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6. 根据你的观察,探究下列问题:
(1) 已知 $x^2 - 2xy + 2y^2 + 6y + 9 = 0$,求 $xy$ 的值;
(2) 已知 $△ ABC$ 的三边长 $a,b,c$ 都是正整数,且满足 $a^2 + b^2 -10a -12b +61=0$,求 $△ ABC$ 的最大边 $c$ 的值;
(3) 已知 $a - b =8$,$ab + c^2 -16c +80=0$,求 $a + b + c$ 的值.
(1) 已知 $x^2 - 2xy + 2y^2 + 6y + 9 = 0$,求 $xy$ 的值;
(2) 已知 $△ ABC$ 的三边长 $a,b,c$ 都是正整数,且满足 $a^2 + b^2 -10a -12b +61=0$,求 $△ ABC$ 的最大边 $c$ 的值;
(3) 已知 $a - b =8$,$ab + c^2 -16c +80=0$,求 $a + b + c$ 的值.
答案
(1) $\because x^2 - 2xy + 2y^2 + 6y + 9 = 0,\therefore (x^2 - 2xy + y^2)+(y^2 + 6y + 9)=0.\therefore (x-y)^2 + (y+3)^2=0.\therefore x-y=0,y+3=0.\therefore x=-3,y=-3.\therefore xy=(-3)×(-3)=9$；
(2) $\because a^2 + b^2 -10a -12b +61=0,\therefore (a^2 -10a +25)+(b^2 -12b +36)=0.\therefore (a-5)^2 + (b-6)^2=0.\therefore a-5=0,b-6=0.\therefore a=5,b=6.\because 6-5＜c＜6+5,c≥6,\therefore 6≤c＜11.\therefore △ABC$ 的最大边 $c$ 的值可能是 6、7、8、9、10；
(3) $\because a-b=8,ab + c^2 -16c +80=0,\therefore a(a-8)+16+(c-8)^2=0.\therefore (a-4)^2 + (c-8)^2=0.\therefore a-4=0,c-8=0.\therefore a=4,c=8$,即 $b=a-8=4-8=-4.\therefore a+b+c=4-4+8=8$.
(2) $\because a^2 + b^2 -10a -12b +61=0,\therefore (a^2 -10a +25)+(b^2 -12b +36)=0.\therefore (a-5)^2 + (b-6)^2=0.\therefore a-5=0,b-6=0.\therefore a=5,b=6.\because 6-5＜c＜6+5,c≥6,\therefore 6≤c＜11.\therefore △ABC$ 的最大边 $c$ 的值可能是 6、7、8、9、10；
(3) $\because a-b=8,ab + c^2 -16c +80=0,\therefore a(a-8)+16+(c-8)^2=0.\therefore (a-4)^2 + (c-8)^2=0.\therefore a-4=0,c-8=0.\therefore a=4,c=8$,即 $b=a-8=4-8=-4.\therefore a+b+c=4-4+8=8$.
解析
【分析】
这三道题均围绕配方法与非负数的性质考查，解题思路如下：首先将等式左侧的多项式合理拆分、分组，凑成若干个完全平方式的和；再根据“几个非负数的和为0时，每个非负数都为0”列方程求解对应未知量；最后结合题目要求进一步计算：(1)求出x、y后代入计算xy的值；(2)求出a、b后结合三角形三边关系，以及c是最大边的限定条件确定c的取值；(3)先通过a-b=8将b用含a的式子表示，代入第二个等式后再配方求解即可。
【解析】
(1) $\because x^2 - 2xy + 2y^2 + 6y + 9 = 0$，
$\therefore (x^2 - 2xy + y^2)+(y^2 + 6y + 9)=0$，
$\therefore (x-y)^2 + (y+3)^2=0$，
$\because$ 平方数具有非负性，
$\therefore x-y=0,y+3=0$，
解得 $x=-3,y=-3$，
$\therefore xy=(-3)×(-3)=9$。
(2) $\because a^2 + b^2 -10a -12b +61=0$，
$\therefore (a^2 -10a +25)+(b^2 -12b +36)=0$，
$\therefore (a-5)^2 + (b-6)^2=0$，
$\because$ 平方数具有非负性，
$\therefore a-5=0,b-6=0$，
解得 $a=5,b=6$，
