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10. 某农场要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙长18 m），墙对面有一个2 m宽的门（EF），另外三边用木栅栏围成，木栅栏长30 m. 若养鸡场面积为120 m²，设AB=x m，则列方程得
$x(30+2-2x)=120$
.答案
10. $x(30+2-2x)=120$
解析
【分析】
解题时首先明确AB为垂直于墙的边长，我们需要先表示出平行于墙的边长，再结合长方形面积公式列方程。首先，两个垂直于墙的边长度均为x m，因此两个边共占用栅栏长度2x m；剩余栅栏都用于平行于墙的一侧，该侧有2m宽的门无需栅栏，因此平行于墙的实际边长 = 平行于墙侧的栅栏长度 + 门的宽度，最后根据长方形面积=长×宽的等量关系即可列出方程。
【解析】
设AB的长度为x m，可知垂直于墙的两条边总长为2x m。
平行于墙一侧的栅栏长度为：$30-2x$ m，
由于该侧有2m宽的门，无需安装栅栏，因此平行于墙的实际边长为：$(30-2x+2)$ m，
已知养鸡场面积为120 m²，根据长方形面积=长×宽，代入得：
$x(30+2-2x)=120$
【答案】
$x(30+2-2x)=120$
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 长方形面积计算
【点评】
本题属于方程实际应用的基础题型，解题的核心是正确表示出平行于墙的边长，需注意门的宽度不需要占用栅栏长度，避免漏加门宽导致边长表示错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确AB为垂直于墙的边长，我们需要先表示出平行于墙的边长，再结合长方形面积公式列方程。首先，两个垂直于墙的边长度均为x m，因此两个边共占用栅栏长度2x m；剩余栅栏都用于平行于墙的一侧，该侧有2m宽的门无需栅栏，因此平行于墙的实际边长 = 平行于墙侧的栅栏长度 + 门的宽度，最后根据长方形面积=长×宽的等量关系即可列出方程。
【解析】
设AB的长度为x m，可知垂直于墙的两条边总长为2x m。
平行于墙一侧的栅栏长度为：$30-2x$ m，
由于该侧有2m宽的门，无需安装栅栏，因此平行于墙的实际边长为：$(30-2x+2)$ m，
已知养鸡场面积为120 m²，根据长方形面积=长×宽，代入得：
$x(30+2-2x)=120$
【答案】
$x(30+2-2x)=120$
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 长方形面积计算
【点评】
本题属于方程实际应用的基础题型，解题的核心是正确表示出平行于墙的边长，需注意门的宽度不需要占用栅栏长度，避免漏加门宽导致边长表示错误。
【难度系数】
0.7
11. 若关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的一根为$x=2025$，则关于$x$的方程$a(x+2)^2 + bx = -2b - c$的一根为
$x=2023$
。答案
11. $x=2023$
解析
【分析】
首先利用一元二次方程根的定义，可知将x=2025代入原方程$ax^2+bx+c=0$时等式成立，得到$a·2025^2 + b·2025 + c=0$。接下来将待求方程变形，整理为和原方程结构完全相同的形式，再通过整体代换的方法，将$x+2$看作整体对应原方程的未知数$x$，即可快速求出新方程的根。
【解析】
1. 根据一元二次方程根的定义，把$x=2025$代入$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，可得：
$a×2025^2 + b×2025 + c = 0$
2. 整理待求方程$a(x+2)^2 + bx = -2b - c$：
移项，将右侧所有项移到左侧，得：
$a(x+2)^2 + bx + 2b + c = 0$
对含$b$的项提取公因式，变形为：
$a(x+2)^2 + b(x+2) + c = 0$
3. 观察变形后的方程，若将$x+2$看作一个整体，该式与原方程$ax^2+bx+c=0$结构完全一致。已知原方程的一个根为2025，因此可得：
$x+2 = 2025$
解得：$x = 2025 - 2 = 2023$
【答案】
$x=2023$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 整体代换思想
【点评】
本题重点考查一元二次方程根的定义的灵活运用，不需要展开计算待求方程，只需通过变形构造出与已知方程同结构的式子，利用整体代换即可快速求解，是一元二次方程相关题型中的常用技巧。
【难度系数】
0.6
首先利用一元二次方程根的定义，可知将x=2025代入原方程$ax^2+bx+c=0$时等式成立，得到$a·2025^2 + b·2025 + c=0$。接下来将待求方程变形，整理为和原方程结构完全相同的形式，再通过整体代换的方法，将$x+2$看作整体对应原方程的未知数$x$，即可快速求出新方程的根。
【解析】
1. 根据一元二次方程根的定义，把$x=2025$代入$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，可得：
$a×2025^2 + b×2025 + c = 0$
2. 整理待求方程$a(x+2)^2 + bx = -2b - c$：
移项，将右侧所有项移到左侧，得：
$a(x+2)^2 + bx + 2b + c = 0$
对含$b$的项提取公因式，变形为：
$a(x+2)^2 + b(x+2) + c = 0$
3. 观察变形后的方程，若将$x+2$看作一个整体，该式与原方程$ax^2+bx+c=0$结构完全一致。已知原方程的一个根为2025，因此可得：
$x+2 = 2025$
解得：$x = 2025 - 2 = 2023$
【答案】
$x=2023$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 整体代换思想
【点评】
本题重点考查一元二次方程根的定义的灵活运用，不需要展开计算待求方程，只需通过变形构造出与已知方程同结构的式子，利用整体代换即可快速求解，是一元二次方程相关题型中的常用技巧。
【难度系数】
0.6
12. 把下列关于x的一元二次方程化成一般形式，再写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)$(x-4)(x+1)=12$；
(2)$(x-2)(x+2)-2x^2=4x-3$；
(3)$3x(x+3)=2(x-2)$；
(4)$4(x-1)^2=(x-2)^2$.
