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1.（溧阳模拟）一元二次方程$x^2=2026x$的解是 （
A.$x=0$
B.$x=2026$
C.$x_1=0,x_2=2026$
D.无实数根
C
）A.$x=0$
B.$x=2026$
C.$x_1=0,x_2=2026$
D.无实数根
答案
1. C
解析
【分析】
求解该一元二次方程时，首先要注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会丢失x=0这个根。正确的思路是先通过移项将方程右边的项移到左边，使方程右边为0，再对左边的多项式提取公因式进行因式分解，利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
首先对原方程进行移项，得：
$x^2 - 2026x = 0$
对左边提取公因式$x$，因式分解得：
$x(x - 2026) = 0$
根据乘法的性质，可得：
$x=0$ 或 $x - 2026 = 0$
分别解两个一元一次方程，得：
$x_1=0$，$x_2=2026$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的解
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，核心易错点是容易直接约去方程两边的x导致漏解，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的步骤即可快速得分。
【难度系数】
0.9
求解该一元二次方程时，首先要注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会丢失x=0这个根。正确的思路是先通过移项将方程右边的项移到左边，使方程右边为0，再对左边的多项式提取公因式进行因式分解，利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
首先对原方程进行移项，得：
$x^2 - 2026x = 0$
对左边提取公因式$x$，因式分解得：
$x(x - 2026) = 0$
根据乘法的性质，可得：
$x=0$ 或 $x - 2026 = 0$
分别解两个一元一次方程，得：
$x_1=0$，$x_2=2026$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的解
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，核心易错点是容易直接约去方程两边的x导致漏解，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的步骤即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 方程$x(x-6)=x$的根是 （
A.$x=6$
B.$x_1=0,x_2=-7$
C.$x_1=0,x_2=7$
D.$x_1=0,x_2=6$
C
）A.$x=6$
B.$x_1=0,x_2=-7$
C.$x_1=0,x_2=7$
D.$x_1=0,x_2=6$
答案
2. C
解析
【分析】
这是一道求解一元二次方程根的题目，解题时首先要注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0的根。正确思路为：先将方程右边的x移到左边，使方程右边为0，再对左边的整式提取公因式进行因式分解，转化为两个一次因式乘积为0的形式，最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，分别求解两个一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
对原方程移项，得：
$x(x-6) - x = 0$
提取公因式$x$，得：
$x[(x-6)-1] = 0$
整理得：
$x(x-7) = 0$
根据乘法的性质可得：$x=0$或$x-7=0$
分别求解得：$x_1=0$，$x_2=7$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解方程；一元二次方程的根
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题，主要考查因式分解法的应用，解题关键是避免直接除以含未知数的整式导致漏根，掌握移项、提取公因式的操作即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
