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1. 方程$x^2 -4=0$的解是 （
A.$x=2$
B.$x=-2$
C.$x=\pm2$
D.$x=\pm4$
C
）A.$x=2$
B.$x=-2$
C.$x=\pm2$
D.$x=\pm4$
答案
1. C
解析
【分析】
本题可通过观察方程特征选择合适的解法求解。首先观察到方程仅含二次项和常数项，无一次项，适合用直接开平方法解题。解题思路为：先移项将常数项移到等号右侧，得到$x^2=$常数的形式，再根据平方根的性质开平方求出方程的解，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解方程$x^2 -4=0$：
第一步，移项，得：$x^2=4$
第二步，两边同时开平方，根据正数的平方根有两个且互为相反数，得：$x=\pm\sqrt{4}$
化简得$x=\pm2$，即方程的解为$x=\pm2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心考查直接开平方法的应用，解题时需注意正数开平方有两个结果，避免漏写负根导致错选。
【难度系数】
0.9
本题可通过观察方程特征选择合适的解法求解。首先观察到方程仅含二次项和常数项，无一次项，适合用直接开平方法解题。解题思路为：先移项将常数项移到等号右侧，得到$x^2=$常数的形式，再根据平方根的性质开平方求出方程的解，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解方程$x^2 -4=0$：
第一步，移项，得：$x^2=4$
第二步，两边同时开平方，根据正数的平方根有两个且互为相反数，得：$x=\pm\sqrt{4}$
化简得$x=\pm2$，即方程的解为$x=\pm2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心考查直接开平方法的应用，解题时需注意正数开平方有两个结果，避免漏写负根导致错选。
【难度系数】
0.9
2. 如果关于$x$的方程$(x-4)^2 = m -1$可以用直接开平方法求解，那么$m$的取值范围是（
A.$m≥1$
B.$m＞1$
C.$m＞-1$
D.$m≥-1$
A
）A.$m≥1$
B.$m＞1$
C.$m＞-1$
D.$m≥-1$
答案
2. A
解析
【分析】
要判断能用直接开平方法求解的方程中参数的取值范围，首先要明确直接开平方法的适用要求：形如$a^2 = b$的方程，只有当$b$为非负数时才有实数解，因为任意实数的平方都大于等于0。本题中方程左边是$(x-4)^2$，属于完全平方式，其值恒大于等于0，因此右边的$m-1$也必须满足大于等于0的条件，解这个不等式就能得到$m$的取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$(x-4)^2 = m -1$可以用直接开平方法求解，
根据平方的非负性，完全平方式的值恒大于等于0，
∴ 等号右侧的代数式需满足：$m -1 ≥ 0$，
移项解得：$m ≥ 1$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 平方的非负性
【点评】
本题是基础概念题，重点考查直接开平方法的适用前提，解题核心是掌握完全平方式的非负性，熟练掌握相关性质即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
要判断能用直接开平方法求解的方程中参数的取值范围，首先要明确直接开平方法的适用要求：形如$a^2 = b$的方程，只有当$b$为非负数时才有实数解，因为任意实数的平方都大于等于0。本题中方程左边是$(x-4)^2$，属于完全平方式，其值恒大于等于0，因此右边的$m-1$也必须满足大于等于0的条件，解这个不等式就能得到$m$的取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$(x-4)^2 = m -1$可以用直接开平方法求解，
根据平方的非负性，完全平方式的值恒大于等于0，
∴ 等号右侧的代数式需满足：$m -1 ≥ 0$，
移项解得：$m ≥ 1$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 平方的非负性
【点评】
本题是基础概念题，重点考查直接开平方法的适用前提，解题核心是掌握完全平方式的非负性，熟练掌握相关性质即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
3. 方程$(x+1)^2=9$的根是
$x_1=2,x_2=-4$
.答案
3. $x_1=2,x_2=-4$
解析
【分析】
本题适合用直接开平方法求解。观察方程结构，左边是关于x的一次式的完全平方，右边是正的常数，根据平方根的定义，若$a^2=b$（$b\ge0$），则$a=\pm\sqrt{b}$，因此可以先对等式两边开平方，将二次方程降为一次方程，再分别求解两个一次方程即可得到原方程的根，注意开平方时不要漏解负的情况。
【解析】
解：对原方程$(x+1)^2=9$两边直接开平方，得
$x+1=\pm3$
即$x+1=3$ 或 $x+1=-3$
当$x+1=3$时，解得$x=2$；
当$x+1=-3$时，解得$x=-4$。
【答案】
$x_1=2,x_2=-4$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，掌握平方根的性质是解题的关键，计算时注意不要漏解即可。
【难度系数】
0.9
本题适合用直接开平方法求解。观察方程结构，左边是关于x的一次式的完全平方，右边是正的常数，根据平方根的定义，若$a^2=b$（$b\ge0$），则$a=\pm\sqrt{b}$，因此可以先对等式两边开平方，将二次方程降为一次方程，再分别求解两个一次方程即可得到原方程的根，注意开平方时不要漏解负的情况。
【解析】
解：对原方程$(x+1)^2=9$两边直接开平方，得
$x+1=\pm3$