(1)$(x-4)(x+1)=12$；
(2)$(x-2)(x+2)-2x^2=4x-3$；
(3)$3x(x+3)=2(x-2)$；
(4)$4(x-1)^2=(x-2)^2$.
答案
12. (1) $x^2-3x-16=0$,它的二次项系数为1、一次项系数为$-3$、常数项为$-16$
(2) $-x^2-4x-1=0$,它的二次项系数为$-1$、一次项系数为$-4$、常数项为$-1$
(3) $3x^2+7x+4=0$,它的二次项系数为3、一次项系数为7、常数项为4
(4) $3x^2-4x=0$,它的二次项系数为3、一次项系数为$-4$、常数项为0
(2) $-x^2-4x-1=0$,它的二次项系数为$-1$、一次项系数为$-4$、常数项为$-1$
(3) $3x^2+7x+4=0$,它的二次项系数为3、一次项系数为7、常数项为4
(4) $3x^2-4x=0$,它的二次项系数为3、一次项系数为$-4$、常数项为0
解析
【分析】
要将一元二次方程化为一般形式，首先明确一元二次方程的通用一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。解题思路为：先通过去括号、乘法公式展开去掉式子中的括号，再将所有项移到方程左侧，右侧化为0，最后合并同类项得到标准一般形式，再对应提取各项系数即可，注意系数需包含前面的正负号，常数项为0时不能忽略。
【解析】
(1) 先展开左侧乘积：
$(x-4)(x+1)=x^2+x-4x-4=x^2-3x-4$
原方程转化为$x^2-3x-4=12$，移项得：
$x^2-3x-4-12=0$
合并同类项得一般形式：$x^2-3x-16=0$
对应得二次项系数为1，一次项系数为$-3$，常数项为$-16$。
(2) 先用平方差公式展开$(x-2)(x+2)=x^2-4$，原方程转化为：
$x^2-4-2x^2=4x-3$
将右侧项移到左侧并变号得：
$x^2-4-2x^2-4x+3=0$
合并同类项得一般形式：$-x^2-4x-1=0$
对应得二次项系数为$-1$，一次项系数为$-4$，常数项为$-1$。
(3) 先去括号：左侧$3x(x+3)=3x^2+9x$，右侧$2(x-2)=2x-4$，原方程转化为：
$3x^2+9x=2x-4$
将右侧项移到左侧并变号得：
$3x^2+9x-2x+4=0$
合并同类项得一般形式：$3x^2+7x+4=0$
对应得二次项系数为3，一次项系数为7，常数项为4。
(4) 先用完全平方公式展开两侧：
左侧$4(x-1)^2=4(x^2-2x+1)=4x^2-8x+4$
右侧$(x-2)^2=x^2-4x+4$
原方程转化为$4x^2-8x+4=x^2-4x+4$，将右侧项移到左侧并变号得：
$4x^2-8x+4-x^2+4x-4=0$
合并同类项得一般形式：$3x^2-4x=0$
对应得二次项系数为3，一次项系数为$-4$，常数项为0。
【答案】
(1) $x^2-3x-16=0$,它的二次项系数为1、一次项系数为$-3$、常数项为$-16$
(2) $-x^2-4x-1=0$,它的二次项系数为$-1$、一次项系数为$-4$、常数项为$-1$
(3) $3x^2+7x+4=0$,它的二次项系数为3、一次项系数为7、常数项为4
(4) $3x^2-4x=0$,它的二次项系数为3、一次项系数为$-4$、常数项为0
【知识点】
1. 一元二次方程一般形式 2. 整式乘法运算 3. 等式基本性质
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考查一般形式的化简方法，解题时需注意去括号、移项过程中的符号变化，提取各项系数时不要遗漏正负号，不要忽略常数项为0的情况。
【难度系数】
0.85
要将一元二次方程化为一般形式，首先明确一元二次方程的通用一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。解题思路为：先通过去括号、乘法公式展开去掉式子中的括号，再将所有项移到方程左侧，右侧化为0，最后合并同类项得到标准一般形式，再对应提取各项系数即可，注意系数需包含前面的正负号，常数项为0时不能忽略。
