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15 小王和小赵均打算围成一个长边靠墙的长方形养鸡场，已知墙长14米，其他三边用竹篱笆围成. 现有长35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个长比宽多5米的养鸡场，小赵打算用它围成一个长比宽多2米的养鸡场. 谁的设计符合实际？按照他的设计，养鸡场的面积多大？
答案
解:根据小王的设计可以设垂直于墙的一边长为x米,平行于墙的一边长为y米.
根据题意,得$\begin{cases}2x + y = 35, \\y - x = 5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x = 10, \\y = 15.\end{cases}$
因为墙的长只有14米,所以小王的设计不符合实际.
根据小赵的设计可以设垂直于墙的一边长为a米,平行于墙的一边长为b米.
根据题意,得$\begin{cases}2a + b = 35, \\b - a = 2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a = 11, \\b = 13.\end{cases}$
因为墙的长为14米,所以小赵的设计符合实际.
所以养鸡场的面积为$11×13 = 143$(平方米).
答:小赵的设计符合实际,按照他的设计,养鸡场的面积为143平方米.
根据题意,得$\begin{cases}2x + y = 35, \\y - x = 5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x = 10, \\y = 15.\end{cases}$
因为墙的长只有14米,所以小王的设计不符合实际.
根据小赵的设计可以设垂直于墙的一边长为a米,平行于墙的一边长为b米.
根据题意,得$\begin{cases}2a + b = 35, \\b - a = 2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a = 11, \\b = 13.\end{cases}$
因为墙的长为14米,所以小赵的设计符合实际.
所以养鸡场的面积为$11×13 = 143$(平方米).
答:小赵的设计符合实际,按照他的设计,养鸡场的面积为143平方米.
解析
【分析】
本题需要分别验证小王、小赵的设计是否符合实际，核心判断依据是靠墙的长边长度不能超过墙长14米。解题时可分别对两人的设计设未知数：将垂直于墙的边长为宽，平行于墙的边长为长，根据“竹篱笆总长=2个宽+1个长”以及两人设计的长与宽的差值关系列二元一次方程组求解，再把解得的长和墙长14米比较，长≤14米的设计符合实际，最后根据符合要求的长、宽计算养鸡场面积即可。
【解析】
验证小王的设计：
设垂直于墙的一边长为$x$米，平行于墙的一边长为$y$米。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 35 \\ y - x = 5 \end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 10 \\ y = 15 \end{cases}$
由于墙长仅14米，$15＞14$，因此小王的设计不符合实际。
验证小赵的设计：
设垂直于墙的一边长为$a$米，平行于墙的一边长为$b$米。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}2a + b = 35 \\ b - a = 2 \end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 11 \\ b = 13 \end{cases}$
由于$13＜14$，因此小赵的设计符合实际。
按照小赵的设计，养鸡场面积为$11×13=143$（平方米）。
【答案】
小赵的设计符合实际，按照他的设计，养鸡场的面积为143平方米。
【知识点】
二元一次方程组应用，实际问题合理性检验，长方形面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查方程的实际应用，解题的关键是明确靠墙边长不能超过墙长，需对计算结果进行合理性检验，避免忽略实际限制导致错误。
【难度系数】
0.7
本题需要分别验证小王、小赵的设计是否符合实际，核心判断依据是靠墙的长边长度不能超过墙长14米。解题时可分别对两人的设计设未知数：将垂直于墙的边长为宽，平行于墙的边长为长，根据“竹篱笆总长=2个宽+1个长”以及两人设计的长与宽的差值关系列二元一次方程组求解，再把解得的长和墙长14米比较，长≤14米的设计符合实际，最后根据符合要求的长、宽计算养鸡场面积即可。
【解析】
