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1. 下列方程中，一定是关于$x$的一元二次方程的是 （
A.$x^2 -2x -3=0$
B.$2x^2 - y -1=0$
C.$x^2 -x(x+7)=0$
D.$ax^2 +bx +c=0$
A
）A.$x^2 -2x -3=0$
B.$2x^2 - y -1=0$
C.$x^2 -x(x+7)=0$
D.$ax^2 +bx +c=0$
答案
1. A
解析
【分析】
要判断是否为一元二次方程，需紧扣一元二次方程的四个判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不为0。解题时逐个对照选项，先化简方程再结合条件判断即可。
【解析】
一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，同时二次项系数不能为0。
选项A：$x^2 -2x -3=0$，仅含未知数$x$，最高次数为2，是整式方程，二次项系数为1≠0，符合一元二次方程的定义；
选项B：方程中含有$x$和$y$两个未知数，属于二元二次方程，不符合要求；
选项C：先化简方程：$x^2 -x(x+7)=x^2 -x^2 -7x=-7x=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求；
选项D：未说明$a≠0$，若$a=0$时方程最高次数不足2，不是一元二次方程，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；整式方程识别；方程化简
【点评】
本题核心考查对一元二次方程定义的掌握，解题时需注意先将方程化为最简形式再判断次数，同时要牢记一元二次方程中二次项系数不为0的隐含条件，避免误判D选项。
【难度系数】
0.8
要判断是否为一元二次方程，需紧扣一元二次方程的四个判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不为0。解题时逐个对照选项，先化简方程再结合条件判断即可。
【解析】
一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，同时二次项系数不能为0。
选项A：$x^2 -2x -3=0$，仅含未知数$x$，最高次数为2，是整式方程，二次项系数为1≠0，符合一元二次方程的定义；
选项B：方程中含有$x$和$y$两个未知数，属于二元二次方程，不符合要求；
选项C：先化简方程：$x^2 -x(x+7)=x^2 -x^2 -7x=-7x=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求；
选项D：未说明$a≠0$，若$a=0$时方程最高次数不足2，不是一元二次方程，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；整式方程识别；方程化简
【点评】
本题核心考查对一元二次方程定义的掌握，解题时需注意先将方程化为最简形式再判断次数，同时要牢记一元二次方程中二次项系数不为0的隐含条件，避免误判D选项。
【难度系数】
0.8
2. 将方程$7x - 3 = 2x^2$化为一般形式后，常数项为3，则一次项系数为 （
A.7
B.$-7$
C.$7x$
D.$-7x$
B
）A.7
B.$-7$
C.$7x$
D.$-7x$
答案
2. B
解析
【分析】
首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其中$c$是常数项，$b$是一次项系数。解题时先对原方程移项整理，满足题目“常数项为3”的要求，再对应找出一次项系数即可，注意系数包含项前面的符号。
【解析】
已知原方程为$7x - 3 = 2x^2$，将方程整理为常数项是3的一般形式：
移项，把所有项移到等号左侧，右侧为0，得：
$2x^2 - 7x + 3 = 0$
该形式符合一元二次方程一般形式，其中常数项为3，一次项为$-7x$，因此一次项系数为$-7$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 移项变号规则
【点评】
本题属于基础题，易错点是容易忽略一次项系数的符号，或没有按照题目要求整理方程导致常数项不符合要求，解题时要注意明确各项系数的定义，包含符号属性。
【难度系数】
0.8
首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其中$c$是常数项，$b$是一次项系数。解题时先对原方程移项整理，满足题目“常数项为3”的要求，再对应找出一次项系数即可，注意系数包含项前面的符号。
【解析】
已知原方程为$7x - 3 = 2x^2$，将方程整理为常数项是3的一般形式：
移项，把所有项移到等号左侧，右侧为0，得：
$2x^2 - 7x + 3 = 0$