即$x+1=3$ 或 $x+1=-3$
当$x+1=3$时，解得$x=2$；
当$x+1=-3$时，解得$x=-4$。
【答案】
$x_1=2,x_2=-4$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，掌握平方根的性质是解题的关键，计算时注意不要漏解即可。
【难度系数】
0.9
4. 已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程$(x-5)^2 -9=0$的一个根，
则三角形的周长为
则三角形的周长为
18
。答案
4. 18
解析
【分析】
解题时需要分三步思考：第一步先求解一元二次方程，得到第三边的两个可能取值；第二步根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），对两个根进行验证，排除不能构成三角形的取值；第三步将符合条件的第三边长度代入，计算三角形的周长即可。
【解析】
1. 解一元二次方程：
对$(x-5)^2 -9=0$移项得：$(x-5)^2=9$
开平方得：$x-5=\pm3$
解得：$x_1=8$，$x_2=2$
2. 验证能否构成三角形：
若第三边长为2：此时三边长为2、4、6，因为$2+4=6$，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去该值；
若第三边长为8：此时三边长为4、6、8，因为$4+6＞8$，$4+8＞6$，$6+8＞4$，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
3. 计算周长：
三角形周长为$4+6+8=18$
【答案】
18
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 三角形三边关系
3. 三角形周长计算
【点评】
本题是一元二次方程与三角形性质的基础综合题，易错点是解出方程的根后，忽略验证三边能否构成三角形，直接代入计算得到错误结果，解题时要注意题目中的隐含限制条件。
【难度系数】
0.7
解题时需要分三步思考：第一步先求解一元二次方程，得到第三边的两个可能取值；第二步根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），对两个根进行验证，排除不能构成三角形的取值；第三步将符合条件的第三边长度代入，计算三角形的周长即可。
【解析】
1. 解一元二次方程：
对$(x-5)^2 -9=0$移项得：$(x-5)^2=9$
开平方得：$x-5=\pm3$
解得：$x_1=8$，$x_2=2$
2. 验证能否构成三角形：
若第三边长为2：此时三边长为2、4、6，因为$2+4=6$，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去该值；
若第三边长为8：此时三边长为4、6、8，因为$4+6＞8$，$4+8＞6$，$6+8＞4$，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
3. 计算周长：
三角形周长为$4+6+8=18$
【答案】
18
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 三角形三边关系
3. 三角形周长计算
【点评】
本题是一元二次方程与三角形性质的基础综合题，易错点是解出方程的根后，忽略验证三边能否构成三角形，直接代入计算得到错误结果，解题时要注意题目中的隐含限制条件。
【难度系数】
0.7
5. 若关于$x$的一元二次方程$(2a + 6)x^2 + 4x + 2a^2 - 18 = 0$的一个根是0，则$a=$
3
。答案
5. 3
解析
【分析】
解题时首先明确两个核心条件：一是该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是x=0是方程的根，代入方程可使等式成立。解题思路为：先将x=0代入原方程求出a的所有可能取值，再结合一元二次方程二次项系数不为0的要求，排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
∵ 原方程是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$2a + 6 ≠ 0$，解得$a ≠ -3$
∵ $x=0$是方程的一个根，将$x=0$代入原方程得：
$2a^2 - 18 = 0$
移项得：$2a^2 = 18$
化简得：$a^2 = 9$
解得：$a = 3$或$a = -3$
结合$a ≠ -3$的条件，舍去$a=-3$
∴ $a = 3$
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程的定义、方程的根的定义、解一元二次方程
【点评】
本题属于基础易错题，解题的关键是不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，避免未排除增根导致出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确两个核心条件：一是该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是x=0是方程的根，代入方程可使等式成立。解题思路为：先将x=0代入原方程求出a的所有可能取值，再结合一元二次方程二次项系数不为0的要求，排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
∵ 原方程是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$2a + 6 ≠ 0$，解得$a ≠ -3$
∵ $x=0$是方程的一个根，将$x=0$代入原方程得：
$2a^2 - 18 = 0$
移项得：$2a^2 = 18$
化简得：$a^2 = 9$
解得：$a = 3$或$a = -3$