【解析】
(1) 先展开左侧乘积：
$(x-4)(x+1)=x^2+x-4x-4=x^2-3x-4$
原方程转化为$x^2-3x-4=12$，移项得：
$x^2-3x-4-12=0$
合并同类项得一般形式：$x^2-3x-16=0$
对应得二次项系数为1，一次项系数为$-3$，常数项为$-16$。
(2) 先用平方差公式展开$(x-2)(x+2)=x^2-4$，原方程转化为：
$x^2-4-2x^2=4x-3$
将右侧项移到左侧并变号得：
$x^2-4-2x^2-4x+3=0$
合并同类项得一般形式：$-x^2-4x-1=0$
对应得二次项系数为$-1$，一次项系数为$-4$，常数项为$-1$。
(3) 先去括号：左侧$3x(x+3)=3x^2+9x$，右侧$2(x-2)=2x-4$，原方程转化为：
$3x^2+9x=2x-4$
将右侧项移到左侧并变号得：
$3x^2+9x-2x+4=0$
合并同类项得一般形式：$3x^2+7x+4=0$
对应得二次项系数为3，一次项系数为7，常数项为4。
(4) 先用完全平方公式展开两侧：
左侧$4(x-1)^2=4(x^2-2x+1)=4x^2-8x+4$
右侧$(x-2)^2=x^2-4x+4$
原方程转化为$4x^2-8x+4=x^2-4x+4$，将右侧项移到左侧并变号得：
$4x^2-8x+4-x^2+4x-4=0$
合并同类项得一般形式：$3x^2-4x=0$
对应得二次项系数为3，一次项系数为$-4$，常数项为0。
【答案】
(1) $x^2-3x-16=0$,它的二次项系数为1、一次项系数为$-3$、常数项为$-16$
(2) $-x^2-4x-1=0$,它的二次项系数为$-1$、一次项系数为$-4$、常数项为$-1$
(3) $3x^2+7x+4=0$,它的二次项系数为3、一次项系数为7、常数项为4
(4) $3x^2-4x=0$,它的二次项系数为3、一次项系数为$-4$、常数项为0
【知识点】
1. 一元二次方程一般形式 2. 整式乘法运算 3. 等式基本性质
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考查一般形式的化简方法，解题时需注意去括号、移项过程中的符号变化，提取各项系数时不要遗漏正负号，不要忽略常数项为0的情况。
【难度系数】
0.85
13. 根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.
(1) 4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
(2) 一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边长相差2，求较长的直角边长x；
(3) 一块长方形铁皮的长为4 dm，宽为3 dm，在四角各截去一个面积相等的正方形，做成一个无盖的长方体盒子，要使盒子的底面积是原来铁皮面积的一半.设盒子的高为x dm；
(4) 在一幅长8 dm、宽6 dm的矩形风景画(如图①)的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图(如图②)，要使整幅挂图的面积是80 dm².设金色纸边的宽为x dm.
(1) 4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
(2) 一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边长相差2，求较长的直角边长x；
(3) 一块长方形铁皮的长为4 dm，宽为3 dm，在四角各截去一个面积相等的正方形，做成一个无盖的长方体盒子，要使盒子的底面积是原来铁皮面积的一半.设盒子的高为x dm；
(4) 在一幅长8 dm、宽6 dm的矩形风景画(如图①)的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图(如图②)，要使整幅挂图的面积是80 dm².设金色纸边的宽为x dm.