这是一道求解一元二次方程根的题目，解题时首先要注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0的根。正确思路为：先将方程右边的x移到左边，使方程右边为0，再对左边的整式提取公因式进行因式分解，转化为两个一次因式乘积为0的形式，最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，分别求解两个一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
对原方程移项，得：
$x(x-6) - x = 0$
提取公因式$x$，得：
$x[(x-6)-1] = 0$
整理得：
$x(x-7) = 0$
根据乘法的性质可得：$x=0$或$x-7=0$
分别求解得：$x_1=0$，$x_2=7$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解方程；一元二次方程的根
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题，主要考查因式分解法的应用，解题关键是避免直接除以含未知数的整式导致漏根，掌握移项、提取公因式的操作即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
3. 一元二次方程$(x-2)(x+7)=0$的根是
$x_1=2,x_2=-7$
。答案
3. $x_1=2,x_2=-7$
解析
【分析】
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题思路是利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的原理，将一元二次方程拆分为两个一元一次方程，分别求解这两个一元一次方程，就能得到原一元二次方程的根。
【解析】
解：已知方程$(x-2)(x+7)=0$，根据乘法的性质可得：
$x-2=0$ 或 $x+7=0$
解$x-2=0$，得$x=2$；
解$x+7=0$，得$x=-7$。
因此原方程的根为$x_1=2$，$x_2=-7$。
【答案】
$x_1=2,x_2=-7$
【知识点】
因式分解法解方程；一元二次方程的根
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题，核心考查因式分解法解方程的基本原理，逻辑清晰、计算量小，掌握对应方法即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题思路是利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的原理，将一元二次方程拆分为两个一元一次方程，分别求解这两个一元一次方程，就能得到原一元二次方程的根。
【解析】
解：已知方程$(x-2)(x+7)=0$，根据乘法的性质可得：
$x-2=0$ 或 $x+7=0$
解$x-2=0$，得$x=2$；
解$x+7=0$，得$x=-7$。
因此原方程的根为$x_1=2$，$x_2=-7$。
【答案】
$x_1=2,x_2=-7$
【知识点】
因式分解法解方程；一元二次方程的根
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题，核心考查因式分解法解方程的基本原理，逻辑清晰、计算量小，掌握对应方法即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4. 方程 $x(x + 3)=4(x + 3)$ 的解是
$x_1=-3,x_2=4$
.答案
4. $x_1=-3,x_2=4$
解析
【分析】
观察方程两边都含有公因式$x+3$，注意不能直接两边同时除以$x+3$，否则会漏掉$x=-3$的解。正确思路是先移项，把所有项移到等号左侧，再提取公因式$x+3$，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，分别解两个一元一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$x(x + 3) - 4(x + 3) = 0$
提取公因式$(x+3)$，得：
$(x + 3)(x - 4) = 0$
所以有$x + 3 = 0$或$x - 4 = 0$
分别解这两个一元一次方程：
当$x + 3 = 0$时，解得$x_1 = -3$；
当$x - 4 = 0$时，解得$x_2 = 4$。
【答案】
$x_1=-3,x_2=4$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，解题的易错点是直接约去含未知数的公因式导致漏解，熟练掌握因式分解法解方程的步骤，避开易错点就能快速求解。