该形式符合一元二次方程一般形式，其中常数项为3，一次项为$-7x$，因此一次项系数为$-7$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 移项变号规则
【点评】
本题属于基础题，易错点是容易忽略一次项系数的符号，或没有按照题目要求整理方程导致常数项不符合要求，解题时要注意明确各项系数的定义，包含符号属性。
【难度系数】
0.8
3. 已知方程$3x^2 - (k - 1)x + 3k + 2 = 0$有一个根是-1，则k的值是（
A.$-3$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$
B
）A.$-3$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$
答案
3. B
解析
【分析】
本题可根据方程根的定义求解。方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，因此已知x=-1是方程的根，只需将x=-1代入原方程，就能得到一个只含未知数k的一元一次方程，解这个方程即可求出k的值。
【解析】
∵ x=-1是方程$3x^2 - (k - 1)x + 3k + 2 = 0$的根
∴ 将x=-1代入方程，等式成立，即：
$3×(-1)^2 - (k-1)×(-1) + 3k + 2 = 0$
计算得：
$3×1 + (k-1) + 3k + 2 = 0$
去括号合并同类项：
$3 + k - 1 + 3k + 2 = 0$
$4k + 4 = 0$
移项得：
$4k = -4$
解得：
$k = -1$
【答案】
B
【知识点】
方程的根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解方程根的含义，代入计算时注意符号运算，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.9
本题可根据方程根的定义求解。方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，因此已知x=-1是方程的根，只需将x=-1代入原方程，就能得到一个只含未知数k的一元一次方程，解这个方程即可求出k的值。
【解析】
∵ x=-1是方程$3x^2 - (k - 1)x + 3k + 2 = 0$的根
∴ 将x=-1代入方程，等式成立，即：
$3×(-1)^2 - (k-1)×(-1) + 3k + 2 = 0$
计算得：
$3×1 + (k-1) + 3k + 2 = 0$
去括号合并同类项：
$3 + k - 1 + 3k + 2 = 0$
$4k + 4 = 0$
移项得：
$4k = -4$
解得：
$k = -1$
【答案】
B
【知识点】
方程的根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解方程根的含义，代入计算时注意符号运算，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.9
4. 已知$(m-1)x^{|m+1|}+3x-5=0$是一元二次方程，则$m=$
-3
.答案
4. -3
解析
【分析】
要确定m的值，需结合一元二次方程的定义思考：一元二次方程需满足两个核心条件，一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们先根据最高次数为2列出关于m的方程，求出m的可能取值，再根据二次项系数不为0排除不符合要求的取值，即可得到最终结果。
【解析】
∵ 方程$(m-1)x^{|m+1|}+3x-5=0$是一元二次方程
∴ 首先满足未知数最高次数为2，即：
$|m+1|=2$
解绝对值方程得：
$m+1=2$ 或 $m+1=-2$
解得 $m=1$ 或 $m=-3$
再满足二次项系数不为0，即：
$m-1≠0$，解得 $m≠1$
综上，排除$m=1$，得$m=-3$
【答案】
-3
【知识点】
1. 一元二次方程的概念
2. 绝对值方程的求解
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题，易错点是容易忽略“二次项系数不为0”这个隐含条件，导致多解。学习相关概念时要注意梳理定义中的限制条件，避免漏判。
【难度系数】
0.7
要确定m的值，需结合一元二次方程的定义思考：一元二次方程需满足两个核心条件，一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们先根据最高次数为2列出关于m的方程，求出m的可能取值，再根据二次项系数不为0排除不符合要求的取值，即可得到最终结果。
【解析】
∵ 方程$(m-1)x^{|m+1|}+3x-5=0$是一元二次方程
∴ 首先满足未知数最高次数为2，即：
$|m+1|=2$
解绝对值方程得：
$m+1=2$ 或 $m+1=-2$
解得 $m=1$ 或 $m=-3$
再满足二次项系数不为0，即：
$m-1≠0$，解得 $m≠1$
综上，排除$m=1$，得$m=-3$
