
变形得：$x^2=1$
开平方，得：$x=\pm1$
$\therefore x_1=1,x_2=-1$
(5) $(y+12)(y-12)-25=0$
利用平方差公式展开，得：$y^2-144-25=0$
整理得：$y^2=169$
开平方，得：$y=\pm13$
$\therefore y_1=13,y_2=-13$
(6) $(2x-1)^2=(3-x)^2$
移项，得：$(2x-1)^2-(3-x)^2=0$
利用平方差公式因式分解，得：$(2x-1+3-x)(2x-1-3+x)=0$
化简，得：$(x+2)(3x-4)=0$
令$x+2=0$，得$x=-2$；令$3x-4=0$，得$x=\frac{4}{3}$
$\therefore x_1=\frac{4}{3},x_2=-2$
【答案】
(1) $x_1=6,x_2=-4$；(2) $x_1=2,x_2=-4$；(3) $y_1=\frac{\sqrt{5}}{2},y_2=-\frac{\sqrt{5}}{2}$；(4) $x_1=1,x_2=-1$；(5) $y_1=13,y_2=-13$；(6) $x_1=\frac{4}{3},x_2=-2$
【知识点】
一元二次方程解法，直接开平方法，因式分解法
【点评】
本组题目为一元二次方程的基础求解训练，解题时优先选择简便解法可大幅提升计算效率和准确率，需注意开平方时不要遗漏负根，移项、因式分解时要保证变形的正确性。
【难度系数】
0.8

14. 阅读材料:对实数$a,b$,定义$F(a,b)$的含义为:$F(a,b)=\begin{cases} a+b & (a＜b), \\ a-b & (a≥ b). \end{cases}$例如:$F(2,3)=2+3=5,F(3,2)=3-2=1$.
根据以上材料,回答下列问题:
(1) 若$F(x^2,-1)=5$,求$x$的值;
(2) 已知$m+n=10$,且$m＞n$,求$F(4,m)-F(5,n)$的值.

14. 解:(1) 由题知,因为$x^2＞-1$,则由$F(x^2,-1)=5$得,$x^2-(-1)=5$,解得$x=\pm2$;
(2) $\because m+n=10$,且$m＞n$,$\therefore m＞5$,$n＜5$,则$F(4,m)-F(5,n)=4+m-(5-n)=4+m-5+n=m+n-1=9$.

【分析】
（1）解决第一问首先要判断$x^2$和$-1$的大小关系：任意实数的平方均为非负数，即$x^2≥0＞-1$，因此符合定义中$a≥ b$的运算规则，代入规则列方程求解即可得到$x$的值。
（2）解决第二问首先根据已知$m＞n$且$m+n=10$，可推导出$m＞5$，$n＜5$，再分别判断$F(4,m)$、$F(5,n)$对应的运算规则，代入后化简，最后将$m+n=10$整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：(1) $\because x^2≥0$，$\therefore x^2＞-1$，
根据$F(a,b)$的定义，当$a≥ b$时$F(a,b)=a-b$，
$\therefore F(x^2,-1)=x^2 - (-1)=5$，
即$x^2=4$，解得$x=\pm2$。
(2) $\because m＞n$，且$m+n=10$，
$\therefore m＞5$，$n＜5$，
$\therefore 4＜m$，符合$a＜b$的运算规则，即$F(4,m)=4+m$，
$5＞n$，符合$a≥ b$的运算规则，即$F(5,n)=5 - n$，
$\therefore F(4,m)-F(5,n)=4+m-(5-n)=4+m-5+n=m+n-1$，
将$m+n=10$代入，得原式$=10-1=9$。
【答案】
(1) $x=\pm2$；(2) $9$
【知识点】
新定义运算，解一元二次方程，代数式求值
【点评】
本题属于新定义运算类题型，核心考查对新规则的理解与应用能力，解题的关键是先准确判断运算中两个数的大小关系，再对应选择运算公式，第二问需要结合已知条件推导参数范围，涉及整体代入的思想，能有效考查学生的知识迁移能力。
【难度系数】
0.7

15. 已知一元二次方程$(x-3)^2=1$的两个解恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，求△ABC的周长.

15. 解:解方程$(x-3)^2=1$,得$x_1=4,x_2=2$. $\because$ 一元二次方程$(x-3)^2=1$的两个解恰好分别是等腰三角形$ABC$的底边长和腰长,$\therefore$ 分两种情况讨论:① 当底边长和腰长分别为4和2时,$4=2+2$,此时不能构成三角形;② 当底边长和腰长分别是2和4时,$2+4＞4$,可以构成三角形. $\therefore △ ABC$的周长为$2+4+4=10$.

【分析】
解题时首先需要先求解给定的一元二次方程，得到两个根，这两个根分别对应等腰三角形的底边长和腰长，由于不确定哪个根是底、哪个根是腰，因此需要分两种情况分类讨论；接下来根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），判断每种情况是否能构成三角形，排除不符合要求的情况；最后对符合条件的情况计算三角形的周长即可。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
对$(x-3)^2=1$两边直接开平方，得$x-3=\pm1$，
解得$x_1=3+1=4$，$x_2=3-1=2$。
2. 结合等腰三角形性质分类讨论，验证三边关系：
已知方程的两个解是等腰$△ ABC$的底边长和腰长，分两种情况分析：
① 当底边长为4，腰长为2时，三角形三边长为4、2、2，
$\because 2+2=4$，不满足三角形任意两边之和大于第三边，$\therefore$ 该情况不能构成三角形，舍去；
② 当底边长为2，腰长为4时，三角形三边长为2、4、4，
$\because 2+4＞4$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
3. 计算周长：
此时$△ ABC$的周长为$2+4+4=10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程的解法、等腰三角形的性质、三角形三边关系
【点评】
本题是方程与几何结合的基础综合题，解题核心是合理运用分类讨论思想，同时要注意必须用三角形三边关系验证所得的边长组合，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7