根据三角形三边关系可得：$6-5＜c＜6+5$，即$1＜c＜11$，
又$\because c$是$△ ABC$的最大边，且$c$为正整数，
$\therefore c≥6$，即$6≤c＜11$，
$\therefore c$的值为6、7、8、9、10。
(3) $\because a-b=8$，
$\therefore b=a-8$，
将$b=a-8$代入$ab + c^2 -16c +80=0$得：
$a(a-8)+ c^2 -16c +80=0$，
整理得$(a^2-8a+16)+(c^2-16c+64)=0$，
$\therefore (a-4)^2 + (c-8)^2=0$，
$\because$ 平方数具有非负性，
$\therefore a-4=0,c-8=0$，
解得$a=4,c=8$，
$\therefore b=a-8=4-8=-4$，
$\therefore a+b+c=4-4+8=8$。
【答案】
(1) $\boxed{9}$；(2) $\boxed{6、7、8、9、10}$；(3) $\boxed{8}$
【知识点】
配方法的应用，非负数的性质，三角形三边关系
【点评】
本题核心考查配方法的灵活运用，解题关键是能将多项式合理拆分凑成完全平方式，再结合非负数的性质求解，解答第二问时要注意最大边的限定条件，避免出现取值范围错误。
【难度系数】
0.7
这三道题均围绕配方法与非负数的性质考查，解题思路如下：首先将等式左侧的多项式合理拆分、分组，凑成若干个完全平方式的和；再根据“几个非负数的和为0时，每个非负数都为0”列方程求解对应未知量；最后结合题目要求进一步计算：(1)求出x、y后代入计算xy的值；(2)求出a、b后结合三角形三边关系，以及c是最大边的限定条件确定c的取值；(3)先通过a-b=8将b用含a的式子表示，代入第二个等式后再配方求解即可。
【解析】
(1) $\because x^2 - 2xy + 2y^2 + 6y + 9 = 0$，
$\therefore (x^2 - 2xy + y^2)+(y^2 + 6y + 9)=0$，
$\therefore (x-y)^2 + (y+3)^2=0$，
$\because$ 平方数具有非负性，
$\therefore x-y=0,y+3=0$，
解得 $x=-3,y=-3$，
$\therefore xy=(-3)×(-3)=9$。
(2) $\because a^2 + b^2 -10a -12b +61=0$，
$\therefore (a^2 -10a +25)+(b^2 -12b +36)=0$，
$\therefore (a-5)^2 + (b-6)^2=0$，
$\because$ 平方数具有非负性，
$\therefore a-5=0,b-6=0$，
解得 $a=5,b=6$，
根据三角形三边关系可得：$6-5＜c＜6+5$，即$1＜c＜11$，
又$\because c$是$△ ABC$的最大边，且$c$为正整数，
$\therefore c≥6$，即$6≤c＜11$，
$\therefore c$的值为6、7、8、9、10。
(3) $\because a-b=8$，
$\therefore b=a-8$，
将$b=a-8$代入$ab + c^2 -16c +80=0$得：
$a(a-8)+ c^2 -16c +80=0$，
整理得$(a^2-8a+16)+(c^2-16c+64)=0$，
$\therefore (a-4)^2 + (c-8)^2=0$，
$\because$ 平方数具有非负性，
$\therefore a-4=0,c-8=0$，
解得$a=4,c=8$，
$\therefore b=a-8=4-8=-4$，
$\therefore a+b+c=4-4+8=8$。
【答案】
(1) $\boxed{9}$；(2) $\boxed{6、7、8、9、10}$；(3) $\boxed{8}$
【知识点】
配方法的应用，非负数的性质，三角形三边关系
【点评】
本题核心考查配方法的灵活运用，解题关键是能将多项式合理拆分凑成完全平方式，再结合非负数的性质求解，解答第二问时要注意最大边的限定条件，避免出现取值范围错误。
【难度系数】
0.7
7. 已知$a,b$满足等式$x=a^2 - 6ab + 9b^2$，$y=4a - 12b - 4$，则$x,y$的大小关系是 (
A.$x=y$
B.$x＞y$
C.$x＜y$
D.$x≥ y$
D
)A.$x=y$
B.$x＞y$
C.$x＜y$
D.$x≥ y$
答案
7. D
解析
【分析】
要比较两个代数式$x$和$y$的大小，常用作差法：计算$x-y$的值，根据差的正负判断$x$与$y$的大小关系，若差＞0则$x＞y$，差=0则$x=y$，差＜0则$x＜y$。本题先写出$x-y$的表达式，观察式子特征，先将$a^2-6ab+9b^2$变形为完全平方式，再整理含$a、b$的一次项后再次配方，最后利用平方的非负性判断差的取值范围即可。
【解析】
用作差法比较$x、y$的大小：