【答案】
-3
【知识点】
1. 一元二次方程的概念
2. 绝对值方程的求解
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题，易错点是容易忽略“二次项系数不为0”这个隐含条件，导致多解。学习相关概念时要注意梳理定义中的限制条件，避免漏判。
【难度系数】
0.7
5. 若关于$x$的一元二次方程$x^2 - ax - 2a + 1 = 0$的二次项系数、一次项系数及常数项之和为$-4$，则$a$的值为
2
。答案
5. 2
解析
【分析】
解题首先要明确一元二次方程各部分系数的定义，先从给定方程中准确找出二次项系数、一次项系数、常数项，注意区分题干中的参数a和一元二次方程一般形式里的二次项系数符号，避免混淆；再根据“三个系数之和为-4”的等量关系，列出关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值，本题二次项系数固定为1，无需额外验证二次项系数不为0的条件。
【解析】
解：一元二次方程$x^2 - ax - 2a + 1 = 0$的二次项系数为1，一次项系数为$-a$，常数项为$-2a+1$。
根据题意，三者之和为$-4$，可列方程：
$1 + (-a) + (-2a + 1) = -4$
化简得：$2 - 3a = -4$
移项计算得：$-3a = -6$
解得：$a=2$
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程的系数识别
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程组成结构的认识，解题关键是准确提取各次项的系数，结合题干给出的等量关系列式计算即可，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确一元二次方程各部分系数的定义，先从给定方程中准确找出二次项系数、一次项系数、常数项，注意区分题干中的参数a和一元二次方程一般形式里的二次项系数符号，避免混淆；再根据“三个系数之和为-4”的等量关系，列出关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值，本题二次项系数固定为1，无需额外验证二次项系数不为0的条件。
【解析】
解：一元二次方程$x^2 - ax - 2a + 1 = 0$的二次项系数为1，一次项系数为$-a$，常数项为$-2a+1$。
根据题意，三者之和为$-4$，可列方程：
$1 + (-a) + (-2a + 1) = -4$
化简得：$2 - 3a = -4$
移项计算得：$-3a = -6$
解得：$a=2$
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程的系数识别
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程组成结构的认识，解题关键是准确提取各次项的系数，结合题干给出的等量关系列式计算即可，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
6. 根据下列问题，列出关于 $ x $ 的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式：
（1）两个连续偶数的积是 120，求这两个数中较小的数；
（2）绿苑小区住宅设计时，准备在每两幢楼房之间，开辟一块面积为 $ 900 \ \mathrm{m}^2 $ 的矩形绿地，并且长比宽多 11 m，那么绿地的长为多少？
（3）某种产品原来成本价是 25 元，后经过技术改进，连续两次降低成本，现在这种产品的成本价仅 16 元，试问平均每次降低成本的百分率为多少？
课后作业 KEHOUZUOYE ★★★★★≡
（1）两个连续偶数的积是 120，求这两个数中较小的数；
（2）绿苑小区住宅设计时，准备在每两幢楼房之间，开辟一块面积为 $ 900 \ \mathrm{m}^2 $ 的矩形绿地，并且长比宽多 11 m，那么绿地的长为多少？
（3）某种产品原来成本价是 25 元，后经过技术改进，连续两次降低成本，现在这种产品的成本价仅 16 元，试问平均每次降低成本的百分率为多少？
课后作业 KEHOUZUOYE ★★★★★≡
答案
6. 解:(1) 设较小的偶数为$x$,则较大的偶数为$x+2$,依题意得$x(x+2)=120$,即$x^2+2x-120=0$；
(2) 设长为$x$ m,宽为$(x-11)$m,依题意得$x(x-11)=900$,即$x^2-11x-900=0$；
(3) 设平均每次降低成本的百分率为$x$,依题意得$25(1-x)^2=16$,即$25x^2-50x+9=0$.
(2) 设长为$x$ m,宽为$(x-11)$m,依题意得$x(x-11)=900$,即$x^2-11x-900=0$；
(3) 设平均每次降低成本的百分率为$x$,依题意得$25(1-x)^2=16$,即$25x^2-50x+9=0$.