【难度系数】
0.8
观察方程两边都含有公因式$x+3$，注意不能直接两边同时除以$x+3$，否则会漏掉$x=-3$的解。正确思路是先移项，把所有项移到等号左侧，再提取公因式$x+3$，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，分别解两个一元一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$x(x + 3) - 4(x + 3) = 0$
提取公因式$(x+3)$，得：
$(x + 3)(x - 4) = 0$
所以有$x + 3 = 0$或$x - 4 = 0$
分别解这两个一元一次方程：
当$x + 3 = 0$时，解得$x_1 = -3$；
当$x - 4 = 0$时，解得$x_2 = 4$。
【答案】
$x_1=-3,x_2=4$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，解题的易错点是直接约去含未知数的公因式导致漏解，熟练掌握因式分解法解方程的步骤，避开易错点就能快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 已知关于x的方程$ax^2+bx+c=3$的解与$(x-1)(x-4)=0$的解相同，则$a+b+c$的值为
3
。答案
5. 3
解析
【分析】
首先先求解已知方程$(x-1)(x-4)=0$的解，由于两个方程的解相同，因此所得的解也满足方程$ax^2+bx+c=3$。观察所求式子$a+b+c$的特征，可发现当$x=1$时，代入$ax^2+bx+c$恰好得到$a+b+c$，因此直接将$x=1$代入方程即可求出结果，无需单独计算$a、b、c$的具体值。
【解析】
1. 解方程$(x-1)(x-4)=0$：
根据因式分解法解一元二次方程的规则，可得$x-1=0$或$x-4=0$，解得$x_1=1$，$x_2=4$。
2. 代入根求值：
由题意可知$x=1$是方程$ax^2+bx+c=3$的解，将$x=1$代入该方程，得：
$a×1^2 + b×1 + c = 3$
化简可得$a+b+c=3$。
【答案】
3
【知识点】
因式分解法解方程、一元二次方程根的定义、代数式求值
【点评】
本题核心是灵活运用一元二次方程根的定义解题，注意观察所求代数式和方程的联系，选择合适的根代入可大幅简化计算，避免无意义的复杂运算。
【难度系数】
0.9
首先先求解已知方程$(x-1)(x-4)=0$的解，由于两个方程的解相同，因此所得的解也满足方程$ax^2+bx+c=3$。观察所求式子$a+b+c$的特征，可发现当$x=1$时，代入$ax^2+bx+c$恰好得到$a+b+c$，因此直接将$x=1$代入方程即可求出结果，无需单独计算$a、b、c$的具体值。
【解析】
1. 解方程$(x-1)(x-4)=0$：
根据因式分解法解一元二次方程的规则，可得$x-1=0$或$x-4=0$，解得$x_1=1$，$x_2=4$。
2. 代入根求值：
由题意可知$x=1$是方程$ax^2+bx+c=3$的解，将$x=1$代入该方程，得：
$a×1^2 + b×1 + c = 3$
化简可得$a+b+c=3$。
【答案】
3
【知识点】
因式分解法解方程、一元二次方程根的定义、代数式求值
【点评】
本题核心是灵活运用一元二次方程根的定义解题，注意观察所求代数式和方程的联系，选择合适的根代入可大幅简化计算，避免无意义的复杂运算。
【难度系数】
0.9
6. 用因式分解法解下列方程：
(1) $2x^2 + 8x = 0$；
(2) $x^2 + 4x = 5(x + 4)$；
(3) $x(x - 5) + 2x - 10 = 0$；
(4) $2(x - 4)^2 = 16 - x^2$。
课后作业 KEHOUZUOYE ★★★★★
(1) $2x^2 + 8x = 0$；
(2) $x^2 + 4x = 5(x + 4)$；
(3) $x(x - 5) + 2x - 10 = 0$；
(4) $2(x - 4)^2 = 16 - x^2$。
课后作业 KEHOUZUOYE ★★★★★
答案
6. (1) $x_1=-4,x_2=0$ (2) $x_1=-4,x_2=5$
(3) $x_1=-2,x_2=5$ (4) $x_1=4,x_2=\frac{4}{3}$
(3) $x_1=-2,x_2=5$ (4) $x_1=4,x_2=\frac{4}{3}$
解析
【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心是通过因式分解实现“降次”，统一解题思路为：①先将方程整理为右侧等于0的形式；②将左侧多项式通过提公因式、平方差公式等方法分解为两个一次因式的乘积；③根据“若两个因式乘积为0，则至少其中一个因式为0”，得到两个一元一次方程；④分别求解两个一次方程，即可得到原方程的根，逐题按照该思路操作即可。