验证小王的设计：
设垂直于墙的一边长为$x$米，平行于墙的一边长为$y$米。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 35 \\ y - x = 5 \end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 10 \\ y = 15 \end{cases}$
由于墙长仅14米，$15＞14$，因此小王的设计不符合实际。
验证小赵的设计：
设垂直于墙的一边长为$a$米，平行于墙的一边长为$b$米。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}2a + b = 35 \\ b - a = 2 \end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 11 \\ b = 13 \end{cases}$
由于$13＜14$，因此小赵的设计符合实际。
按照小赵的设计，养鸡场面积为$11×13=143$（平方米）。
【答案】
小赵的设计符合实际，按照他的设计，养鸡场的面积为143平方米。
【知识点】
二元一次方程组应用，实际问题合理性检验，长方形面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查方程的实际应用，解题的关键是明确靠墙边长不能超过墙长，需对计算结果进行合理性检验，避免忽略实际限制导致错误。
【难度系数】
0.7
16 阅读下列材料并填空：
对于二元一次方程组$\begin{cases}4x + 3y =54, \\x +3y =36,\end{cases}$我们可以将$x,y$的系数和相应的常数项排成一个数表$\begin{pmatrix}4&3&54 \\1&3&36\end{pmatrix}$,通过运算将数表变为$\begin{pmatrix}1&0&a \\0&1&b\end{pmatrix}$,即得到该二元一次方程组的解为$\begin{cases}x=a, \\y=b.\end{cases}$用数表简化表达解二元一次方程组$\begin{cases}4x +3y =54, \\x +3y =36\end{cases}$的过程如下：
$\begin{pmatrix}1&0&6 \\0&3&30\end{pmatrix}\xrightarrow{\mathrm{下行} ÷3}$ ______ ,从而得到该方程组的解是$\begin{cases}x=\_\_\_\_\_\_, \\y=\_\_\_\_\_\_.\end{cases}$
(1)请补全过程中的空白；
(2)仿照材料中数表的书写格式写出解方程组$\begin{cases}2x +3y =6, \\x + y =2\end{cases}$的过程.
对于二元一次方程组$\begin{cases}4x + 3y =54, \\x +3y =36,\end{cases}$我们可以将$x,y$的系数和相应的常数项排成一个数表$\begin{pmatrix}4&3&54 \\1&3&36\end{pmatrix}$,通过运算将数表变为$\begin{pmatrix}1&0&a \\0&1&b\end{pmatrix}$,即得到该二元一次方程组的解为$\begin{cases}x=a, \\y=b.\end{cases}$用数表简化表达解二元一次方程组$\begin{cases}4x +3y =54, \\x +3y =36\end{cases}$的过程如下：
$\begin{pmatrix}1&0&6 \\0&3&30\end{pmatrix}\xrightarrow{\mathrm{下行} ÷3}$ ______ ,从而得到该方程组的解是$\begin{cases}x=\_\_\_\_\_\_, \\y=\_\_\_\_\_\_.\end{cases}$
(1)请补全过程中的空白；
(2)仿照材料中数表的书写格式写出解方程组$\begin{cases}2x +3y =6, \\x + y =2\end{cases}$的过程.
答案
(1)在空白处依次填入:下行$-$上行,
$\begin{pmatrix}1&0&6 \\0&1&10\end{pmatrix},6,10.$
(2)$\begin{array}{r}上行\\下行\end{array}\begin{pmatrix}2&3&6 \\1&1&2\end{pmatrix}\xrightarrow{上行×2}\begin{pmatrix}2&3&6 \\2&2&4\end{pmatrix}\xrightarrow{上行-下行}\begin{pmatrix}0&1&2 \\2&2&4\end{pmatrix}\xrightarrow{下行÷2}\begin{pmatrix}0&1&2 \\1&1&2\end{pmatrix}\xrightarrow{下行-上行}\begin{pmatrix}0&1&2 \\1&0&0\end{pmatrix}$,所以这个方程组的解是$\begin{cases}x = 0, \\y = 2.\end{cases}$(运算过程不唯一)
