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6 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=45°$,CD是AB边上的中线,将CD绕着点C顺时针旋转$90°$,得到CE,连接BE,交CD于点F。若$BC=6$, $S_{△ ABC}=12$,则$BE=$(
A.$4\sqrt{6}$
B.$3\sqrt{10}$
C.9
D.$4\sqrt{5}$
D
)。A.$4\sqrt{6}$
B.$3\sqrt{10}$
C.9
D.$4\sqrt{5}$
答案
D [提示:过点 E 作EM ⊥ BC 交BC 延长线于M,过点 D 作DN ⊥ BC 交BC 于点N,过点 A 作AH ⊥ BC 交BC 于点H,由 DN // AH,得到$\frac{BN}{HN}=\frac{BD}{AD}$,而 BD=AD,则 BN=HN,得到 DN 为△ABH 的中位线,再证明△CND ≌△EMC,最后对 Rt△BEM 运用勾股定理来求解。]
解析
【分析】
要计算BE的长度，可将其置于直角三角形中用勾股定理求解，我们可结合题目已知条件逐步推导：首先由△ABC的面积和BC的长度可求出BC边上的高AH；再结合∠ABC=45°得到等腰直角△ABH，得到BH的长度；利用D是AB中点，DN//AH可得DN是△ABH的中位线，求出DN、CN的长度；再根据旋转的性质得到CD=CE、∠DCE=90°，证明△CND≌△EMC，转化得到EM、CM的长度，最终在Rt△BEM中用勾股定理算出BE即可。
【解析】
1. 作辅助线：过点A作AH⊥BC于H，过点D作DN⊥BC于N，过点E作EM⊥BC，交BC的延长线于M。
2. 求AH的长度：
由$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AH=12$，已知$BC=6$，代入得$\frac{1}{2}×6×AH=12$，解得$AH=4$。
3. 求BH、HC的长度：
∵$∠ABC=45°$，$∠AHB=90°$，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴$BH=AH=4$，则$HC=BC-BH=6-4=2$。
4. 利用中位线求DN、BN、CN的长度：
∵D是AB的中点，$DN// AH$，
∴DN是△ABH的中位线，
∴$DN=\frac{1}{2}AH=2$，$BN=NH=\frac{1}{2}BH=2$，
∴$CN=BC-BN=6-2=4$。
5. 证明△CND≌△EMC：
由旋转的性质得：$CD=CE$，$∠DCE=90°$，
∴$∠DCN+∠ECM=90°$，
又
∵$∠DCN+∠CDN=90°$，
∴$∠CDN=∠ECM$，
在△CND和△EMC中：
$\begin{cases}∠DNC=∠M=90° \\∠CDN=∠ECM \\CD=CE\end{cases}$
∴△CND≌△EMC（AAS），
∴$EM=CN=4$，$CM=DN=2$。
6. 用勾股定理求BE：
$BM=BC+CM=6+2=8$，在Rt△BEM中，
$BE=\sqrt{BM^2+EM^2}=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查了几何辅助线的构造能力，通过作垂线构造直角三角形和全等三角形，结合中位线性质、旋转性质完成线段长度的转化，解题的关键是合理构造辅助线，将未知线段转化到可计算的直角三角形中。
【难度系数】
0.6
要计算BE的长度，可将其置于直角三角形中用勾股定理求解，我们可结合题目已知条件逐步推导：首先由△ABC的面积和BC的长度可求出BC边上的高AH；再结合∠ABC=45°得到等腰直角△ABH，得到BH的长度；利用D是AB中点，DN//AH可得DN是△ABH的中位线，求出DN、CN的长度；再根据旋转的性质得到CD=CE、∠DCE=90°，证明△CND≌△EMC，转化得到EM、CM的长度，最终在Rt△BEM中用勾股定理算出BE即可。
【解析】
1. 作辅助线：过点A作AH⊥BC于H，过点D作DN⊥BC于N，过点E作EM⊥BC，交BC的延长线于M。
2. 求AH的长度：
由$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AH=12$，已知$BC=6$，代入得$\frac{1}{2}×6×AH=12$，解得$AH=4$。
