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13 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛. 问大小器各容几何.”意思是：“有大、小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛. 问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛.”请解答.
答案
解:设1个大桶可以盛酒x斛,1个小桶可以盛酒y斛.
根据题意,得$\begin{cases}5x + y = 3, \\x + 5y = 2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = \dfrac{13}{24}, \\y = \dfrac{7}{24}.\end{cases}$
答:1个大桶可以盛酒$\dfrac{13}{24}$斛,1个小桶可以盛酒$\dfrac{7}{24}$斛.
根据题意,得$\begin{cases}5x + y = 3, \\x + 5y = 2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = \dfrac{13}{24}, \\y = \dfrac{7}{24}.\end{cases}$
答:1个大桶可以盛酒$\dfrac{13}{24}$斛,1个小桶可以盛酒$\dfrac{7}{24}$斛.
解析
【分析】
本题是二元一次方程组的实际应用题，解题思路如下：首先明确待求量为1个大桶、1个小桶的盛酒量，因此设两个未知数分别对应两个待求量；接着从题干中提取两个等量关系：①5个大桶的盛酒量+1个小桶的盛酒量=3斛，②1个大桶的盛酒量+5个小桶的盛酒量=2斛，根据等量关系列出二元一次方程组；最后用七年级所学的加减消元法或代入消元法求解方程组，即可得到最终结果。
【解析】
解：设1个大桶可以盛酒$x$斛，1个小桶可以盛酒$y$斛。
根据题意，列方程组得：
$\begin{cases}5x + y = 3 \quad \mathrm{①} \\x + 5y = 2 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用加减消元法求解：将①式两边同时乘5，得$25x + 5y = 15$ ③
用③式减去②式，得$24x = 13$，解得$x = \dfrac{13}{24}$
把$x = \dfrac{13}{24}$代入①式，得$5×\dfrac{13}{24} + y = 3$，计算得$y = 3 - \dfrac{65}{24} = \dfrac{7}{24}$
因此方程组的解为$\begin{cases}x = \dfrac{13}{24} \\y = \dfrac{7}{24}\end{cases}$
答：1个大桶可以盛酒$\dfrac{13}{24}$斛，1个小桶可以盛酒$\dfrac{7}{24}$斛。
【答案】
1个大桶可以盛酒$\dfrac{13}{24}$斛，1个小桶可以盛酒$\dfrac{7}{24}$斛。
【知识点】
二元一次方程组的应用；加减消元法解方程组
【点评】
本题以古代数学经典问题为载体，考查将实际问题转化为数学模型求解的能力，解题核心是准确提取题干中的等量关系列出方程组，计算难度较低，熟练掌握二元一次方程组的解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
本题是二元一次方程组的实际应用题，解题思路如下：首先明确待求量为1个大桶、1个小桶的盛酒量，因此设两个未知数分别对应两个待求量；接着从题干中提取两个等量关系：①5个大桶的盛酒量+1个小桶的盛酒量=3斛，②1个大桶的盛酒量+5个小桶的盛酒量=2斛，根据等量关系列出二元一次方程组；最后用七年级所学的加减消元法或代入消元法求解方程组，即可得到最终结果。
【解析】
解：设1个大桶可以盛酒$x$斛，1个小桶可以盛酒$y$斛。
根据题意，列方程组得：
$\begin{cases}5x + y = 3 \quad \mathrm{①} \\x + 5y = 2 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用加减消元法求解：将①式两边同时乘5，得$25x + 5y = 15$ ③
用③式减去②式，得$24x = 13$，解得$x = \dfrac{13}{24}$
把$x = \dfrac{13}{24}$代入①式，得$5×\dfrac{13}{24} + y = 3$，计算得$y = 3 - \dfrac{65}{24} = \dfrac{7}{24}$
因此方程组的解为$\begin{cases}x = \dfrac{13}{24} \\y = \dfrac{7}{24}\end{cases}$
答：1个大桶可以盛酒$\dfrac{13}{24}$斛，1个小桶可以盛酒$\dfrac{7}{24}$斛。
【答案】
1个大桶可以盛酒$\dfrac{13}{24}$斛，1个小桶可以盛酒$\dfrac{7}{24}$斛。
【知识点】
二元一次方程组的应用；加减消元法解方程组
【点评】
本题以古代数学经典问题为载体，考查将实际问题转化为数学模型求解的能力，解题核心是准确提取题干中的等量关系列出方程组，计算难度较低，熟练掌握二元一次方程组的解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
14 湛江徐闻,被誉为“菠萝的海”,农户们在农业技术员的指导下优化种植.小明家增加了种植菠萝的投资,使今年的菠萝喜获丰收.下面是小明的爸爸、妈妈的一段对话.请你用学过的知识帮助小明算出他家今年种植菠萝的收入.(收入 - 投资 = 净赚)
老李(爸爸)说:“阿菊,我算了一下,今年我们家种植菠萝的收入比去年增加了35%,不过投资也增加了10%.”