$\begin{pmatrix}1&0&6 \\0&1&10\end{pmatrix},6,10.$
(2)$\begin{array}{r}上行\\下行\end{array}\begin{pmatrix}2&3&6 \\1&1&2\end{pmatrix}\xrightarrow{上行×2}\begin{pmatrix}2&3&6 \\2&2&4\end{pmatrix}\xrightarrow{上行-下行}\begin{pmatrix}0&1&2 \\2&2&4\end{pmatrix}\xrightarrow{下行÷2}\begin{pmatrix}0&1&2 \\1&1&2\end{pmatrix}\xrightarrow{下行-上行}\begin{pmatrix}0&1&2 \\1&0&0\end{pmatrix}$,所以这个方程组的解是$\begin{cases}x = 0, \\y = 2.\end{cases}$(运算过程不唯一)
解析
【分析】
这道题用数表行变换的形式解二元一次方程组，本质就是我们熟悉的加减消元法，每一步行变换都符合等式的性质，不会改变方程组的解，最终目标是把数表变为$\begin{pmatrix}1&0&a \\0&1&b\end{pmatrix}$的形式，就可以直接读出解$x=a,y=b$。
(1) 对于当前数表$\begin{pmatrix}1&0&6 \\1&3&36\end{pmatrix}$，首先要消去下行第一个位置的1：用下行的每一项减去上行对应项，就能让下行第一个数变成0，得到$\begin{pmatrix}1&0&6 \\0&3&30\end{pmatrix}$；接下来要把下行y的系数3化为1，把下行所有项都除以3即可得到目标数表，直接读出x、y的值。
(2) 解第二个方程组时，先把方程组的系数和常数项排成数表，通过行变换逐步消元：可以先给某一行乘适当的数，让两个方程中同一个未知数的系数相同，再做减法消去这个未知数，最终把数表化为对角为1的形式，就能得到解。
【解析】
(1) 第一步：对数表$\begin{pmatrix}1&0&6 \\1&3&36\end{pmatrix}$执行$\boxed{下行-上行}$操作：
下行各元素计算为$1-1=0$，$3-0=3$，$36-6=30$，得到数表$\begin{pmatrix}1&0&6 \\0&3&30\end{pmatrix}$；
第二步：对上述数表执行$下行÷3$操作：
下行各元素计算为$0÷3=0$，$3÷3=1$，$30÷3=10$，得到数表$\boxed{\begin{pmatrix}1&0&6 \\0&1&10\end{pmatrix}}$；
根据数表的意义，可得方程组的解为$x=6$，$y=10$。
(2) 解方程组$\begin{cases}2x+3y=6 \\x+y=2\end{cases}$的数表过程如下：
先写出系数和常数项对应的数表，再逐步做行变换：
$\begin{array}{r}上行\\下行\end{array}\begin{pmatrix}2&3&6 \\1&1&2\end{pmatrix}\xrightarrow{下行×2}\begin{pmatrix}2&3&6 \\2&2&4\end{pmatrix}\xrightarrow{上行-下行}\begin{pmatrix}0&1&2 \\2&2&4\end{pmatrix}\xrightarrow{下行÷2}\begin{pmatrix}0&1&2 \\1&1&2\end{pmatrix}\xrightarrow{下行-上行}\begin{pmatrix}0&1&2 \\1&0&0\end{pmatrix}$
调整行顺序后对应$\begin{pmatrix}1&0&0 \\0&1&2\end{pmatrix}$，即可得到方程组的解。（运算过程不唯一，只要变换合理结果正确即可）
【答案】
(1) 下行$-$上行，$\begin{pmatrix}1&0&6 \\0&1&10\end{pmatrix}$，$6$，$10$；
(2) $\begin{array}{r}上行\\下行\end{array}\begin{pmatrix}2&3&6 \\1&1&2\end{pmatrix}\xrightarrow{下行×2}\begin{pmatrix}2&3&6 \\2&2&4\end{pmatrix}\xrightarrow{上行-下行}\begin{pmatrix}0&1&2 \\2&2&4\end{pmatrix}\xrightarrow{下行÷2}\begin{pmatrix}0&1&2 \\1&1&2\end{pmatrix}\xrightarrow{下行-上行}\begin{pmatrix}0&1&2 \\1&0&0\end{pmatrix}$，方程组的解为$\begin{cases}x=0 \\ y=2\end{cases}$（过程不唯一）。