答案
13. 解:(1) $4x^2=25\ \ 4x^2-25=0$
(2) $x^2+(x-2)^2=10^2\ \ 2x^2-4x-96=0$
(3) $(4-2x)(3-2x)=4×3×\frac{1}{2}\ \ 4x^2-14x+6=0$
(4) $(2x+6)(2x+8)=80\ \ 4x^2+28x-32=0$
(2) $x^2+(x-2)^2=10^2\ \ 2x^2-4x-96=0$
(3) $(4-2x)(3-2x)=4×3×\frac{1}{2}\ \ 4x^2-14x+6=0$
(4) $(2x+6)(2x+8)=80\ \ 4x^2+28x-32=0$
解析
【分析】
解题时首先明确每道题的等量关系，再结合未知数$x$表示相关量，列出方程后整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$即可：
(1) 等量关系为4个正方形的面积之和=25，单个正方形面积为$x^2$，据此列方程后移项整理；
(2) 等量关系为直角三角形两条直角边的平方和=斜边的平方，较长直角边为$x$，则较短直角边为$x-2$，结合勾股定理列方程，再展开合并同类项整理；
(3) 等量关系为无盖长方体盒子的底面积=原长方形铁皮面积的$\frac{1}{2}$，盒子的高为$x$，则底面长为$4-2x$、宽为$3-2x$，据此列方程后展开整理；
(4) 等量关系为整幅矩形挂图的面积=$80dm^2$，金色纸边宽为$x$，则挂图的长为$8+2x$、宽为$6+2x$，据此列方程后展开整理。
【解析】
(1) 4个正方形面积和为25，列方程得：
$4x^2=25$
移项化为一般形式：$4x^2 - 25 = 0$
(2) 较长直角边长为$x$，则较短直角边长为$x-2$，由勾股定理列方程得：
$x^2 + (x-2)^2 = 10^2$
展开得$x^2 + x^2 -4x +4 = 100$，合并同类项、移项化为一般形式：$2x^2 -4x -96 = 0$
(3) 盒子的高为$x$，则底面长为$4-2x$，宽为$3-2x$，根据底面积关系列方程得：
$(4-2x)(3-2x) = 4×3×\frac{1}{2}$
展开左边得$12 - 14x +4x^2 = 6$，移项合并同类项化为一般形式：$4x^2 -14x +6 = 0$
(4) 金色纸边宽为$x$，则挂图的长为$8+2x$，宽为$6+2x$，根据面积关系列方程得：
$(2x+8)(2x+6) = 80$
展开左边得$4x^2 +28x +48 = 80$，移项合并同类项化为一般形式：$4x^2 +28x -32 = 0$
【答案】
(1) 方程：$4x^2=25$，一般形式：$4x^2-25=0$
(2) 方程：$x^2+(x-2)^2=10^2$，一般形式：$2x^2-4x-96=0$
(3) 方程：$(4-2x)(3-2x)=4×3×\frac{1}{2}$，一般形式：$4x^2-14x+6=0$
(4) 方程：$(2x+6)(2x+8)=80$，一般形式：$4x^2+28x-32=0$
【知识点】
列方程解应用题；一元二次方程的一般形式；几何图形面积计算
【点评】
本题为基础题型，解题核心是结合实际场景准确找到等量关系列方程，再将方程整理为一元二次方程的一般形式，解题时需要注意：截去正方形、镶纸边时图形两侧都有长度变化，不要漏乘2。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确每道题的等量关系，再结合未知数$x$表示相关量，列出方程后整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$即可：
(1) 等量关系为4个正方形的面积之和=25，单个正方形面积为$x^2$，据此列方程后移项整理；
(2) 等量关系为直角三角形两条直角边的平方和=斜边的平方，较长直角边为$x$，则较短直角边为$x-2$，结合勾股定理列方程，再展开合并同类项整理；
(3) 等量关系为无盖长方体盒子的底面积=原长方形铁皮面积的$\frac{1}{2}$，盒子的高为$x$，则底面长为$4-2x$、宽为$3-2x$，据此列方程后展开整理；
(4) 等量关系为整幅矩形挂图的面积=$80dm^2$，金色纸边宽为$x$，则挂图的长为$8+2x$、宽为$6+2x$，据此列方程后展开整理。
【解析】
(1) 4个正方形面积和为25，列方程得：
$4x^2=25$
移项化为一般形式：$4x^2 - 25 = 0$
(2) 较长直角边长为$x$，则较短直角边长为$x-2$，由勾股定理列方程得：
$x^2 + (x-2)^2 = 10^2$
展开得$x^2 + x^2 -4x +4 = 100$，合并同类项、移项化为一般形式：$2x^2 -4x -96 = 0$
(3) 盒子的高为$x$，则底面长为$4-2x$，宽为$3-2x$，根据底面积关系列方程得：
$(4-2x)(3-2x) = 4×3×\frac{1}{2}$
展开左边得$12 - 14x +4x^2 = 6$，移项合并同类项化为一般形式：$4x^2 -14x +6 = 0$
(4) 金色纸边宽为$x$，则挂图的长为$8+2x$，宽为$6+2x$，根据面积关系列方程得：
$(2x+8)(2x+6) = 80$
展开左边得$4x^2 +28x +48 = 80$，移项合并同类项化为一般形式：$4x^2 +28x -32 = 0$
【答案】
(1) 方程：$4x^2=25$，一般形式：$4x^2-25=0$
(2) 方程：$x^2+(x-2)^2=10^2$，一般形式：$2x^2-4x-96=0$
(3) 方程：$(4-2x)(3-2x)=4×3×\frac{1}{2}$，一般形式：$4x^2-14x+6=0$
(4) 方程：$(2x+6)(2x+8)=80$，一般形式：$4x^2+28x-32=0$
【知识点】
列方程解应用题；一元二次方程的一般形式；几何图形面积计算
【点评】
本题为基础题型，解题核心是结合实际场景准确找到等量关系列方程，再将方程整理为一元二次方程的一般形式，解题时需要注意：截去正方形、镶纸边时图形两侧都有长度变化，不要漏乘2。
【难度系数】
0.8
14. 关于$x$的方程$(m^2 -8m +19)x^2 -2mx -13=0$是否一定是一元二次方程？甲、乙两同学对此有不同意见.