结合$a ≠ -3$的条件，舍去$a=-3$
∴ $a = 3$
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程的定义、方程的根的定义、解一元二次方程
【点评】
本题属于基础易错题，解题的关键是不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，避免未排除增根导致出错。
【难度系数】
0.7
6. 解下列方程：
(1) $y^2 - 121 = 0$；
(2) $(x - 1)^2 = 4$；
(3) $(x + 3)^2 - 12 = 69$；
(4) $(2x + 1)^2 - 32 = 0$。
(1) $y^2 - 121 = 0$；
(2) $(x - 1)^2 = 4$；
(3) $(x + 3)^2 - 12 = 69$；
(4) $(2x + 1)^2 - 32 = 0$。
答案
6. (1) $y_1=11,y_2=-11$ (2) $x_1=3,x_2=-1$ (3) $x_1=6,x_2=-12$ (4) $x_1=-\frac{1}{2}+2\sqrt{2},x_2=-\frac{1}{2}-2\sqrt{2}$
解析
【分析】
这4道题都适合用直接开平方法求解，解题思路为：先将方程整理为“完全平方式=非负常数”的形式，再根据平方根的定义对两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的两个根，开平方时注意不要遗漏负根。
【解析】
(1) 移项得：$y^2 = 121$
两边开平方得：$y = \pm\sqrt{121} = \pm11$
即 $y_1=11, y_2=-11$
(2) 两边开平方得：$x - 1 = \pm\sqrt{4} = \pm2$
当$x-1=2$时，解得$x=3$；当$x-1=-2$时，解得$x=-1$
即 $x_1=3, x_2=-1$
(3) 移项合并常数项得：$(x + 3)^2 = 69 + 12 = 81$
两边开平方得：$x + 3 = \pm\sqrt{81} = \pm9$
当$x+3=9$时，解得$x=6$；当$x+3=-9$时，解得$x=-12$
即 $x_1=6, x_2=-12$
(4) 移项得：$(2x + 1)^2 = 32$
两边开平方得：$2x + 1 = \pm\sqrt{32} = \pm4\sqrt{2}$
移项得：$2x = -1 \pm 4\sqrt{2}$
系数化为1得：$x = \frac{-1 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{2} \pm 2\sqrt{2}$
即 $x_1=-\frac{1}{2}+2\sqrt{2}, x_2=-\frac{1}{2}-2\sqrt{2}$
【答案】
(1) $y_1=11,y_2=-11$ (2) $x_1=3,x_2=-1$ (3) $x_1=6,x_2=-12$ (4) $x_1=-\frac{1}{2}+2\sqrt{2},x_2=-\frac{1}{2}-2\sqrt{2}$
【知识点】
直接开平方法，一元二次方程求解，平方根运算
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，核心是掌握将方程变形为完全平方式等于非负常数的形式，开平方时需注意取正负两个值，避免漏根，涉及根式运算时要先化简再计算。
【难度系数】
0.8
这4道题都适合用直接开平方法求解，解题思路为：先将方程整理为“完全平方式=非负常数”的形式，再根据平方根的定义对两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的两个根，开平方时注意不要遗漏负根。
【解析】
(1) 移项得：$y^2 = 121$
两边开平方得：$y = \pm\sqrt{121} = \pm11$
即 $y_1=11, y_2=-11$
(2) 两边开平方得：$x - 1 = \pm\sqrt{4} = \pm2$
当$x-1=2$时，解得$x=3$；当$x-1=-2$时，解得$x=-1$
即 $x_1=3, x_2=-1$
(3) 移项合并常数项得：$(x + 3)^2 = 69 + 12 = 81$
两边开平方得：$x + 3 = \pm\sqrt{81} = \pm9$
当$x+3=9$时，解得$x=6$；当$x+3=-9$时，解得$x=-12$
即 $x_1=6, x_2=-12$
(4) 移项得：$(2x + 1)^2 = 32$
两边开平方得：$2x + 1 = \pm\sqrt{32} = \pm4\sqrt{2}$
移项得：$2x = -1 \pm 4\sqrt{2}$
系数化为1得：$x = \frac{-1 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{2} \pm 2\sqrt{2}$
即 $x_1=-\frac{1}{2}+2\sqrt{2}, x_2=-\frac{1}{2}-2\sqrt{2}$
【答案】
(1) $y_1=11,y_2=-11$ (2) $x_1=3,x_2=-1$ (3) $x_1=6,x_2=-12$ (4) $x_1=-\frac{1}{2}+2\sqrt{2},x_2=-\frac{1}{2}-2\sqrt{2}$
【知识点】
直接开平方法，一元二次方程求解，平方根运算
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，核心是掌握将方程变形为完全平方式等于非负常数的形式，开平方时需注意取正负两个值，避免漏根，涉及根式运算时要先化简再计算。
【难度系数】
0.8
7. 有一个面积为27 m²的长方形，将它的长缩短3 m，宽增加3 m，恰好变成一个正方形。求这个正方形的边长。
答案
7. 解:设这个正方形的边长为$x$ m. 根据题意,列方程得$(x+3)(x-3)=27$,解得$x_1=6,x_2=-6＜0$(不合题意,舍去). $\therefore$ 这个正方形的边长为6 m.