$\begin{aligned}x-y&=(a^2 - 6ab + 9b^2)-(4a - 12b - 4)\\&=(a-3b)^2 - 4(a-3b) + 4\\&=(a-3b - 2)^2\end{aligned}$
∵任意实数的平方是非负数，即$(a-3b - 2)^2≥0$
∴$x - y≥0$，即$x≥ y$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
作差法比较大小；完全平方公式；平方的非负性
【点评】
本题是配方法的典型应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构，通过作差后配方将代数式转化为完全平方式，利用非负性判断大小，掌握该方法可快速解决同类代数式比较大小的问题。
【难度系数】
0.7
要比较两个代数式$x$和$y$的大小，常用作差法：计算$x-y$的值，根据差的正负判断$x$与$y$的大小关系，若差＞0则$x＞y$，差=0则$x=y$，差＜0则$x＜y$。本题先写出$x-y$的表达式，观察式子特征，先将$a^2-6ab+9b^2$变形为完全平方式，再整理含$a、b$的一次项后再次配方，最后利用平方的非负性判断差的取值范围即可。
【解析】
用作差法比较$x、y$的大小：
$\begin{aligned}x-y&=(a^2 - 6ab + 9b^2)-(4a - 12b - 4)\\&=(a-3b)^2 - 4(a-3b) + 4\\&=(a-3b - 2)^2\end{aligned}$
∵任意实数的平方是非负数，即$(a-3b - 2)^2≥0$
∴$x - y≥0$，即$x≥ y$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
作差法比较大小；完全平方公式；平方的非负性
【点评】
本题是配方法的典型应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构，通过作差后配方将代数式转化为完全平方式，利用非负性判断大小，掌握该方法可快速解决同类代数式比较大小的问题。
【难度系数】
0.7
8. 阅读下列材料：
利用完全平方公式，将多项式$x^2+bx+c$变形为$(x+m)^2+n$的形式.
例如：$x^2-8x+17=x^2-2· x· 4+4^2-4^2+17=(x-4)^2+1$.
（1）填空：将多项式$x^2-2x+3$变形为$(x+m)^2+n$的形式，并判断$x^2-2x+3$与0的大小关系.
$\because x^2-2x+3=(x-\_\_\_\_\_\_)^2+\_\_\_\_\_\_,$
$\therefore x^2-2x+3\_\_\_\_\_\_0$(填“＞”“＜”或“=”）.
（2）如图①所示的矩形边长分别是$2a+5,3a+2$，求矩形的面积$S_1$(用含$a$的式子表示）；
如图②所示的矩形边长分别是$5a,a+5$，求矩形的面积$S_2$(用含$a$的式子表示）；
（3）比较（2）中$S_1$与$S_2$的大小，并说明理由.
利用完全平方公式，将多项式$x^2+bx+c$变形为$(x+m)^2+n$的形式.
例如：$x^2-8x+17=x^2-2· x· 4+4^2-4^2+17=(x-4)^2+1$.
（1）填空：将多项式$x^2-2x+3$变形为$(x+m)^2+n$的形式，并判断$x^2-2x+3$与0的大小关系.
$\because x^2-2x+3=(x-\_\_\_\_\_\_)^2+\_\_\_\_\_\_,$
$\therefore x^2-2x+3\_\_\_\_\_\_0$(填“＞”“＜”或“=”）.
（2）如图①所示的矩形边长分别是$2a+5,3a+2$，求矩形的面积$S_1$(用含$a$的式子表示）；
如图②所示的矩形边长分别是$5a,a+5$，求矩形的面积$S_2$(用含$a$的式子表示）；
（3）比较（2）中$S_1$与$S_2$的大小，并说明理由.
答案
(1) 1 2 ＞
(2) $S_1=(2a+5)(3a+2)=6a^2+19a+10$，$S_2=5a(a+5)=5a^2+25a$；
(3) $S_1＞S_2$ 理由：$S_1-S_2=6a^2+19a+10-(5a^2+25a)=a^2-6a+10=(a-3)^2+1$，$\because (a-3)^2≥0,\therefore (a-3)^2+1＞0.\therefore S_1-S_2＞0.\therefore S_1＞S_2$.
(2) $S_1=(2a+5)(3a+2)=6a^2+19a+10$，$S_2=5a(a+5)=5a^2+25a$；
(3) $S_1＞S_2$ 理由：$S_1-S_2=6a^2+19a+10-(5a^2+25a)=a^2-6a+10=(a-3)^2+1$，$\because (a-3)^2≥0,\therefore (a-3)^2+1＞0.\therefore S_1-S_2＞0.\therefore S_1＞S_2$.