解析
【分析】
解决这类问题的通用思路是：①先根据题目所求设出未知数x；②找准对应等量关系：（1）连续偶数相差2，等量关系为“较小偶数×较大偶数=120”；（2）矩形面积公式为长×宽，等量关系为“长×宽=绿地面积”；（3）连续两次降价的变化规律为原价×(1-降价率)²=现价，对应等量关系为“两次降价后的成本=16元”；③将列出的方程展开、移项，整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）即可。
【解析】
（1）设较小的偶数为$x$，则较大的偶数为$x+2$，依题意列方程：
$x(x+2)=120$
化为一般形式：$x^2+2x-120=0$
（2）设绿地的长为$x$ m，则宽为$(x-11)$ m，依题意列方程：
$x(x-11)=900$
化为一般形式：$x^2-11x-900=0$
（3）设平均每次降低成本的百分率为$x$，依题意列方程：
$25(1-x)^2=16$
化为一般形式：$25x^2-50x+9=0$
【答案】
(1) $x^2+2x-120=0$；(2) $x^2-11x-900=0$；(3) $25x^2-50x+9=0$
【知识点】
列方程解应用题、一元二次方程一般形式、变化率问题
【点评】
本题结合不同实际场景，考查提取等量关系、列写一元二次方程并转化为一般形式的能力，属于基础应用类题目，熟练掌握各类常见问题的等量关系是解题核心，也为后续一元二次方程的求解及应用打下基础。
【难度系数】
0.75
解决这类问题的通用思路是：①先根据题目所求设出未知数x；②找准对应等量关系：（1）连续偶数相差2，等量关系为“较小偶数×较大偶数=120”；（2）矩形面积公式为长×宽，等量关系为“长×宽=绿地面积”；（3）连续两次降价的变化规律为原价×(1-降价率)²=现价，对应等量关系为“两次降价后的成本=16元”；③将列出的方程展开、移项，整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）即可。
【解析】
（1）设较小的偶数为$x$，则较大的偶数为$x+2$，依题意列方程：
$x(x+2)=120$
化为一般形式：$x^2+2x-120=0$
（2）设绿地的长为$x$ m，则宽为$(x-11)$ m，依题意列方程：
$x(x-11)=900$
化为一般形式：$x^2-11x-900=0$
（3）设平均每次降低成本的百分率为$x$，依题意列方程：
$25(1-x)^2=16$
化为一般形式：$25x^2-50x+9=0$
【答案】
(1) $x^2+2x-120=0$；(2) $x^2-11x-900=0$；(3) $25x^2-50x+9=0$
【知识点】
列方程解应用题、一元二次方程一般形式、变化率问题
【点评】
本题结合不同实际场景，考查提取等量关系、列写一元二次方程并转化为一般形式的能力，属于基础应用类题目，熟练掌握各类常见问题的等量关系是解题核心，也为后续一元二次方程的求解及应用打下基础。
【难度系数】
0.75
7.（福建中考）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5 m的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6 m²的矩形菜地作为实践基地，如图所示。设矩形的一边长为x m，根据题意可列方程（
A.$5x^2=6$
B.$5(1+x^2)=6$
C.$x(5-x)=6$
D.$5(1+x)^2=6$
C
）A.$5x^2=6$
B.$5(1+x^2)=6$
C.$x(5-x)=6$
D.$5(1+x)^2=6$
答案
7. C
解析
【分析】
解题时首先结合图形明确：该矩形菜地的两条邻边靠直角围墙，因此总长5m的篱笆只需围剩下的两条邻边，两条邻边的长度和为5m。已知其中一条边长为x m，可推出另一条边长为(5-x)m，再结合矩形面积公式即可列出对应方程。
【解析】
由图可知，篱笆仅需围矩形不靠墙的两条邻边，两条边的长度和为5m。
设矩形的一条边长为x m，则另一条边长为$(5 - x)$m。
根据矩形面积公式：面积=长×宽，已知菜地面积为$6\ \mathrm{m}^2$，代入得：
$x(5 - x) = 6$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题结合劳动实践的实际场景出题，解题核心是准确理解篱笆的围合范围，避免误认为篱笆需要围矩形四条边，再结合面积公式即可快速求解，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合图形明确：该矩形菜地的两条邻边靠直角围墙，因此总长5m的篱笆只需围剩下的两条邻边，两条邻边的长度和为5m。已知其中一条边长为x m，可推出另一条边长为(5-x)m，再结合矩形面积公式即可列出对应方程。
【解析】
由图可知，篱笆仅需围矩形不靠墙的两条邻边，两条边的长度和为5m。
设矩形的一条边长为x m，则另一条边长为$(5 - x)$m。
根据矩形面积公式：面积=长×宽，已知菜地面积为$6\ \mathrm{m}^2$，代入得：
$x(5 - x) = 6$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题结合劳动实践的实际场景出题，解题核心是准确理解篱笆的围合范围，避免误认为篱笆需要围矩形四条边，再结合面积公式即可快速求解，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