甲认为:原方程中二次项系数与$m$有关,可能为0,所以不能确定这个方程就是一元二次方程；
乙认为:原方程中二次项系数$m^2 -8m +19$肯定不会等于0,所以可以确定这个方程一定是一元二次方程.
你认为甲、乙两同学的意见哪个正确？证明你的结论.
甲认为:原方程中二次项系数与$m$有关,可能为0,所以不能确定这个方程就是一元二次方程；
乙认为:原方程中二次项系数$m^2 -8m +19$肯定不会等于0,所以可以确定这个方程一定是一元二次方程.
你认为甲、乙两同学的意见哪个正确？证明你的结论.
答案
14. 解:乙正确.证明:$\because m^2-8m+19=m^2-8m+16+3=(m-4)^2+3≥3$,$\therefore$ 不可能等于0.$\therefore$ 可以确定这个方程一定是一元二次方程.$\therefore$ 乙正确.
解析
【分析】
要判断该方程是否一定是一元二次方程，核心依据是一元二次方程的定义：需满足二次项系数不为0。因此解题关键是判断二次项系数$m^2 -8m +19$是否可能等于0。我们可以通过配方法对这个二次三项式变形，再结合偶次方的非负性判断它的取值范围，就能得出结论。
【解析】
乙的意见正确，证明如下：
对二次项系数配方可得：
$m^2-8m+19=m^2-8m+16+3=(m-4)^2+3$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$(m-4)^2≥0$
∴ $(m-4)^2 +3≥ 0+3=3＞0$
即二次项系数$m^2 -8m +19$恒大于0，不可能等于0，满足一元二次方程对二次项系数的要求。
∴ 原方程一定是一元二次方程，乙的意见正确。
【答案】
乙同学的意见正确，该方程一定是一元二次方程。
【知识点】
一元二次方程的定义；配方法的应用；偶次方的非负性
【点评】
本题考查一元二次方程的判定，解题核心是抓住“二次项系数不为0”这一关键条件，通过配方法将代数式转化为完全平方加常数的形式，结合非负性判断取值即可，属于基础概念的应用类题目。
【难度系数】
0.8
要判断该方程是否一定是一元二次方程，核心依据是一元二次方程的定义：需满足二次项系数不为0。因此解题关键是判断二次项系数$m^2 -8m +19$是否可能等于0。我们可以通过配方法对这个二次三项式变形，再结合偶次方的非负性判断它的取值范围，就能得出结论。
【解析】
乙的意见正确，证明如下：
对二次项系数配方可得：
$m^2-8m+19=m^2-8m+16+3=(m-4)^2+3$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$(m-4)^2≥0$
∴ $(m-4)^2 +3≥ 0+3=3＞0$
即二次项系数$m^2 -8m +19$恒大于0，不可能等于0，满足一元二次方程对二次项系数的要求。
∴ 原方程一定是一元二次方程，乙的意见正确。
【答案】
乙同学的意见正确，该方程一定是一元二次方程。
【知识点】
一元二次方程的定义；配方法的应用；偶次方的非负性
【点评】
本题考查一元二次方程的判定，解题核心是抓住“二次项系数不为0”这一关键条件，通过配方法将代数式转化为完全平方加常数的形式，结合非负性判断取值即可，属于基础概念的应用类题目。
【难度系数】
0.8