3. 求BH、HC的长度：
∵$∠ABC=45°$，$∠AHB=90°$，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴$BH=AH=4$，则$HC=BC-BH=6-4=2$。
4. 利用中位线求DN、BN、CN的长度：
∵D是AB的中点，$DN// AH$，
∴DN是△ABH的中位线，
∴$DN=\frac{1}{2}AH=2$，$BN=NH=\frac{1}{2}BH=2$，
∴$CN=BC-BN=6-2=4$。
5. 证明△CND≌△EMC：
由旋转的性质得：$CD=CE$，$∠DCE=90°$，
∴$∠DCN+∠ECM=90°$，
又
∵$∠DCN+∠CDN=90°$，
∴$∠CDN=∠ECM$，
在△CND和△EMC中：
$\begin{cases}∠DNC=∠M=90° \\∠CDN=∠ECM \\CD=CE\end{cases}$
∴△CND≌△EMC（AAS），
∴$EM=CN=4$，$CM=DN=2$。
6. 用勾股定理求BE：
$BM=BC+CM=6+2=8$，在Rt△BEM中，
$BE=\sqrt{BM^2+EM^2}=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查了几何辅助线的构造能力，通过作垂线构造直角三角形和全等三角形，结合中位线性质、旋转性质完成线段长度的转化，解题的关键是合理构造辅助线，将未知线段转化到可计算的直角三角形中。
【难度系数】
0.6
7 如图，直线AD、BC交于点O，$AB // EF // CD$。若$AO=2$，$OF=1$，$FD=2$，则$\frac{BE}{EC}$的值为
$\frac{3}{2}$
。答案
$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
本题给出了三条互相平行的直线$AB$、$EF$、$CD$，被直线$AD$和$BC$所截，可直接应用平行线分线段成比例定理解题。首先明确定理内容：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。我们需要找到线段$BE$、$EC$在另一条截线$AD$上的对应线段，计算出对应线段的长度后，即可求出比值。
【解析】
∵ $ AB // EF // CD $
根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，可得：
$\frac{BE}{EC}=\frac{AF}{FD}$
已知$AO=2$，$OF=1$，则$AF=AO+OF=2+1=3$
又已知$FD=2$，代入得：
$\frac{BE}{EC}=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查平行线分线段成比例定理的应用，解题的关键是准确识别对应线段，避免对应关系出错即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题给出了三条互相平行的直线$AB$、$EF$、$CD$，被直线$AD$和$BC$所截，可直接应用平行线分线段成比例定理解题。首先明确定理内容：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。我们需要找到线段$BE$、$EC$在另一条截线$AD$上的对应线段，计算出对应线段的长度后，即可求出比值。
【解析】
∵ $ AB // EF // CD $
根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，可得：
$\frac{BE}{EC}=\frac{AF}{FD}$
已知$AO=2$，$OF=1$，则$AF=AO+OF=2+1=3$
又已知$FD=2$，代入得：
$\frac{BE}{EC}=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查平行线分线段成比例定理的应用，解题的关键是准确识别对应线段，避免对应关系出错即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