解析
【分析】
（1）第一小问考查配方法的基础操作，对二次三项式配方时，先将二次项、一次项组合，加上一次项系数一半的平方构造完全平方式，再减去多加的常数得到配方结果，最后结合平方的非负性判断代数式和0的大小关系。
（2）第二小问依据矩形面积=长×宽的公式，分别代入两个矩形的边长，用多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则展开化简，即可得到$S_1$、$S_2$的表达式。
（3）比较两个代数式大小常用作差法，计算$S_1$与$S_2$的差，将差配方后结合平方的非负性判断差的正负，就能得出$S_1$和$S_2$的大小关系。
【解析】
（1）对$x^2-2x+3$进行配方：
$x^2-2x+3 = x^2-2· x·1 + 1^2 - 1^2 +3 = (x-1)^2 +2$
$\because (x-1)^2≥0$，$\therefore (x-1)^2 +2≥2＞0$，因此三个空依次填1、2、＞。
（2）根据矩形面积公式计算：
$S_1=(2a+5)(3a+2)=2a·3a + 2a·2 + 5·3a +5·2=6a^2+4a+15a+10=6a^2+19a+10$
$S_2=5a(a+5)=5a· a +5a·5=5a^2+25a$
（3）用作差法比较大小：
$S_1-S_2=(6a^2+19a+10)-(5a^2+25a)=a^2-6a+10$
对差配方得：$a^2-6a+10=(a-3)^2+1$
$\because (a-3)^2≥0$，$\therefore (a-3)^2+1≥1＞0$，即$S_1-S_2＞0$，故$S_1＞S_2$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$，$\boxed{2}$，$\boxed{＞}$
(2) $\boxed{S_1=6a^2+19a+10}$，$\boxed{S_2=5a^2+25a}$
(3) $\boxed{S_1＞S_2}$，理由：$S_1-S_2=(a-3)^2+1＞0$，故$S_1＞S_2$。
【知识点】
配方法，整式乘法，作差法比较大小
【点评】
本题围绕配方法设计考点，结合整式运算、代数式大小比较的知识，考查代数运算能力和配方思想的应用，计算时要注意整式乘法的符号规则，配方时需准确构造完全平方式。
【难度系数】
0.7
（1）第一小问考查配方法的基础操作，对二次三项式配方时，先将二次项、一次项组合，加上一次项系数一半的平方构造完全平方式，再减去多加的常数得到配方结果，最后结合平方的非负性判断代数式和0的大小关系。
（2）第二小问依据矩形面积=长×宽的公式，分别代入两个矩形的边长，用多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则展开化简，即可得到$S_1$、$S_2$的表达式。
（3）比较两个代数式大小常用作差法，计算$S_1$与$S_2$的差，将差配方后结合平方的非负性判断差的正负，就能得出$S_1$和$S_2$的大小关系。
【解析】
（1）对$x^2-2x+3$进行配方：
$x^2-2x+3 = x^2-2· x·1 + 1^2 - 1^2 +3 = (x-1)^2 +2$
$\because (x-1)^2≥0$，$\therefore (x-1)^2 +2≥2＞0$，因此三个空依次填1、2、＞。
（2）根据矩形面积公式计算：
$S_1=(2a+5)(3a+2)=2a·3a + 2a·2 + 5·3a +5·2=6a^2+4a+15a+10=6a^2+19a+10$
$S_2=5a(a+5)=5a· a +5a·5=5a^2+25a$
（3）用作差法比较大小：
$S_1-S_2=(6a^2+19a+10)-(5a^2+25a)=a^2-6a+10$
对差配方得：$a^2-6a+10=(a-3)^2+1$
$\because (a-3)^2≥0$，$\therefore (a-3)^2+1≥1＞0$，即$S_1-S_2＞0$，故$S_1＞S_2$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$，$\boxed{2}$，$\boxed{＞}$
(2) $\boxed{S_1=6a^2+19a+10}$，$\boxed{S_2=5a^2+25a}$
(3) $\boxed{S_1＞S_2}$，理由：$S_1-S_2=(a-3)^2+1＞0$，故$S_1＞S_2$。
【知识点】
配方法，整式乘法，作差法比较大小
【点评】
本题围绕配方法设计考点，结合整式运算、代数式大小比较的知识，考查代数运算能力和配方思想的应用，计算时要注意整式乘法的符号规则，配方时需准确构造完全平方式。
【难度系数】
0.7