【解析】
(1) 方程$2x^2 + 8x = 0$左侧提公因式$2x$，得：
$2x(x + 4) = 0$
令两个因式分别为0，得：
$2x = 0$ 或 $x + 4 = 0$
解得：$x_1=0$，$x_2=-4$
(2) 将方程$x^2 + 4x = 5(x + 4)$右侧项移到左侧，整理得：
$x(x + 4) - 5(x + 4) = 0$
提公因式$(x + 4)$，得：
$(x + 4)(x - 5) = 0$
令两个因式分别为0，得：
$x + 4 = 0$ 或 $x - 5 = 0$
解得：$x_1=-4$，$x_2=5$
(3) 将方程$x(x - 5) + 2x - 10 = 0$后两项提公因式2，整理得：
$x(x - 5) + 2(x - 5) = 0$
提公因式$(x - 5)$，得：
$(x - 5)(x + 2) = 0$
令两个因式分别为0，得：
$x - 5 = 0$ 或 $x + 2 = 0$
解得：$x_1=5$，$x_2=-2$
(4) 将方程$2(x - 4)^2 = 16 - x^2$右侧项移到左侧，利用平方差公式将$16-x^2$变形为$-(x-4)(x+4)$，整理得：
$2(x - 4)^2 + (x - 4)(x + 4) = 0$
提公因式$(x - 4)$，得：
$(x - 4)[2(x - 4) + x + 4] = 0$
化简括号内的式子得$3x - 4$，因此方程变为：
$(x - 4)(3x - 4) = 0$
令两个因式分别为0，得：
$x - 4 = 0$ 或 $3x - 4 = 0$
解得：$x_1=4$，$x_2=\frac{4}{3}$
【答案】
(1) $x_1=-4,x_2=0$ (2) $x_1=-4,x_2=5$ (3) $x_1=-2,x_2=5$ (4) $x_1=4,x_2=\frac{4}{3}$
【知识点】
因式分解法解方程、提公因式因式分解、平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的典型训练题，覆盖了该方法下常见的因式分解技巧，熟练掌握后能大幅提升对应类型方程的解题速度和准确率。
【难度系数】
0.7
用因式分解法解一元二次方程的核心是通过因式分解实现“降次”，统一解题思路为：①先将方程整理为右侧等于0的形式；②将左侧多项式通过提公因式、平方差公式等方法分解为两个一次因式的乘积；③根据“若两个因式乘积为0，则至少其中一个因式为0”，得到两个一元一次方程；④分别求解两个一次方程，即可得到原方程的根，逐题按照该思路操作即可。
【解析】
(1) 方程$2x^2 + 8x = 0$左侧提公因式$2x$，得：
$2x(x + 4) = 0$
令两个因式分别为0，得：
$2x = 0$ 或 $x + 4 = 0$
解得：$x_1=0$，$x_2=-4$
(2) 将方程$x^2 + 4x = 5(x + 4)$右侧项移到左侧，整理得：
$x(x + 4) - 5(x + 4) = 0$
提公因式$(x + 4)$，得：
$(x + 4)(x - 5) = 0$
令两个因式分别为0，得：
$x + 4 = 0$ 或 $x - 5 = 0$
解得：$x_1=-4$，$x_2=5$
(3) 将方程$x(x - 5) + 2x - 10 = 0$后两项提公因式2，整理得：
$x(x - 5) + 2(x - 5) = 0$
提公因式$(x - 5)$，得：
$(x - 5)(x + 2) = 0$
令两个因式分别为0，得：
$x - 5 = 0$ 或 $x + 2 = 0$
解得：$x_1=5$，$x_2=-2$
(4) 将方程$2(x - 4)^2 = 16 - x^2$右侧项移到左侧，利用平方差公式将$16-x^2$变形为$-(x-4)(x+4)$，整理得：
$2(x - 4)^2 + (x - 4)(x + 4) = 0$
提公因式$(x - 4)$，得：
$(x - 4)[2(x - 4) + x + 4] = 0$
化简括号内的式子得$3x - 4$，因此方程变为：
$(x - 4)(3x - 4) = 0$
令两个因式分别为0，得：
$x - 4 = 0$ 或 $3x - 4 = 0$
解得：$x_1=4$，$x_2=\frac{4}{3}$
【答案】
(1) $x_1=-4,x_2=0$ (2) $x_1=-4,x_2=5$ (3) $x_1=-2,x_2=5$ (4) $x_1=4,x_2=\frac{4}{3}$
【知识点】
