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1. 用配方法解方程$x^2 -4x -5=0$，下列变形正确的是 （
A.$(x+2)^2=9$
B.$(x-2)^2=9$
C.$(x-2)^2=11$
D.$(x-4)^2=11$
B
）A.$(x+2)^2=9$
B.$(x-2)^2=9$
C.$(x-2)^2=11$
D.$(x-4)^2=11$
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查配方法对一元二次方程变形的应用，解题思路如下：首先将方程中的常数项移到等号右侧，本题二次项系数已经为1，无需额外调整，接下来给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，再把等号左侧整理为完全平方的形式，最后和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
解：对原方程$x^2 -4x -5=0$进行变形：
1. 移项：将常数项移到等号右侧，注意移项变号，得$x^2 -4x = 5$；
2. 配方：一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(-4÷2)^2=4$，给方程两边同时加4，得$x^2 -4x +4 = 5 + 4$；
3. 整理完全平方式：等号左侧符合完全平方差公式，整理得$(x-2)^2=9$。
对比选项可知B选项变形正确。
【答案】
B
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础题型，核心是牢记配方法的操作步骤，注意移项符号和配方时等式两边需加同一个常数，避免计算失误即可得分。
【难度系数】
0.8
本题考查配方法对一元二次方程变形的应用，解题思路如下：首先将方程中的常数项移到等号右侧，本题二次项系数已经为1，无需额外调整，接下来给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，再把等号左侧整理为完全平方的形式，最后和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
解：对原方程$x^2 -4x -5=0$进行变形：
1. 移项：将常数项移到等号右侧，注意移项变号，得$x^2 -4x = 5$；
2. 配方：一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(-4÷2)^2=4$，给方程两边同时加4，得$x^2 -4x +4 = 5 + 4$；
3. 整理完全平方式：等号左侧符合完全平方差公式，整理得$(x-2)^2=9$。
对比选项可知B选项变形正确。
【答案】
B
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础题型，核心是牢记配方法的操作步骤，注意移项符号和配方时等式两边需加同一个常数，避免计算失误即可得分。
【难度系数】
0.8
2. 阅读下面的材料：
一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的泥板文书中.到了中世纪,阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法,我国三国时期的数学家赵爽在其所著《勾股圆方图注》中也给出了类似的解法.
以$x^2 +10x=39$为例,花拉子米的几何解法步骤如下:
① 如图1,在边长为$x$的正方形的两个相邻边上作边长分别为$x$和5的矩形,再补上一个边长为5的小正方形,最终把图形补成一个大正方形;
② 一方面,大正方形的面积为$(x+\_\_\_\_\_\_)^2$,另一方面,它又等于图中各部分面积之和,因为$x^2 +10x=39$,可得方程$(x+\_\_\_\_\_\_)^2=39+\_\_\_\_\_\_$,则方程的正数解是$x=\_\_\_\_\_\_$.
根据上述材料,解答下列问题.
(1) 补全花拉子米的解法步骤②;
(2) 根据花拉子米的解法,在图2的两个构图①②中,能够得到方程$x^2 -6x=7$的正数解的正确构图是________(填序号).
一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的泥板文书中.到了中世纪,阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法,我国三国时期的数学家赵爽在其所著《勾股圆方图注》中也给出了类似的解法.
以$x^2 +10x=39$为例,花拉子米的几何解法步骤如下:
① 如图1,在边长为$x$的正方形的两个相邻边上作边长分别为$x$和5的矩形,再补上一个边长为5的小正方形,最终把图形补成一个大正方形;
② 一方面,大正方形的面积为$(x+\_\_\_\_\_\_)^2$,另一方面,它又等于图中各部分面积之和,因为$x^2 +10x=39$,可得方程$(x+\_\_\_\_\_\_)^2=39+\_\_\_\_\_\_$,则方程的正数解是$x=\_\_\_\_\_\_$.
根据上述材料,解答下列问题.
(1) 补全花拉子米的解法步骤②;
(2) 根据花拉子米的解法,在图2的两个构图①②中,能够得到方程$x^2 -6x=7$的正数解的正确构图是________(填序号).