8 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐。如图，A、B、C为直线$l$与五线谱的横线相交的三个点，则$\frac{AB}{BC}$的值是
2
。答案
2
解析
【分析】
解题时首先挖掘题目隐含条件：五线谱的五根横线互相平行，且相邻横线之间的距离相等。本题要求同一直线上两条线段的比值，可运用平行线分线段成比例定理求解：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段的比等于平行线之间的距离比。接下来只需确定AB、BC分别对应的相邻横线间距的份数，代入计算即可得到比值。
【解析】
设五线谱相邻两条平行横线的距离为$a$。
由五线谱的性质可知，所有横线互相平行且相邻间距相等，结合图形可得：线段AB对应的垂直间距为$2a$，线段BC对应的垂直间距为$a$。
根据平行线分线段成比例定理，直线$l$被等距平行线截得的对应线段比等于对应间距比，因此：
$\frac{AB}{BC}=\frac{2a}{a}=2$
【答案】
2
【知识点】
平行线分线段成比例，线段的比
【点评】
本题结合生活中的五线谱场景考查几何定理的应用，解题的关键是抓住五线谱平行等距的特征，难度较低，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先挖掘题目隐含条件：五线谱的五根横线互相平行，且相邻横线之间的距离相等。本题要求同一直线上两条线段的比值，可运用平行线分线段成比例定理求解：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段的比等于平行线之间的距离比。接下来只需确定AB、BC分别对应的相邻横线间距的份数，代入计算即可得到比值。
【解析】
设五线谱相邻两条平行横线的距离为$a$。
由五线谱的性质可知，所有横线互相平行且相邻间距相等，结合图形可得：线段AB对应的垂直间距为$2a$，线段BC对应的垂直间距为$a$。
根据平行线分线段成比例定理，直线$l$被等距平行线截得的对应线段比等于对应间距比，因此：
$\frac{AB}{BC}=\frac{2a}{a}=2$
【答案】
2
【知识点】
平行线分线段成比例，线段的比
【点评】
本题结合生活中的五线谱场景考查几何定理的应用，解题的关键是抓住五线谱平行等距的特征，难度较低，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
小明借助尺规作图，在线段AB上作一点C。若AB=48，则BC=
32
。答案
32
解析
【分析】本题属于成比例线段的基础应用类题目，解题思路可梳理为：首先结合章节考点，明确本题中尺规作图得到的点C将线段AB分为长度比为1:2的两段，其中BC为较长段；再根据线段和的关系，结合AB的总长度，通过按比例分配或列方程的方式即可求出BC的长度。
【解析】结合成比例线段章节对应尺规作图的特征，可知点C满足AC:BC=1:2。
线段AB总共被分为1+2=3份，每份长度为：$48÷3=16$
BC占其中的2份，因此BC的长度为：$16×2=32$
【答案】32
【知识点】成比例线段；线段和差计算；比例的性质
【点评】本题侧重对基础知识点的考查，只要明确作图对应的线段比例关系，结合线段和的性质即可快速求解，是巩固成比例线段概念的典型基础题。
【难度系数】0.75
【解析】结合成比例线段章节对应尺规作图的特征，可知点C满足AC:BC=1:2。
线段AB总共被分为1+2=3份，每份长度为：$48÷3=16$
BC占其中的2份，因此BC的长度为：$16×2=32$
【答案】32
【知识点】成比例线段；线段和差计算；比例的性质
【点评】本题侧重对基础知识点的考查，只要明确作图对应的线段比例关系，结合线段和的性质即可快速求解，是巩固成比例线段概念的典型基础题。
【难度系数】0.75
10 如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A在数轴上表示的数是－2，则点B在数轴上表示的数是
4
。答案
4
解析
【分析】
解题时首先结合题目给出的“虚线相互平行”的条件，联想到平行线分线段成比例定理；第一步先计算直尺上0到5刻度对应的线段长度，以及数轴上点A到表示8的点的线段长度，求出二者的比例关系；第二步找到直尺上A到B对应的刻度长度，结合比例求出数轴上A、B两点的距离；最后结合点A表示的数，即可求出点B对应的数。