因式分解法解方程、提公因式因式分解、平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的典型训练题，覆盖了该方法下常见的因式分解技巧，熟练掌握后能大幅提升对应类型方程的解题速度和准确率。
【难度系数】
0.7
7. 把数用大括号围起来，如：$\{2\},\{-1.5,0\}$，我们称之为“集”，其中大括号内的数称其为“集”的元素。如果一个“集”满足：只要其中有一个元素$a$，使得$a^2 + a$还是这个“集”的元素，这样的“集”我们称之为“回归集”。若“集”$\{2,n\}$是“回归集”，则$n$值的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
D
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
7. D
解析
【分析】
解题首先要准确理解“回归集”的定义：集合中只要存在一个元素$a$，使得$a^2+a$也是该集合的元素即可。已知集合为$\{2,n\}$，仅含2和$n$两个元素，因此我们分两类情况讨论：第一类取$a=2$，计算$a^2+a$的值，令该值属于集合即可得到$n$的一个可能取值；第二类取$a=n$，此时$n^2+n$只能是集合中的2或$n$，分别列方程求解即可，最后统计所有不重复的$n$的个数。
【解析】
根据“回归集”的定义，集合$\{2,n\}$中存在元素$a$，满足$a^2+a \in \{2,n\}$，分情况讨论：
1. 当$a=2$时：
计算得$a^2+a=2^2+2=6$，因此6必须是集合的元素，即$n=6$；
2. 当$a=n$时，$n^2+n$只能等于2或$n$，分别解方程：
① 若$n^2+n=2$，整理得$n^2+n-2=0$，因式分解得$(n+2)(n-1)=0$，解得$n_1=-2$，$n_2=1$；
② 若$n^2+n=n$，整理得$n^2=0$，解得$n_3=0$。
综上，$n$的取值为6、-2、1、0，共4个不同的值。
【答案】
D
【知识点】
新定义理解，一元二次方程求解，分类讨论思想
【点评】
本题是典型的新定义题型，解题核心是抓住新定义的规则，合理分类讨论避免漏解，再通过解一元二次方程得到所有可能的取值，最后注意去重统计数量即可。
【难度系数】
0.6
解题首先要准确理解“回归集”的定义：集合中只要存在一个元素$a$，使得$a^2+a$也是该集合的元素即可。已知集合为$\{2,n\}$，仅含2和$n$两个元素，因此我们分两类情况讨论：第一类取$a=2$，计算$a^2+a$的值，令该值属于集合即可得到$n$的一个可能取值；第二类取$a=n$，此时$n^2+n$只能是集合中的2或$n$，分别列方程求解即可，最后统计所有不重复的$n$的个数。
【解析】
根据“回归集”的定义，集合$\{2,n\}$中存在元素$a$，满足$a^2+a \in \{2,n\}$，分情况讨论：
1. 当$a=2$时：
计算得$a^2+a=2^2+2=6$，因此6必须是集合的元素，即$n=6$；
2. 当$a=n$时，$n^2+n$只能等于2或$n$，分别解方程：
① 若$n^2+n=2$，整理得$n^2+n-2=0$，因式分解得$(n+2)(n-1)=0$，解得$n_1=-2$，$n_2=1$；
② 若$n^2+n=n$，整理得$n^2=0$，解得$n_3=0$。
综上，$n$的取值为6、-2、1、0，共4个不同的值。
【答案】
D
【知识点】
新定义理解，一元二次方程求解，分类讨论思想
【点评】
本题是典型的新定义题型，解题核心是抓住新定义的规则，合理分类讨论避免漏解，再通过解一元二次方程得到所有可能的取值，最后注意去重统计数量即可。
【难度系数】
0.6
8. 三角形两边的长分别是7和11，第三边的长是一元二次方程$x^2 -25=2(x-5)^2$的一个实数根，则该三角形的周长是（
A.23
B.23或33
C.24
D.24或30
B
）A.23
B.23或33
C.24
D.24或30
答案
8. B
解析
【分析】
解题分两步推进：第一步先求解给定的一元二次方程，得到第三边的可能取值；第二步依据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），验证得到的根是否能和已知的7、11构成三角形，最后计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
$\begin{aligned}x^2 -25&=2(x-5)^2\\x^2 -25&=2(x^2 -10x +25)\\x^2 -25&=2x^2 -20x +50\\-x^2 +20x -75&=0\\x^2 -20x +75&=0\\(x-5)(x-15)&=0\end{aligned}$
解得 $x_1=5$，$x_2=15$。