解析
【分析】
解题时首先设正方形的边长为未知数，根据边长的变化关系反推原长方形的长和宽：原长方形的长是正方形边长加3m（长缩短3m后变为正方形边长），原长方形的宽是正方形边长减3m（宽增加3m后变为正方形边长）。再结合“原长方形面积为27m²”的条件，利用长方形面积公式列方程求解，最后根据边长为正数的实际要求，舍去不合题意的根即可。
【解析】
解：设这个正方形的边长为$x$ m，则原长方形的长为$(x+3)$ m，宽为$(x-3)$ m。
根据长方形面积公式列方程：
$\begin{aligned}(x+3)(x-3)&=27\\x^2-9&=27\\x^2&=36\\x&=\pm6\end{aligned}$
其中$x_2=-6＜0$，不符合边长为正数的实际意义，故舍去。
【答案】
6 m
【知识点】
一元二次方程的应用，一元二次方程的解法，长方形面积计算
【点评】
本题是方程实际应用的基础题，解题关键是梳理清楚图形边长变化前后的对应关系，找准等量关系列方程，求解后要注意结合实际场景检验根的合理性，排除不符合现实意义的解。
【难度系数】
0.8
解题时首先设正方形的边长为未知数，根据边长的变化关系反推原长方形的长和宽：原长方形的长是正方形边长加3m（长缩短3m后变为正方形边长），原长方形的宽是正方形边长减3m（宽增加3m后变为正方形边长）。再结合“原长方形面积为27m²”的条件，利用长方形面积公式列方程求解，最后根据边长为正数的实际要求，舍去不合题意的根即可。
【解析】
解：设这个正方形的边长为$x$ m，则原长方形的长为$(x+3)$ m，宽为$(x-3)$ m。
根据长方形面积公式列方程：
$\begin{aligned}(x+3)(x-3)&=27\\x^2-9&=27\\x^2&=36\\x&=\pm6\end{aligned}$
其中$x_2=-6＜0$，不符合边长为正数的实际意义，故舍去。
【答案】
6 m
【知识点】
一元二次方程的应用，一元二次方程的解法，长方形面积计算
【点评】
本题是方程实际应用的基础题，解题关键是梳理清楚图形边长变化前后的对应关系，找准等量关系列方程，求解后要注意结合实际场景检验根的合理性，排除不符合现实意义的解。
【难度系数】
0.8
8. 已知一元二次方程$a(x+m)^2 + n = 0(a≠0)$的两根分别为－4和3，则方程$a(x+m-1)^2 + n = 0(a≠0)$的两根分别为（
A.2和－5
B.－3和4
C.3和－4
D.－2和5
B
）A.2和－5
B.－3和4
C.3和－4
D.－2和5
答案
8. B
解析
【分析】
本题可通过整体代换（换元）的思路求解：观察两个方程的结构，发现第二个方程可看作将第一个方程中的x替换为x-1得到，因此可令t=x-1，将第二个方程转化为与已知方程形式完全相同的方程，先求出t的取值，再反推x的值即可得到所求方程的根。也可结合二次函数图象平移的规律，图象向右平移1个单位，对应方程的根也向右平移1个单位，直接计算得到结果。
【解析】
已知一元二次方程$a(x+m)^2 + n = 0(a≠0)$的两根为-4和3，即当x=-4或x=3时该等式成立。
对于方程$a(x+m-1)^2 + n = 0(a≠0)$，令$t = x - 1$，则原方程可变形为$a(t + m)^2 + n = 0$。
结合已知条件，该方程的两根为$t=-4$和$t=3$，因此：
当$t=-4$时，$x - 1 = -4$，解得$x = -3$；
当$t=3$时，$x - 1 = 3$，解得$x = 4$。
即方程$a(x+m-1)^2 + n = 0$的两根为-3和4。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义，换元法解方程，函数图象平移性质
【点评】
