10. 已知点A(4x, $y^2 + 9$)与点B($4x^2 + 1$, $-6y$)关于坐标原点对称，则$2x + y$的值为。

10.2

【分析】
解题思路：第一步，回忆关于原点对称的点的坐标性质：两个点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数；第二步，根据该性质列出关于x、y的方程；第三步，利用配方法求解一元二次方程，得到x、y的值；第四步，将x、y代入2x+y计算即可得到结果。
【解析】
∵ 点A(4x, $y^2 + 9$)与点B($4x^2 + 1$, $-6y$)关于坐标原点对称
∴ 两点的横、纵坐标分别互为相反数，可得：
$\begin{cases}4x + (4x^2 + 1) = 0 \\ (y^2 + 9) + (-6y) = 0\end{cases}$
整理两个方程：
第一个方程：$4x^2 + 4x + 1 = 0$，由完全平方公式得$(2x + 1)^2 = 0$，解得$x = -\frac{1}{2}$
第二个方程：$y^2 - 6y + 9 = 0$，由完全平方公式得$(y - 3)^2 = 0$，解得$y = 3$
将$x = -\frac{1}{2}$，$y = 3$代入$2x + y$得：
$2x + y = 2×(-\frac{1}{2}) + 3 = -1 + 3 = 2$
【答案】
2
【知识点】
1.原点对称点坐标特征
2.配方法解方程
3.完全平方公式
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中点的对称规律和一元二次方程的解法，难度不大，需要熟练掌握对称点的坐标性质，同时灵活运用配方法求解一元二次方程，是几何与代数结合的基础题型。
【难度系数】
0.7

11. 用配方法解下列方程：
(1) $2x^2 -3=5x$；
(2) $3y^2 +2=6y$；
(3) $9y^2 -18y -4=0$；
(4) $(2x -1)(x +3)=4$。

11.(1) $x_1=3$,$x_2=-\dfrac{1}{2}$
(2) $y_1=1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}$,$y_2=1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
(3) $y_1=1+\dfrac{\sqrt{13}}{3}$,$y_2=1-\dfrac{\sqrt{13}}{3}$
(4) $x_1=1$,$x_2=-\dfrac{7}{2}$

【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，再通过开平方求解，通用解题步骤为：①整理方程为一般形式，将常数项移到等号右侧；②将二次项系数化为1；③方程两边同时加一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；④若等号右侧常数非负，开平方即可求出方程的根。本题4个小题均有实根，按上述步骤逐步计算即可。
【解析】
(1) 解方程$2x^2 -3=5x$
移项，得$2x^2 -5x=3$
二次项系数化为1，得$x^2 - \dfrac{5}{2}x = \dfrac{3}{2}$
配方，两边同时加$(\dfrac{5}{4})^2=\dfrac{25}{16}$，得：
$x^2 - \dfrac{5}{2}x + \dfrac{25}{16} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{25}{16}$
即$(x-\dfrac{5}{4})^2=\dfrac{49}{16}$
开平方，得$x-\dfrac{5}{4}=\pm\dfrac{7}{4}$
解得$x_1=\dfrac{5}{4}+\dfrac{7}{4}=3$，$x_2=\dfrac{5}{4}-\dfrac{7}{4}=-\dfrac{1}{2}$
(2) 解方程$3y^2 +2=6y$
移项，得$3y^2 -6y=-2$
二次项系数化为1，得$y^2 -2y=-\dfrac{2}{3}$
配方，两边同时加$1^2=1$，得：
$y^2 -2y +1 = -\dfrac{2}{3} +1$
即$(y-1)^2=\dfrac{1}{3}$
开平方，得$y-1=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
解得$y_1=1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，$y_2=1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
(3) 解方程$9y^2 -18y -4=0$
移项，得$9y^2 -18y=4$
二次项系数化为1，得$y^2 -2y=\dfrac{4}{9}$
配方，两边同时加$1^2=1$，得：
$y^2 -2y +1 = \dfrac{4}{9} +1$
即$(y-1)^2=\dfrac{13}{9}$
开平方，得$y-1=\pm\dfrac{\sqrt{13}}{3}$
解得$y_1=1+\dfrac{\sqrt{13}}{3}$，$y_2=1-\dfrac{\sqrt{13}}{3}$
(4) 解方程$(2x -1)(x +3)=4$
先展开整理方程，得$2x^2 +5x -3=4$
移项，得$2x^2 +5x=7$
二次项系数化为1，得$x^2 + \dfrac{5}{2}x = \dfrac{7}{2}$
配方，两边同时加$(\dfrac{5}{4})^2=\dfrac{25}{16}$，得：
$x^2 + \dfrac{5}{2}x + \dfrac{25}{16} = \dfrac{7}{2} + \dfrac{25}{16}$
即$(x+\dfrac{5}{4})^2=\dfrac{81}{16}$
开平方，得$x+\dfrac{5}{4}=\pm\dfrac{9}{4}$
解得$x_1=-\dfrac{5}{4}+\dfrac{9}{4}=1$，$x_2=-\dfrac{5}{4}-\dfrac{9}{4}=-\dfrac{7}{2}$
【答案】
(1) $x_1=3$,$x_2=-\dfrac{1}{2}$
(2) $y_1=1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}$,$y_2=1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
(3) $y_1=1+\dfrac{\sqrt{13}}{3}$,$y_2=1-\dfrac{\sqrt{13}}{3}$
(4) $x_1=1$,$x_2=-\dfrac{7}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；平方根运算
【点评】
本组题是配方法解一元二次方程的基础训练题，解题时要严格遵循"移项、化1、配方、开方、求解"的流程，注意计算过程中符号处理和分数运算的准确性，熟练掌握配方法也能为后续学习相关知识打下基础。
【难度系数】
0.8