阿菊(妈妈)说:“老李,没关系.你看我们家去年只净赚了8 000元,今年却净赚了11 800元,增加投资值得!”
小明家今年种植菠萝的收入是多少元?
老李(爸爸)说:“阿菊,我算了一下,今年我们家种植菠萝的收入比去年增加了35%,不过投资也增加了10%.”
阿菊(妈妈)说:“老李,没关系.你看我们家去年只净赚了8 000元,今年却净赚了11 800元,增加投资值得!”
小明家今年种植菠萝的收入是多少元?
答案
解:设小明家去年种植菠萝的收入为x元,投资为y元,则小明家今年种植菠萝的收入为$(1+35\%)x$元,投资为$(1+10\%)y$元.
根据题意,得
$\begin{cases}x - y = 8\ 000, \\(1+35\%)x - (1+10\%)y = 11\ 800,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 12\ 000, \\y = 4\ 000.\end{cases}$
所以小明家今年种植菠萝的收入为$(1+35\%)×12\ 000 = 16\ 200$(元).
答:小明家今年种植菠萝的收入为16 200元.
根据题意,得
$\begin{cases}x - y = 8\ 000, \\(1+35\%)x - (1+10\%)y = 11\ 800,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 12\ 000, \\y = 4\ 000.\end{cases}$
所以小明家今年种植菠萝的收入为$(1+35\%)×12\ 000 = 16\ 200$(元).
答:小明家今年种植菠萝的收入为16 200元.
解析
【分析】
解题核心是利用“净赚=收入-投资”的等量关系求解。题目给出了去年、今年的净赚金额，以及今年收入、投资相对去年的增长率，存在去年收入、去年投资两个未知量，适合通过设立二元一次方程组解答。首先设去年收入为x元、投资为y元，用含x、y的式子表示出今年的收入和投资，再根据两年的净赚金额列方程，解出x后即可计算今年的收入。
【解析】
解：设小明家去年种植菠萝的收入为x元，投资为y元，则小明家今年种植菠萝的收入为$(1+35\%)x$元，投资为$(1+10\%)y$元。
根据题意，得
$\begin{cases}x - y = 8000, \\(1+35\%)x - (1+10\%)y = 11800,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 12000, \\y = 4000.\end{cases}$
所以小明家今年种植菠萝的收入为$(1+35\%)×12000 = 16200$(元)。
答：小明家今年种植菠萝的收入为16200元。
【答案】
16200元
【知识点】
二元一次方程组应用，增长率计算，利润公式应用
【点评】
本题结合农业生产实际设置场景，考查学生将实际问题转化为数学模型的应用能力，解题关键是找准不同年份收入、投资、净赚三者的对应等量关系，审题时注意区分各数量对应的年份，计算难度较低，细心作答即可得分。
【难度系数】
0.7
解题核心是利用“净赚=收入-投资”的等量关系求解。题目给出了去年、今年的净赚金额，以及今年收入、投资相对去年的增长率，存在去年收入、去年投资两个未知量，适合通过设立二元一次方程组解答。首先设去年收入为x元、投资为y元，用含x、y的式子表示出今年的收入和投资，再根据两年的净赚金额列方程，解出x后即可计算今年的收入。
【解析】
解：设小明家去年种植菠萝的收入为x元，投资为y元，则小明家今年种植菠萝的收入为$(1+35\%)x$元，投资为$(1+10\%)y$元。
根据题意，得
$\begin{cases}x - y = 8000, \\(1+35\%)x - (1+10\%)y = 11800,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 12000, \\y = 4000.\end{cases}$
所以小明家今年种植菠萝的收入为$(1+35\%)×12000 = 16200$(元)。
答：小明家今年种植菠萝的收入为16200元。
【答案】
16200元
【知识点】
二元一次方程组应用，增长率计算，利润公式应用
【点评】
本题结合农业生产实际设置场景，考查学生将实际问题转化为数学模型的应用能力，解题关键是找准不同年份收入、投资、净赚三者的对应等量关系，审题时注意区分各数量对应的年份，计算难度较低，细心作答即可得分。
【难度系数】
0.7