本题侧重考察整体代换的数学思想，无需展开方程进行复杂计算，只要抓住两个方程的结构共性，运用换元法或者图象平移规律就能快速解题，是考察一元二次方程相关性质的典型基础题。
【难度系数】
0.7
本题可通过整体代换（换元）的思路求解：观察两个方程的结构，发现第二个方程可看作将第一个方程中的x替换为x-1得到，因此可令t=x-1，将第二个方程转化为与已知方程形式完全相同的方程，先求出t的取值，再反推x的值即可得到所求方程的根。也可结合二次函数图象平移的规律，图象向右平移1个单位，对应方程的根也向右平移1个单位，直接计算得到结果。
【解析】
已知一元二次方程$a(x+m)^2 + n = 0(a≠0)$的两根为-4和3，即当x=-4或x=3时该等式成立。
对于方程$a(x+m-1)^2 + n = 0(a≠0)$，令$t = x - 1$，则原方程可变形为$a(t + m)^2 + n = 0$。
结合已知条件，该方程的两根为$t=-4$和$t=3$，因此：
当$t=-4$时，$x - 1 = -4$，解得$x = -3$；
当$t=3$时，$x - 1 = 3$，解得$x = 4$。
即方程$a(x+m-1)^2 + n = 0$的两根为-3和4。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义，换元法解方程，函数图象平移性质
【点评】
本题侧重考察整体代换的数学思想，无需展开方程进行复杂计算，只要抓住两个方程的结构共性，运用换元法或者图象平移规律就能快速解题，是考察一元二次方程相关性质的典型基础题。
【难度系数】
0.7
9. 如图,根据小丽与AI的对话,AI在深度思考后,给出的正确答案是 （
A.$-2$
B.$\pm2$
C.$\pm1$
D.$1$
A
）A.$-2$
B.$\pm2$
C.$\pm1$
D.$1$
答案
9. A
解析
【分析】
首先我们可以通过设未知数的方法将文字描述转化为数学方程求解：第一步先设这个数为x，第二步根据题目给出的运算关系分别表示出等号左右两边的式子：左边是“平方加3倍”即$x^2+3x$，右边是“相反数减4”即$-x-4$，第三步列出方程后整理为标准一元二次方程，再求解方程即可得到这个数。
【解析】
设这个数为$ x $，根据题意可列方程：
$ x^2 + 3x = -x - 4 $
移项整理得：
$ x^2 + 4x + 4 = 0 $
利用完全平方公式因式分解得：
$ (x + 2)^2 = 0 $
解得：$ x_1 = x_2 = -2 $
因此这个数是$-2$。
【答案】
A
【知识点】
列一元二次方程；因式分解法解方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查将文字信息转化为数学方程的转化能力，以及一元二次方程的求解能力，只要准确理解题意列出方程，即可快速算出结果。
【难度系数】
0.7
首先我们可以通过设未知数的方法将文字描述转化为数学方程求解：第一步先设这个数为x，第二步根据题目给出的运算关系分别表示出等号左右两边的式子：左边是“平方加3倍”即$x^2+3x$，右边是“相反数减4”即$-x-4$，第三步列出方程后整理为标准一元二次方程，再求解方程即可得到这个数。
【解析】
设这个数为$ x $，根据题意可列方程：
$ x^2 + 3x = -x - 4 $
移项整理得：
$ x^2 + 4x + 4 = 0 $
利用完全平方公式因式分解得：
$ (x + 2)^2 = 0 $
解得：$ x_1 = x_2 = -2 $
因此这个数是$-2$。
【答案】
A
【知识点】
列一元二次方程；因式分解法解方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查将文字信息转化为数学方程的转化能力，以及一元二次方程的求解能力，只要准确理解题意列出方程，即可快速算出结果。
【难度系数】
0.7