答案
(1) 5 5 25 3
(2) ①
(2) ①
解析
【分析】
（1）第一问考查配方法的几何推导，方程$x^2+10x=39$中$10x$可拆为2个$5x$，对应图1的两个阴影矩形，补全的大正方形边长为$x$加矩形的宽5，因此大正方形面积为$(x+5)^2$；大正方形面积也等于原有图形面积$x^2+10x$加上补的边长为5的小正方形面积，代入已知条件即可求出方程的正数解。
（2）第二问需要匹配$x^2-6x=7$的几何构图，$-6x$可拆为2个$-3x$，对应从边长为$x$的正方形中沿上边、右边各去掉宽为3的矩形，重叠部分是$3×3$的小正方形，符合该特征的是正确构图。
【解析】
(1) 一次项系数为10，其一半为5，因此补成的大正方形边长为$x+5$，前两个空均填5；
补的小正方形面积为$5^2=25$，因此大正方形面积可表示为$(x+5)^2=39+25$，第三个空填25；
计算得$(x+5)^2=64$，取正数解得$x+5=8$，$x=3$，第四个空填3。
(2) 方程$x^2-6x=7$的一次项系数为$-6$，其一半为$-3$，对应边长为$x$的正方形上截去两个宽为3的矩形，符合图①的特征；图②是$x^2+6x$的配方法构图，不符合要求，故选①。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$；$\boldsymbol{5}$；$\boldsymbol{25}$；$\boldsymbol{3}$
(2) $\boldsymbol{①}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式的几何意义；数形结合思想
【点评】
本题通过几何图形直观展示配方法的原理，将代数计算和几何图形结合，既考查了配方法的基本操作，也考查了对完全平方公式几何意义的理解，解题关键是找准一次项系数一半对应的图形边长。
【难度系数】
0.7
（1）第一问考查配方法的几何推导，方程$x^2+10x=39$中$10x$可拆为2个$5x$，对应图1的两个阴影矩形，补全的大正方形边长为$x$加矩形的宽5，因此大正方形面积为$(x+5)^2$；大正方形面积也等于原有图形面积$x^2+10x$加上补的边长为5的小正方形面积，代入已知条件即可求出方程的正数解。
（2）第二问需要匹配$x^2-6x=7$的几何构图，$-6x$可拆为2个$-3x$，对应从边长为$x$的正方形中沿上边、右边各去掉宽为3的矩形，重叠部分是$3×3$的小正方形，符合该特征的是正确构图。
【解析】
(1) 一次项系数为10，其一半为5，因此补成的大正方形边长为$x+5$，前两个空均填5；
补的小正方形面积为$5^2=25$，因此大正方形面积可表示为$(x+5)^2=39+25$，第三个空填25；
计算得$(x+5)^2=64$，取正数解得$x+5=8$，$x=3$，第四个空填3。
(2) 方程$x^2-6x=7$的一次项系数为$-6$，其一半为$-3$，对应边长为$x$的正方形上截去两个宽为3的矩形，符合图①的特征；图②是$x^2+6x$的配方法构图，不符合要求，故选①。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$；$\boldsymbol{5}$；$\boldsymbol{25}$；$\boldsymbol{3}$
(2) $\boldsymbol{①}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式的几何意义；数形结合思想
【点评】
本题通过几何图形直观展示配方法的原理，将代数计算和几何图形结合，既考查了配方法的基本操作，也考查了对完全平方公式几何意义的理解，解题关键是找准一次项系数一半对应的图形边长。
【难度系数】
0.7
3. 将一元二次方程$x^2 + 4x -1 =0$化成形如$(x+p)^2 = q$的形式，则$p+q$的值为（
A.7
B.3
C.$-5$
D.10
A
）A.7
B.3
C.$-5$
D.10
答案
3. A
解析
【分析】
本题考查配方法的应用，解题思路如下：首先明确配方法的操作步骤，先将原方程的常数项移到等号右侧，再给等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，得到$(x+p)^2=q$的形式后对应确定$p$、$q$的值，最后计算$p+q$即可选出正确答案。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 + 4x -1 = 0$配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 + 4x = 1$
2. 等号两边同时加一次项系数一半的平方：一次项系数为4，一半是2，平方为4，因此得：
$x^2 + 4x + 4 = 1 + 4$
3. 左侧化为完全平方形式，右侧合并同类项：
$(x+2)^2 = 5$
对比$(x+p)^2=q$的形式，可得$p=2$，$q=5$，因此$p+q=2+5=7$。
【答案】
A
【知识点】
配方法，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题属于配方法的基础题型，核心考查配方法的操作步骤，熟练掌握配方规则即可快速解题，得分率较高。
【难度系数】
0.8
本题考查配方法的应用，解题思路如下：首先明确配方法的操作步骤，先将原方程的常数项移到等号右侧，再给等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，得到$(x+p)^2=q$的形式后对应确定$p$、$q$的值，最后计算$p+q$即可选出正确答案。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 + 4x -1 = 0$配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 + 4x = 1$
2. 等号两边同时加一次项系数一半的平方：一次项系数为4，一半是2，平方为4，因此得：
$x^2 + 4x + 4 = 1 + 4$
3. 左侧化为完全平方形式，右侧合并同类项：
$(x+2)^2 = 5$
对比$(x+p)^2=q$的形式，可得$p=2$，$q=5$，因此$p+q=2+5=7$。
【答案】
A
【知识点】
配方法，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题属于配方法的基础题型，核心考查配方法的操作步骤，熟练掌握配方规则即可快速解题，得分率较高。
【难度系数】
0.8
4. 若关于$x$的一元二次方程$x^2 +6x +c=0$配方后得到方程$(x+3)^2=2c$，则$c$的值为（
A.$-3$
B.$0$
