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1 已知线段c是线段a、b的比例中项，若$\frac{a}{c}=\frac{5}{4}$，则$\frac{b}{c}=(\quad)$。
A.$\frac{5}{4}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
A.$\frac{5}{4}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
答案
B
解析
【分析】
解题思路：首先回忆比例中项的定义，若c是a、b的比例中项，则a、c、b成连比例，即$\frac{a}{c}=\frac{c}{b}$。结合题目给出的$\frac{a}{c}=\frac{5}{4}$，可先得到$\frac{c}{b}$的值，再对该比例式取倒数就能求出$\frac{b}{c}$的结果。
【解析】
∵线段c是线段a、b的比例中项，
根据比例中项的定义可得：$\frac{a}{c}=\frac{c}{b}$，
又
∵$\frac{a}{c}=\frac{5}{4}$，
∴$\frac{c}{b}=\frac{5}{4}$，
将等式两边同时取倒数，得$\frac{b}{c}=\frac{4}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 比例中项 2. 比例的基本性质
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对比例中项定义的理解和运用，解题时要注意连比例的前后项对应关系，避免因比例变形颠倒出错。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆比例中项的定义，若c是a、b的比例中项，则a、c、b成连比例，即$\frac{a}{c}=\frac{c}{b}$。结合题目给出的$\frac{a}{c}=\frac{5}{4}$，可先得到$\frac{c}{b}$的值，再对该比例式取倒数就能求出$\frac{b}{c}$的结果。
【解析】
∵线段c是线段a、b的比例中项，
根据比例中项的定义可得：$\frac{a}{c}=\frac{c}{b}$，
又
∵$\frac{a}{c}=\frac{5}{4}$，
∴$\frac{c}{b}=\frac{5}{4}$，
将等式两边同时取倒数，得$\frac{b}{c}=\frac{4}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 比例中项 2. 比例的基本性质
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对比例中项定义的理解和运用，解题时要注意连比例的前后项对应关系，避免因比例变形颠倒出错。
【难度系数】
0.8
2 下列四条线段a、b、c、d不成比例线段的是(
A.a=2厘米，b=5厘米，c=5厘米，d=12.5厘米
B.a=5厘米，b=3厘米，c=5毫米，d=3毫米
C.a=30毫米，b=2厘米，c=12毫米，d=$\frac{4}{5}$厘米
D.a=5厘米，b=0.02米，c=0.7厘米，d=0.3分米
D
)。A.a=2厘米，b=5厘米，c=5厘米，d=12.5厘米
B.a=5厘米，b=3厘米，c=5毫米，d=3毫米
C.a=30毫米，b=2厘米，c=12毫米，d=$\frac{4}{5}$厘米
D.a=5厘米，b=0.02米，c=0.7厘米，d=0.3分米
答案
D
解析
【分析】
判断四条线段是否成比例，按以下步骤思考：①首先统一所有线段的长度单位，避免因单位不同导致计算错误；②将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；③根据比例的基本性质，验证最长线段与最短线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积，若相等则四条线段成比例，反之则不成比例。本题只需逐个选项按上述步骤验证，找出乘积不相等的选项即可。
【解析】
我们统一将所有线段的单位换算为厘米，逐个选项验证：
A选项：a=2cm，b=5cm，c=5cm，d=12.5cm，排序为2cm、5cm、5cm、12.5cm，计算得：$2×12.5=25$，$5×5=25$，乘积相等，四条线段成比例，不符合题意；
B选项：c=5毫米=0.5cm，d=3毫米=0.3cm，四条线段排序为0.3cm、0.5cm、3cm、5cm，计算得：$0.3×5=1.5$，$0.5×3=1.5$，乘积相等，四条线段成比例，不符合题意；
C选项：a=30毫米=3cm，c=12毫米=1.2cm，d=$\frac{4}{5}$厘米=0.8cm，四条线段排序为0.8cm、1.2cm、2cm、3cm，计算得：$0.8×3=2.4$，$1.2×2=2.4$，乘积相等，四条线段成比例，不符合题意；