2. 验证三角形三边关系：
已知三角形两边长为7和11：
当第三边长为5时，$5+7=12＞11$，$11-7=4＜5$，满足三边关系，此时周长为 $7+11+5=23$；
当第三边长为15时，$7+11=18＞15$，$15-7=8＜11$，满足三边关系，此时周长为 $7+11+15=33$。
因此该三角形的周长是23或33。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解法；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，求解时要注意，得到一元二次方程的根后，必须结合三角形三边关系验证根的合理性，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
解题分两步推进：第一步先求解给定的一元二次方程，得到第三边的可能取值；第二步依据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），验证得到的根是否能和已知的7、11构成三角形，最后计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
$\begin{aligned}x^2 -25&=2(x-5)^2\\x^2 -25&=2(x^2 -10x +25)\\x^2 -25&=2x^2 -20x +50\\-x^2 +20x -75&=0\\x^2 -20x +75&=0\\(x-5)(x-15)&=0\end{aligned}$
解得 $x_1=5$，$x_2=15$。
2. 验证三角形三边关系：
已知三角形两边长为7和11：
当第三边长为5时，$5+7=12＞11$，$11-7=4＜5$，满足三边关系，此时周长为 $7+11+5=23$；
当第三边长为15时，$7+11=18＞15$，$15-7=8＜11$，满足三边关系，此时周长为 $7+11+15=33$。
因此该三角形的周长是23或33。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解法；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，求解时要注意，得到一元二次方程的根后，必须结合三角形三边关系验证根的合理性，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
9. 若某三角形两边的长分别是方程 $x(x - 9) + 4(9 - x) = 0$ 的两个实数根，则这个三角形第三边的长可能是 （
A.5
B.10
C.13
D.14
B
）A.5
B.10
C.13
D.14
答案
9. B
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步先求解给定的一元二次方程，得到三角形已知两条边的长度；第二步利用三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求出第三边的取值范围；第三步对照选项，选出落在取值范围内的结果即可。
【解析】
首先解方程 $x(x - 9) + 4(9 - x) = 0$：
对原式变形得 $x(x - 9) - 4(x - 9) = 0$，
提取公因式$(x - 9)$可得 $(x - 9)(x - 4) = 0$，
因此$x - 9 = 0$或$x - 4 = 0$，解得$x_1 = 9$，$x_2 = 4$，即三角形两条边长分别为4和9。
设第三边长为$c$，根据三角形三边关系可得：
$9 - 4 ＜ c ＜ 9 + 4$，即$5 ＜ c ＜ 13$。
结合选项，只有10满足该取值范围，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，三角形三边关系
【点评】
本题是一元二次方程解法和三角形性质的综合基础题，解题核心是准确求出方程的根，再结合三边关系筛选选项，注意三边关系中的不等号是严格的，端点值不能取。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步：第一步先求解给定的一元二次方程，得到三角形已知两条边的长度；第二步利用三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求出第三边的取值范围；第三步对照选项，选出落在取值范围内的结果即可。
【解析】
首先解方程 $x(x - 9) + 4(9 - x) = 0$：
对原式变形得 $x(x - 9) - 4(x - 9) = 0$，
提取公因式$(x - 9)$可得 $(x - 9)(x - 4) = 0$，