C.$1$
D.$3$
D
）A.$-3$
B.$0$
C.$1$
D.$3$
答案
4. D
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆配方法解一元二次方程的步骤，先将原一元二次方程按照配方法的规范步骤进行配方，得到配方后的方程形式，再和题目给出的配方后方程对比，得到关于c的一元一次方程，求解即可得到c的值，最后可以代入验证结果是否正确。
【解析】
第一步：对原方程$x^2 +6x +c=0$进行配方操作：
移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 +6x = -c$
方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为6，一半是3，平方为9，因此两边加9：
$x^2 +6x +9 = -c +9$
左边写成完全平方形式，得：$(x+3)^2 = 9 - c$
第二步：结合题目给出的配方后方程$(x+3)^2=2c$，可得等式：
$9 - c = 2c$
第三步：解上述一元一次方程：
移项得：$9 = 2c + c$，即$3c=9$，解得$c=3$
代入验证：当$c=3$时，原方程配方后为$(x+3)^2=6$，$2c=6$，等式成立，结果正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查配方法的操作规则，解题关键是熟练掌握配方时“左右两边同时加一次项系数一半的平方”的要求，避免移项时符号出错，整体计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先回忆配方法解一元二次方程的步骤，先将原一元二次方程按照配方法的规范步骤进行配方，得到配方后的方程形式，再和题目给出的配方后方程对比，得到关于c的一元一次方程，求解即可得到c的值，最后可以代入验证结果是否正确。
【解析】
第一步：对原方程$x^2 +6x +c=0$进行配方操作：
移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 +6x = -c$
方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为6，一半是3，平方为9，因此两边加9：
$x^2 +6x +9 = -c +9$
左边写成完全平方形式，得：$(x+3)^2 = 9 - c$
第二步：结合题目给出的配方后方程$(x+3)^2=2c$，可得等式：
$9 - c = 2c$
第三步：解上述一元一次方程：
移项得：$9 = 2c + c$，即$3c=9$，解得$c=3$
代入验证：当$c=3$时，原方程配方后为$(x+3)^2=6$，$2c=6$，等式成立，结果正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查配方法的操作规则，解题关键是熟练掌握配方时“左右两边同时加一次项系数一半的平方”的要求，避免移项时符号出错，整体计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
5. 已知$a,b,c$满足$a^2 + b^2 + c^2 - 4a - 2b + 2c + 6 = 0$，则$a + b - c$的值是（
A.5
B.4
C.3
D.2
B
）A.5
B.4
C.3
D.2
答案
5. B
解析
【分析】
本题考查配方法的应用与非负数的性质，解题思路如下：首先观察等式左侧是含a、b、c的二次三项式加常数的结构，我们可以将常数6拆分为4、1、1三个部分，分别和a、b、c的二次项、一次项组合配成完全平方，再根据“若干个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的性质，求出a、b、c的取值，最后代入a+b-c计算即可得到结果。
【解析】
对原式进行配方整理：
将原式变形为：
$(a^2 - 4a + 4) + (b^2 - 2b + 1) + (c^2 + 2c + 1) = 0$
即：
$(a-2)^2 + (b-1)^2 + (c+1)^2 = 0$
根据偶次方的非负性可知：$(a-2)^2≥0$，$(b-1)^2≥0$，$(c+1)^2≥0$，若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0，因此可得：
$a-2=0$，解得$a=2$；
$b-1=0$，解得$b=1$；
$c+1=0$，解得$c=-1$。
将$a=2$、$b=1$、$c=-1$代入$a+b-c$得：
$a+b-c=2+1-(-1)=4$。
【答案】
B
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质：偶次方；代数式求值
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是掌握完全平方公式的结构特征，正确拆分常数项完成配方，再结合非负数的性质求解，熟练掌握配方法步骤是解决这类代数式求值问题的关键。
【难度系数】
0.7
本题考查配方法的应用与非负数的性质，解题思路如下：首先观察等式左侧是含a、b、c的二次三项式加常数的结构，我们可以将常数6拆分为4、1、1三个部分，分别和a、b、c的二次项、一次项组合配成完全平方，再根据“若干个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的性质，求出a、b、c的取值，最后代入a+b-c计算即可得到结果。
【解析】
对原式进行配方整理：
将原式变形为：
$(a^2 - 4a + 4) + (b^2 - 2b + 1) + (c^2 + 2c + 1) = 0$
即：
$(a-2)^2 + (b-1)^2 + (c+1)^2 = 0$
根据偶次方的非负性可知：$(a-2)^2≥0$，$(b-1)^2≥0$，$(c+1)^2≥0$，若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0，因此可得：
$a-2=0$，解得$a=2$；
$b-1=0$，解得$b=1$；
$c+1=0$，解得$c=-1$。
将$a=2$、$b=1$、$c=-1$代入$a+b-c$得：
$a+b-c=2+1-(-1)=4$。
【答案】
B
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质：偶次方；代数式求值
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是掌握完全平方公式的结构特征，正确拆分常数项完成配方，再结合非负数的性质求解，熟练掌握配方法步骤是解决这类代数式求值问题的关键。
【难度系数】
0.7