D选项：b=0.02米=2cm，d=0.3分米=3cm，四条线段排序为0.7cm、2cm、3cm、5cm，计算得：$0.7×5=3.5$，$2×3=6$，$3.5≠6$，乘积不相等，四条线段不成比例，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
成比例线段的判定，长度单位换算，比例的基本性质
【点评】
本题是成比例线段判断的基础题型，解题的核心是先统一单位再进行验证，易错点是忽略单位统一直接计算，导致判断错误。
【难度系数】
0.7
判断四条线段是否成比例，按以下步骤思考：①首先统一所有线段的长度单位，避免因单位不同导致计算错误；②将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；③根据比例的基本性质，验证最长线段与最短线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积，若相等则四条线段成比例，反之则不成比例。本题只需逐个选项按上述步骤验证，找出乘积不相等的选项即可。
【解析】
我们统一将所有线段的单位换算为厘米，逐个选项验证：
A选项：a=2cm，b=5cm，c=5cm，d=12.5cm，排序为2cm、5cm、5cm、12.5cm，计算得：$2×12.5=25$，$5×5=25$，乘积相等，四条线段成比例，不符合题意；
B选项：c=5毫米=0.5cm，d=3毫米=0.3cm，四条线段排序为0.3cm、0.5cm、3cm、5cm，计算得：$0.3×5=1.5$，$0.5×3=1.5$，乘积相等，四条线段成比例，不符合题意；
C选项：a=30毫米=3cm，c=12毫米=1.2cm，d=$\frac{4}{5}$厘米=0.8cm，四条线段排序为0.8cm、1.2cm、2cm、3cm，计算得：$0.8×3=2.4$，$1.2×2=2.4$，乘积相等，四条线段成比例，不符合题意；
D选项：b=0.02米=2cm，d=0.3分米=3cm，四条线段排序为0.7cm、2cm、3cm、5cm，计算得：$0.7×5=3.5$，$2×3=6$，$3.5≠6$，乘积不相等，四条线段不成比例，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
成比例线段的判定，长度单位换算，比例的基本性质
【点评】
本题是成比例线段判断的基础题型，解题的核心是先统一单位再进行验证，易错点是忽略单位统一直接计算，导致判断错误。
【难度系数】
0.7
3 已知线段a、b、c，作线段x，使$ax=bc$，则下列作法正确的是（
B
）。答案
B
解析
【分析】
解题时首先将等积式$ax=bc$转化为比例式，再结合平行线分线段成比例定理，逐一判断各选项中截得的线段的比例关系是否与转化后的比例式一致。首先根据比例的基本性质，交叉相乘相等的两个比例式等价，先把$ax=bc$变形为符合平行线分线段成比例的对应比例形式，再核对每个选项的线段对应关系即可。
【解析】
1. 变形等积式：由$ax=bc$，根据比例的基本性质可得比例式$\frac{a}{c}=\frac{b}{x}$（交叉相乘可验证还原为原式）。
2. 应用平行线分线段成比例定理：一个角的两条边被两条平行线所截时，同一条边上截得的两段线段的比，等于另一条边上对应两段线段的比。
3. 逐一分析选项：
选项A：水平边两段为$a、x$，斜边两段为$b、c$，比例为$\frac{a}{x}=\frac{b}{c}$，交叉相乘得$ac=bx$，不符合要求，错误。
选项B：水平边两段为$a、c$，斜边两段为$b、x$，比例为$\frac{a}{c}=\frac{b}{x}$，交叉相乘得$ax=bc$，符合要求，正确。
选项C：水平边两段为$x、a$，斜边两段为$b、c$，比例为$\frac{x}{a}=\frac{b}{c}$，交叉相乘得$cx=ab$，不符合要求，错误。
选项D：水平边两段为$a、b$，斜边两段为$x、c$，比例为$\frac{a}{b}=\frac{x}{c}$，交叉相乘得$ac=bx$，不符合要求，错误。
【答案】
B
【知识点】
比例的基本性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题核心是掌握等积式和比例式的互化方法，以及平行线分线段成比例定理中对应线段的关系，解题时要注意找准两条边上的对应线段，避免对应关系混淆导致错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先将等积式$ax=bc$转化为比例式，再结合平行线分线段成比例定理，逐一判断各选项中截得的线段的比例关系是否与转化后的比例式一致。首先根据比例的基本性质，交叉相乘相等的两个比例式等价，先把$ax=bc$变形为符合平行线分线段成比例的对应比例形式，再核对每个选项的线段对应关系即可。
【解析】
1. 变形等积式：由$ax=bc$，根据比例的基本性质可得比例式$\frac{a}{c}=\frac{b}{x}$（交叉相乘可验证还原为原式）。
2. 应用平行线分线段成比例定理：一个角的两条边被两条平行线所截时，同一条边上截得的两段线段的比，等于另一条边上对应两段线段的比。