因此$x - 9 = 0$或$x - 4 = 0$，解得$x_1 = 9$，$x_2 = 4$，即三角形两条边长分别为4和9。
设第三边长为$c$，根据三角形三边关系可得：
$9 - 4 ＜ c ＜ 9 + 4$，即$5 ＜ c ＜ 13$。
结合选项，只有10满足该取值范围，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，三角形三边关系
【点评】
本题是一元二次方程解法和三角形性质的综合基础题，解题核心是准确求出方程的根，再结合三边关系筛选选项，注意三边关系中的不等号是严格的，端点值不能取。
【难度系数】
0.7
10. 如果等腰三角形每条边的长都是方程$x^2 -5x +4=0$的解，那么它的周长为
9或3或12
.答案
10. 9或3或12
解析
【分析】
解题思路可分为三步：① 先求解一元二次方程，得到等腰三角形边长的所有可能取值；② 结合等腰三角形“至少两边相等”的性质，枚举所有可能的边长组合（注意等边三角形是特殊的等腰三角形，不要遗漏三边均相等的情况）；③ 利用三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”逐一验证组合是否成立，计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
首先解方程$x^2 - 5x + 4 = 0$，因式分解得：
$(x - 1)(x - 4) = 0$
解得$x_1 = 1$，$x_2 = 4$，即等腰三角形的边长只能是1或4。
结合等腰三角形的性质分情况讨论：
1. 三角形为等边三角形（特殊等腰三角形）：
若三边均为1，满足三角形三边关系，周长为$1+1+1=3$；
若三边均为4，满足三角形三边关系，周长为$4+4+4=12$；
2. 三角形为腰和底不相等的等腰三角形：
若腰长为1，底边长为4，此时$1+1=2＜4$，不满足三角形三边关系，舍去该组合；
若腰长为4，底边长为1，此时三边为4、4、1，满足$1+4＞4$，符合三边关系，周长为$4+4+1=9$。
综上，符合条件的周长为3或9或12。
【答案】
9或3或12
【知识点】
一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题是方程与几何性质的综合题，解题核心是分类讨论思想的应用，易错点为遗漏等边三角形这一特殊等腰三角形的情况，或未通过三边关系验证排除无效的边长组合。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为三步：① 先求解一元二次方程，得到等腰三角形边长的所有可能取值；② 结合等腰三角形“至少两边相等”的性质，枚举所有可能的边长组合（注意等边三角形是特殊的等腰三角形，不要遗漏三边均相等的情况）；③ 利用三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”逐一验证组合是否成立，计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
首先解方程$x^2 - 5x + 4 = 0$，因式分解得：
$(x - 1)(x - 4) = 0$
解得$x_1 = 1$，$x_2 = 4$，即等腰三角形的边长只能是1或4。
结合等腰三角形的性质分情况讨论：
1. 三角形为等边三角形（特殊等腰三角形）：
若三边均为1，满足三角形三边关系，周长为$1+1+1=3$；
若三边均为4，满足三角形三边关系，周长为$4+4+4=12$；
2. 三角形为腰和底不相等的等腰三角形：
若腰长为1，底边长为4，此时$1+1=2＜4$，不满足三角形三边关系，舍去该组合；
若腰长为4，底边长为1，此时三边为4、4、1，满足$1+4＞4$，符合三边关系，周长为$4+4+1=9$。
综上，符合条件的周长为3或9或12。
【答案】
9或3或12
【知识点】
一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题是方程与几何性质的综合题，解题核心是分类讨论思想的应用，易错点为遗漏等边三角形这一特殊等腰三角形的情况，或未通过三边关系验证排除无效的边长组合。
【难度系数】
0.6
11. 若代数式$4x^2 - 2x - 1$与$-3x^2 + 2$的值互为相反数，则$x$的值是
1
.答案
11. 1
解析
【分析】
本题解题核心是利用相反数的性质建立方程。首先回忆：互为相反数的两个数之和为0，因此可将题目中的两个代数式相加令其等于0，得到关于x的方程；接下来对等式左边进行整式的加减运算，合并同类项整理为一元二次方程的标准形式，再用完全平方公式因式分解求解方程，即可得到x的值。
【解析】
解：
∵ 代数式$4x^2 - 2x - 1$与$-3x^2 + 2$互为相反数