8. 若关于$x$的一元二次方程$(a+2)x^2 + x + a^2 -4=0$的一个根是$x=0$，则$a$的值为（
A.2
B.$-2$
C.2或$-2$
D.$\frac{1}{2}$
A
）A.2
B.$-2$
C.2或$-2$
D.$\frac{1}{2}$
答案
8. A
解析
【分析】
解题时需结合两个核心条件推导：①根据方程根的定义，把x=0代入原方程可得到关于a的等式，求出a的初步取值；②题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，需要用这个条件排除不符合要求的a值，最终得到正确结果。
【解析】
第一步：将根x=0代入原方程，得：
$(a+2)×0^2 + 0 + a^2 -4 = 0$
化简得：$a^2 -4 = 0$
解得：$a=2$或$a=-2$
第二步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，即：
$a+2 ≠ 0$，即$a ≠ -2$
因此舍去$a=-2$，最终$a=2$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；方程的根的定义
【点评】
本题易错点是忽略一元二次方程二次项系数不为0的限制条件，直接误选C，解题时要注意结合题目的所有限定条件筛选取值。
【难度系数】
0.7
解题时需结合两个核心条件推导：①根据方程根的定义，把x=0代入原方程可得到关于a的等式，求出a的初步取值；②题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，需要用这个条件排除不符合要求的a值，最终得到正确结果。
【解析】
第一步：将根x=0代入原方程，得：
$(a+2)×0^2 + 0 + a^2 -4 = 0$
化简得：$a^2 -4 = 0$
解得：$a=2$或$a=-2$
第二步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，即：
$a+2 ≠ 0$，即$a ≠ -2$
因此舍去$a=-2$，最终$a=2$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；方程的根的定义
【点评】
本题易错点是忽略一元二次方程二次项系数不为0的限制条件，直接误选C，解题时要注意结合题目的所有限定条件筛选取值。
【难度系数】
0.7
9. 若方程$(m^2 - 1)x^2 + \sqrt{m+1}x - 1 = 0$是关于$x$的一元二次方程，则$m$的取值范围是
$m＞-1$且$m≠1$
。答案
9. $m＞-1$且$m≠1$
解析
【分析】
要确定m的取值范围，需结合一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件两个核心限制思考：①一元二次方程要求最高次项为二次，即二次项系数不能为0；②题中一次项系数包含二次根式，需保证二次根式的被开方数非负，最后将两个条件得到的解集取公共部分，同时排除不符合要求的取值即可。
【解析】
解：
∵方程$(m^2 - 1)x^2 + \sqrt{m+1}x - 1 = 0$是关于$x$的一元二次方程，
∴需同时满足两个条件：
1. 二次项系数不为0：$m^2 - 1 ≠ 0$，
解不等式得：$m ≠ 1$且$m ≠ -1$；
2. 二次根式有意义：被开方数非负，即$m + 1 ≥ 0$，
解不等式得：$m ≥ -1$。
结合两个条件，$m ≥ -1$但不能取$m=-1$和$m=1$，因此$m$的取值范围是$m ＞ -1$且$m ≠ 1$。
【答案】
$m＞-1$且$m≠1$
【知识点】
一元二次方程的概念；二次根式的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础常考题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的要求，或者漏考虑二次根式有意义的条件，尤其容易误将$m=-1$纳入取值范围，解题时要把所有限制条件列全后再取公共解集。
【难度系数】
0.7
要确定m的取值范围，需结合一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件两个核心限制思考：①一元二次方程要求最高次项为二次，即二次项系数不能为0；②题中一次项系数包含二次根式，需保证二次根式的被开方数非负，最后将两个条件得到的解集取公共部分，同时排除不符合要求的取值即可。
【解析】
解：
∵方程$(m^2 - 1)x^2 + \sqrt{m+1}x - 1 = 0$是关于$x$的一元二次方程，
∴需同时满足两个条件：
1. 二次项系数不为0：$m^2 - 1 ≠ 0$，
解不等式得：$m ≠ 1$且$m ≠ -1$；
2. 二次根式有意义：被开方数非负，即$m + 1 ≥ 0$，
解不等式得：$m ≥ -1$。
结合两个条件，$m ≥ -1$但不能取$m=-1$和$m=1$，因此$m$的取值范围是$m ＞ -1$且$m ≠ 1$。
【答案】
$m＞-1$且$m≠1$
【知识点】
一元二次方程的概念；二次根式的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础常考题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的要求，或者漏考虑二次根式有意义的条件，尤其容易误将$m=-1$纳入取值范围，解题时要把所有限制条件列全后再取公共解集。
【难度系数】
0.7