3. 逐一分析选项：
选项A：水平边两段为$a、x$，斜边两段为$b、c$，比例为$\frac{a}{x}=\frac{b}{c}$，交叉相乘得$ac=bx$，不符合要求，错误。
选项B：水平边两段为$a、c$，斜边两段为$b、x$，比例为$\frac{a}{c}=\frac{b}{x}$，交叉相乘得$ax=bc$，符合要求，正确。
选项C：水平边两段为$x、a$，斜边两段为$b、c$，比例为$\frac{x}{a}=\frac{b}{c}$，交叉相乘得$cx=ab$，不符合要求，错误。
选项D：水平边两段为$a、b$，斜边两段为$x、c$，比例为$\frac{a}{b}=\frac{x}{c}$，交叉相乘得$ac=bx$，不符合要求，错误。
【答案】
B
【知识点】
比例的基本性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题核心是掌握等积式和比例式的互化方法，以及平行线分线段成比例定理中对应线段的关系，解题时要注意找准两条边上的对应线段，避免对应关系混淆导致错误。
【难度系数】
0.7
4 如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线$l_3$、$l_4$、$l_2$、$l_1$上。若直线$l_1 // l_2 // l_3 // l_4$且间距相等，CB交直线$l_3$于点G，$AB=4$，$BC=3$，则$\frac{BG}{CD}$的值为(
A.$\frac{3}{8}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{15}}{15}$
第4题图 第5题图
A
)。A.$\frac{3}{8}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{15}}{15}$
第4题图 第5题图
答案
A
解析
【分析】
解题时先利用矩形的性质得到CD的长度，再结合平行线分线段成比例定理求出BG的长度，最后计算两者的比值即可。首先矩形对边相等，可直接得到CD=AB=4；其次四条平行线间距相等，l₂、l₃、l₄是三条等距平行线，截线段BC得到的对应线段与间距成正比，因此可推出BG为BC的一半，算出BG后代入即可求比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，
∵直线$l_1 // l_2 // l_3 // l_4$且相邻间距相等，
∴$l_2$到$l_3$的距离与$l_3$到$l_4$的距离相等，
根据平行线分线段成比例定理可得$CG:GB=1:1$，即G为BC的中点，
∴$BG=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{BG}{CD}=\frac{\frac{3}{2}}{4}=\frac{3}{8}$。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题是基础的几何综合题，解题核心是掌握等距平行线截线段的比例关系，结合矩形对边相等的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先利用矩形的性质得到CD的长度，再结合平行线分线段成比例定理求出BG的长度，最后计算两者的比值即可。首先矩形对边相等，可直接得到CD=AB=4；其次四条平行线间距相等，l₂、l₃、l₄是三条等距平行线，截线段BC得到的对应线段与间距成正比，因此可推出BG为BC的一半，算出BG后代入即可求比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，
∵直线$l_1 // l_2 // l_3 // l_4$且相邻间距相等，
∴$l_2$到$l_3$的距离与$l_3$到$l_4$的距离相等，
根据平行线分线段成比例定理可得$CG:GB=1:1$，即G为BC的中点，
∴$BG=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{BG}{CD}=\frac{\frac{3}{2}}{4}=\frac{3}{8}$。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题是基础的几何综合题，解题核心是掌握等距平行线截线段的比例关系，结合矩形对边相等的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5 如图,线段$AB=1$,点$P_1$是线段$AB$的黄金分割点$(AP_1 ＜ BP_1)$,点$P_2$是线段$AP_1$的黄金分割点$(AP_2 ＜ P_1P_2)$,点$P_3$是线段$AP_2$的黄金分割点$(AP_3 ＜ P_2P_3)$……以此类推,则线段$AP_{2024}$的长度是(
A.$( \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2} )^{2024}$