∴ 根据互为相反数的两数之和为0，可得：
$4x^2 - 2x - 1 + (-3x^2 + 2) = 0$
去括号、合并同类项得：
$x^2 - 2x + 1 = 0$
由完全平方公式因式分解得：
$(x - 1)^2 = 0$
解得：$x_1 = x_2 = 1$
即x的值为1。
【答案】
1
【知识点】
相反数的性质，一元二次方程的解法，整式的加减运算
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握相反数的性质，能根据题意正确列出方程，再通过化简、解一元二次方程得到结果，计算量小，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题解题核心是利用相反数的性质建立方程。首先回忆：互为相反数的两个数之和为0，因此可将题目中的两个代数式相加令其等于0，得到关于x的方程；接下来对等式左边进行整式的加减运算，合并同类项整理为一元二次方程的标准形式，再用完全平方公式因式分解求解方程，即可得到x的值。
【解析】
解：
∵ 代数式$4x^2 - 2x - 1$与$-3x^2 + 2$互为相反数
∴ 根据互为相反数的两数之和为0，可得：
$4x^2 - 2x - 1 + (-3x^2 + 2) = 0$
去括号、合并同类项得：
$x^2 - 2x + 1 = 0$
由完全平方公式因式分解得：
$(x - 1)^2 = 0$
解得：$x_1 = x_2 = 1$
即x的值为1。
【答案】
1
【知识点】
相反数的性质，一元二次方程的解法，整式的加减运算
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握相反数的性质，能根据题意正确列出方程，再通过化简、解一元二次方程得到结果，计算量小，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
12. 对于实数$m,n$,定义运算“$\otimes$”如下:$m\otimes n=m^2 - 2mn$.若$(x+1)\otimes(x-2)=5$,则$x$的值为________.
答案
12. 0或4
解析
【分析】
解题时首先要准确理解新定义运算“⊗”的规则：$m\otimes n=m^2 - 2mn$，先确定本题中对应$m=x+1$，$n=x-2$，将其代入运算规则即可得到关于$x$的方程，再通过整式化简整理为一元二次方程，最后求解方程得到$x$的取值。
【解析】
根据新定义的运算规则，将$m=x+1$，$n=x-2$代入$(x+1)\otimes(x-2)=5$，可得：
$(x+1)^2 - 2(x+1)(x-2) = 5$
展开并化简左边：
首先计算$(x+1)^2=x^2+2x+1$，
再计算$2(x+1)(x-2)=2(x^2-x-2)=2x^2-2x-4$，
因此原式可转化为：
$x^2+2x+1 - (2x^2-2x-4) = 5$
去括号合并同类项得：
$-x^2+4x+5=5$
移项整理为一元二次方程的标准形式：
$x^2-4x=0$
提取公因式因式分解得：
$x(x-4)=0$
解得$x_1=0$，$x_2=4$。
【答案】
0或4
【知识点】
新定义运算、整式化简、解一元二次方程
【点评】
本题将新定义运算与一元二次方程求解结合，核心是正确理解新运算规则，把新运算转化为常规整式运算，计算时要注意符号问题，避免展开时出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先要准确理解新定义运算“⊗”的规则：$m\otimes n=m^2 - 2mn$，先确定本题中对应$m=x+1$，$n=x-2$，将其代入运算规则即可得到关于$x$的方程，再通过整式化简整理为一元二次方程，最后求解方程得到$x$的取值。
【解析】
根据新定义的运算规则，将$m=x+1$，$n=x-2$代入$(x+1)\otimes(x-2)=5$，可得：
$(x+1)^2 - 2(x+1)(x-2) = 5$
展开并化简左边：
首先计算$(x+1)^2=x^2+2x+1$，
再计算$2(x+1)(x-2)=2(x^2-x-2)=2x^2-2x-4$，
因此原式可转化为：
$x^2+2x+1 - (2x^2-2x-4) = 5$
去括号合并同类项得：
$-x^2+4x+5=5$
移项整理为一元二次方程的标准形式：
$x^2-4x=0$
提取公因式因式分解得：
$x(x-4)=0$
解得$x_1=0$，$x_2=4$。
【答案】
0或4
【知识点】
新定义运算、整式化简、解一元二次方程
【点评】
本题将新定义运算与一元二次方程求解结合，核心是正确理解新运算规则，把新运算转化为常规整式运算，计算时要注意符号问题，避免展开时出错。
【难度系数】
0.7