12. 用配方法求解下列问题：
（1）$2x^2 -7x +2$的最小值；
（2）$-3x^2 +5x +1$的最大值。

12. 解:(1) $\because 2x^2 -7x +2=2(x^2-\dfrac{7}{2}x)+2=2(x-\dfrac{7}{4})^2-\dfrac{33}{8}≥-\dfrac{33}{8}$,$\therefore$ 最小值为$-\dfrac{33}{8}$；
(2) $\because -3x^2 +5x +1=-3(x-\dfrac{5}{6})^2+\dfrac{37}{12}≤\dfrac{37}{12}$,$\therefore$ 最大值为$\dfrac{37}{12}$。

【分析】
本题考查用配方法求二次多项式的最值，解题思路如下：①对于二次三项式，首先提取二次项系数，将二次项系数化为1；②对剩余的二次项和一次项进行配方，构造完全平方式，注意加上一次项系数一半的平方后要减去相同的数保证原式值不变；③将式子整理为“a(完全平方式)+常数”的形式，结合完全平方的非负性判断最值：若a＞0，完全平方式最小为0，此时式子取最小值；若a＜0，完全平方式最小为0，此时式子取最大值。
【解析】
(1) 对$2x^2 -7x +2$配方：
先提取二次项系数2，得$2x^2 -7x +2=2(x^2-\dfrac{7}{2}x)+2$
对括号内配方，加上和减去$(\dfrac{7}{4})^2$：
$=2[(x^2-\dfrac{7}{2}x+\dfrac{49}{16})-\dfrac{49}{16}]+2$
整理为完全平方式并化简：
$=2(x-\dfrac{7}{4})^2-\dfrac{49}{8}+2=2(x-\dfrac{7}{4})^2-\dfrac{33}{8}$
$\because (x-\dfrac{7}{4})^2≥0$，$\therefore 2(x-\dfrac{7}{4})^2≥0$，
$\therefore 2(x-\dfrac{7}{4})^2-\dfrac{33}{8}≥-\dfrac{33}{8}$，即最小值为$-\dfrac{33}{8}$。
(2) 对$-3x^2 +5x +1$配方：
先提取二次项系数-3，得$-3x^2 +5x +1=-3(x^2-\dfrac{5}{3}x)+1$
对括号内配方，加上和减去$(\dfrac{5}{6})^2$：
$=-3[(x^2-\dfrac{5}{3}x+\dfrac{25}{36})-\dfrac{25}{36}]+1$
整理为完全平方式并化简：
$=-3(x-\dfrac{5}{6})^2+\dfrac{25}{12}+1=-3(x-\dfrac{5}{6})^2+\dfrac{37}{12}$
$\because (x-\dfrac{5}{6})^2≥0$，$\therefore -3(x-\dfrac{5}{6})^2≤0$，
$\therefore -3(x-\dfrac{5}{6})^2+\dfrac{37}{12}≤\dfrac{37}{12}$，即最大值为$\dfrac{37}{12}$。
【答案】
（1）最小值为$-\dfrac{33}{8}$；（2）最大值为$\dfrac{37}{12}$
【知识点】
配方法；完全平方非负性；二次式最值求解
【点评】
本题核心是掌握配方法的操作步骤，解题时要注意提取负的二次项系数时符号的变化，结合完全平方的非负性即可快速判断最值，是配方法的典型应用题型。
【难度系数】
0.7

13. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以点B为圆心,BC的长为半径画弧,交线段AB于点D,以点A为圆心,AD长为半径画弧,交线段AC于点E,设BC=a,AC=b.
(1) 请你判断:线段AD的长度是方程$x^2 + 2ax - b^2 = 0$的一个根吗? 说明理由;
(2) 若线段AD=EC,求$\frac{a}{b}$的值.

13. 解:(1) $\because$ 在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$\therefore AB^2=AC^2+BC^2$.$\because BC=a$,$AC=b$,$\therefore AB^2=a^2+b^2$.方程$x^2+2ax-b^2=0$变形为$x^2+2ax+a^2=a^2+b^2$,$\therefore (x+a)^2=AB^2$.$\because BD=BC=a$,$\therefore (x+BD)^2=AB^2$.$\therefore$ 线段AD的长度是方程$x^2+2ax-b^2=0$的一个根；
(2) $\because AD=EC$,$\therefore AC=2AD=2AE=b$.$\therefore AD=\dfrac{1}{2}b$.$\therefore AB=a+\dfrac{1}{2}b$.$\because AB^2=AC^2+BC^2$,$\therefore (a+\dfrac{1}{2}b)^2=a^2+b^2$,整理,得$a=\dfrac{3}{4}b$.$\therefore \dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{4}$。

【分析】
(1) 要判断AD是否是方程的根，首先利用勾股定理求出AB的长度，结合作图可知BD=BC=a，即AB=AD+a，再将方程配方，验证AD代入后是否满足方程即可；
(2) 由作图得AE=AD，结合AD=EC可推出AD是AC的一半，进而得到AB的表达式，再用勾股定理建立a、b的等量关系，整理后即可求出$\frac{a}{b}$的值。
【解析】
(1) 线段AD的长度是方程$x^2 + 2ax - b^2 = 0$的一个根，理由如下：
在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得$AB^2=AC^2+BC^2$，
$\because BC=a$，$AC=b$，$\therefore AB^2=a^2+b^2$。
将方程$x^2+2ax - b^2=0$变形为$x^2+2ax+a^2=a^2+b^2$，即$(x+a)^2=AB^2$，
由作图可知$BD=BC=a$，因此$AB=AD+BD=AD+a$，
把$x=AD$代入$(x+a)^2$可得$(AD+a)^2=AB^2=a^2+b^2$，满足方程$x^2+2ax - b^2=0$，
故线段AD的长度是该方程的一个根。
(2) 由作图可知$AE=AD$，
$\because AD=EC$，$\therefore AE=AD=EC$，
$\therefore AC=AE+EC=2AD=b$，解得$AD=\frac{1}{2}b$，
$\therefore AB=AD+BD=a+\frac{1}{2}b$，
在$Rt△ ABC$中由勾股定理得$AB^2=AC^2+BC^2$，
代入得$(a+\frac{1}{2}b)^2=a^2+b^2$，
展开整理得$ab=\frac{3}{4}b^2$，$\because b≠0$，两边同除以b得$a=\frac{3}{4}b$，
因此$\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) 是，理由见解析；(2) $\frac{3}{4}$
【知识点】
勾股定理，一元二次方程的根，配方法解方程
【点评】
本题是几何与代数的综合题，结合作图得到线段的等量关系是解题的突破口，考查了数形结合思想的应用，能同时检验对勾股定理和一元二次方程相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.65