【知识点】
1. 加减消元法
2. 等式的性质
3. 二元一次方程组的解
【点评】
本题以数表变换的新形式考查二元一次方程组的解法，核心是加减消元法的应用，需要学生理解数表行变换和方程变形的对应关系，能很好地考查知识迁移和灵活应用的能力，解题时只要围绕消元的目标合理做行变换即可。
【难度系数】
0.65
这道题用数表行变换的形式解二元一次方程组，本质就是我们熟悉的加减消元法，每一步行变换都符合等式的性质，不会改变方程组的解，最终目标是把数表变为$\begin{pmatrix}1&0&a \\0&1&b\end{pmatrix}$的形式，就可以直接读出解$x=a,y=b$。
(1) 对于当前数表$\begin{pmatrix}1&0&6 \\1&3&36\end{pmatrix}$，首先要消去下行第一个位置的1：用下行的每一项减去上行对应项，就能让下行第一个数变成0，得到$\begin{pmatrix}1&0&6 \\0&3&30\end{pmatrix}$；接下来要把下行y的系数3化为1，把下行所有项都除以3即可得到目标数表，直接读出x、y的值。
(2) 解第二个方程组时，先把方程组的系数和常数项排成数表，通过行变换逐步消元：可以先给某一行乘适当的数，让两个方程中同一个未知数的系数相同，再做减法消去这个未知数，最终把数表化为对角为1的形式，就能得到解。
【解析】
(1) 第一步：对数表$\begin{pmatrix}1&0&6 \\1&3&36\end{pmatrix}$执行$\boxed{下行-上行}$操作：
下行各元素计算为$1-1=0$，$3-0=3$，$36-6=30$，得到数表$\begin{pmatrix}1&0&6 \\0&3&30\end{pmatrix}$；
第二步：对上述数表执行$下行÷3$操作：
下行各元素计算为$0÷3=0$，$3÷3=1$，$30÷3=10$，得到数表$\boxed{\begin{pmatrix}1&0&6 \\0&1&10\end{pmatrix}}$；
根据数表的意义，可得方程组的解为$x=6$，$y=10$。
(2) 解方程组$\begin{cases}2x+3y=6 \\x+y=2\end{cases}$的数表过程如下：
先写出系数和常数项对应的数表，再逐步做行变换：
$\begin{array}{r}上行\\下行\end{array}\begin{pmatrix}2&3&6 \\1&1&2\end{pmatrix}\xrightarrow{下行×2}\begin{pmatrix}2&3&6 \\2&2&4\end{pmatrix}\xrightarrow{上行-下行}\begin{pmatrix}0&1&2 \\2&2&4\end{pmatrix}\xrightarrow{下行÷2}\begin{pmatrix}0&1&2 \\1&1&2\end{pmatrix}\xrightarrow{下行-上行}\begin{pmatrix}0&1&2 \\1&0&0\end{pmatrix}$
调整行顺序后对应$\begin{pmatrix}1&0&0 \\0&1&2\end{pmatrix}$，即可得到方程组的解。（运算过程不唯一，只要变换合理结果正确即可）
【答案】
(1) 下行$-$上行，$\begin{pmatrix}1&0&6 \\0&1&10\end{pmatrix}$，$6$，$10$；
(2) $\begin{array}{r}上行\\下行\end{array}\begin{pmatrix}2&3&6 \\1&1&2\end{pmatrix}\xrightarrow{下行×2}\begin{pmatrix}2&3&6 \\2&2&4\end{pmatrix}\xrightarrow{上行-下行}\begin{pmatrix}0&1&2 \\2&2&4\end{pmatrix}\xrightarrow{下行÷2}\begin{pmatrix}0&1&2 \\1&1&2\end{pmatrix}\xrightarrow{下行-上行}\begin{pmatrix}0&1&2 \\1&0&0\end{pmatrix}$，方程组的解为$\begin{cases}x=0 \\ y=2\end{cases}$（过程不唯一）。
【知识点】
1. 加减消元法
2. 等式的性质
3. 二元一次方程组的解
【点评】
本题以数表变换的新形式考查二元一次方程组的解法，核心是加减消元法的应用，需要学生理解数表行变换和方程变形的对应关系，能很好地考查知识迁移和灵活应用的能力，解题时只要围绕消元的目标合理做行变换即可。
【难度系数】
0.65