B.$( \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} )^{2024}$
C.$( \dfrac{1}{2} )^{2024}$
D.$(\sqrt{5} - 2)^{1012}$
A
)。A.$( \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2} )^{2024}$
B.$( \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} )^{2024}$
C.$( \dfrac{1}{2} )^{2024}$
D.$(\sqrt{5} - 2)^{1012}$
答案
A
解析
【分析】
解决本题首先要掌握黄金分割的定义：若点是线段的黄金分割点，且较短线段＜较长线段，则较短线段的长度等于原线段长度乘以$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。我们可以先依次求出$AP_1$、$AP_2$、$AP_3$的长度，从中归纳出$AP_n$的通用规律，最后代入$n=2024$即可得到结果。
【解析】
解：根据黄金分割的性质，若点$C$是线段$XY$的黄金分割点，且$XC＜CY$，则$XC = XY × (1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}) = XY × \frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
1. 已知$AB=1$，$P_1$是$AB$的黄金分割点，$AP_1＜BP_1$，因此：
$AP_1 = AB × \frac{3-\sqrt{5}}{2} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$
2. $P_2$是$AP_1$的黄金分割点，$AP_2＜P_1P_2$，因此：
$AP_2 = AP_1 × \frac{3-\sqrt{5}}{2} = (\frac{3-\sqrt{5}}{2})^2$
3. $P_3$是$AP_2$的黄金分割点，$AP_3＜P_2P_3$，因此：
$AP_3 = AP_2 × \frac{3-\sqrt{5}}{2} = (\frac{3-\sqrt{5}}{2})^3$
……
由此可归纳出规律：$AP_n = (\frac{3-\sqrt{5}}{2})^n$
当$n=2024$时，$AP_{2024} = (\frac{3-\sqrt{5}}{2})^{2024}$
【答案】
A
【知识点】
黄金分割，规律归纳，比例线段
【点评】
本题将黄金分割的性质与规律探究结合考查，解题时要注意区分黄金分割中较长线段和较短线段对应的比例，通过逐步推导前几项的结果找到通用规律即可求解，易错点是混淆较长、较短线段对应的比例。
【难度系数】
0.5
解决本题首先要掌握黄金分割的定义：若点是线段的黄金分割点，且较短线段＜较长线段，则较短线段的长度等于原线段长度乘以$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。我们可以先依次求出$AP_1$、$AP_2$、$AP_3$的长度，从中归纳出$AP_n$的通用规律，最后代入$n=2024$即可得到结果。
【解析】
解：根据黄金分割的性质，若点$C$是线段$XY$的黄金分割点，且$XC＜CY$，则$XC = XY × (1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}) = XY × \frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
1. 已知$AB=1$，$P_1$是$AB$的黄金分割点，$AP_1＜BP_1$，因此：
$AP_1 = AB × \frac{3-\sqrt{5}}{2} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$
2. $P_2$是$AP_1$的黄金分割点，$AP_2＜P_1P_2$，因此：
$AP_2 = AP_1 × \frac{3-\sqrt{5}}{2} = (\frac{3-\sqrt{5}}{2})^2$
3. $P_3$是$AP_2$的黄金分割点，$AP_3＜P_2P_3$，因此：
$AP_3 = AP_2 × \frac{3-\sqrt{5}}{2} = (\frac{3-\sqrt{5}}{2})^3$
……
由此可归纳出规律：$AP_n = (\frac{3-\sqrt{5}}{2})^n$
当$n=2024$时，$AP_{2024} = (\frac{3-\sqrt{5}}{2})^{2024}$
【答案】
A
【知识点】
黄金分割，规律归纳，比例线段
【点评】
本题将黄金分割的性质与规律探究结合考查，解题时要注意区分黄金分割中较长线段和较短线段对应的比例，通过逐步推导前几项的结果找到通用规律即可求解，易错点是混淆较长、较短线段对应的比例。
【难度系数】
0.5