【解析】
解：由图可知，直尺上0刻度到5刻度的线段长度为5个单位，
对应数轴上的线段为点A（表示数-2）到表示数8的点，该线段长度为：$8 - (-2) = 10$
∵图中虚线互相平行，根据平行线分线段成比例定理，直尺上的线段长度与对应数轴上线段长度的比为 $5:10 = 1:2$
观察可得直尺上点A到点B对应的刻度长度为3个单位，设数轴上A、B两点的距离为$x$，则：
$\frac{3}{x} = \frac{1}{2}$，解得$x=6$
∵点A表示的数为-2，且点B在点A右侧，
∴点B表示的数为 $-2 + 6 = 4$
【答案】
4
【知识点】
1. 平行线分线段成比例
2. 数轴上两点距离计算
【点评】
本题是几何定理与数轴结合的基础应用题，将平行线分线段成比例的性质融入实际作图场景，解题的核心是找准两组对应线段的比例关系，再结合数轴的性质计算即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合题目给出的“虚线相互平行”的条件，联想到平行线分线段成比例定理；第一步先计算直尺上0到5刻度对应的线段长度，以及数轴上点A到表示8的点的线段长度，求出二者的比例关系；第二步找到直尺上A到B对应的刻度长度，结合比例求出数轴上A、B两点的距离；最后结合点A表示的数，即可求出点B对应的数。
【解析】
解：由图可知，直尺上0刻度到5刻度的线段长度为5个单位，
对应数轴上的线段为点A（表示数-2）到表示数8的点，该线段长度为：$8 - (-2) = 10$
∵图中虚线互相平行，根据平行线分线段成比例定理，直尺上的线段长度与对应数轴上线段长度的比为 $5:10 = 1:2$
观察可得直尺上点A到点B对应的刻度长度为3个单位，设数轴上A、B两点的距离为$x$，则：
$\frac{3}{x} = \frac{1}{2}$，解得$x=6$
∵点A表示的数为-2，且点B在点A右侧，
∴点B表示的数为 $-2 + 6 = 4$
【答案】
4
【知识点】
1. 平行线分线段成比例
2. 数轴上两点距离计算
【点评】
本题是几何定理与数轴结合的基础应用题，将平行线分线段成比例的性质融入实际作图场景，解题的核心是找准两组对应线段的比例关系，再结合数轴的性质计算即可。
【难度系数】
0.7
11 有三条长度分别为1cm、4cm、8cm的线段，再添一条长度为
0.5cm或2cm或32cm
的线段，能使这四条线段是成比例线段。答案
0.5cm或2cm或32cm
解析
【分析】
本题考查成比例线段的应用，解题核心是明确成比例线段的定义，由于题目未指定四条线段的排列顺序，因此需要分情况讨论：将新添加的线段分别与原有三条线段配对作为比例外项，利用比例的基本性质（外项积等于内项积）列方程求解，最后验证解为正数（符合线段长度要求）即可。
【解析】
设新添线段的长度为$x\ \mathrm{cm}$，根据成比例线段的性质，四条线段中两组对项的乘积相等，分三种情况讨论：
1. 当$x$和$8$为比例外项，$1$和$4$为比例内项时：
$x×8=1×4$
解得：$x=0.5$
2. 当$x$和$4$为比例外项，$1$和$8$为比例内项时：
$x×4=1×8$
解得：$x=2$
3. 当$x$和$1$为比例外项，$4$和$8$为比例内项时：
$x×1=4×8$
解得：$x=32$
以上三个解均为正数，符合线段长度的实际要求。
【答案】
0.5cm或2cm或32cm
【知识点】
成比例线段定义；比例的基本性质；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略成比例线段的顺序性，仅考虑某一种比例情况导致漏解，解题时需全面梳理所有可能的比例配对关系，再结合实际意义筛选有效解。
【难度系数】
0.6
本题考查成比例线段的应用，解题核心是明确成比例线段的定义，由于题目未指定四条线段的排列顺序，因此需要分情况讨论：将新添加的线段分别与原有三条线段配对作为比例外项，利用比例的基本性质（外项积等于内项积）列方程求解，最后验证解为正数（符合线段长度要求）即可。
【解析】
设新添线段的长度为$x\ \mathrm{cm}$，根据成比例线段的性质，四条线段中两组对项的乘积相等，分三种情况讨论：
1. 当$x$和$8$为比例外项，$1$和$4$为比例内项时：
$x×8=1×4$
解得：$x=0.5$
2. 当$x$和$4$为比例外项，$1$和$8$为比例内项时：
$x×4=1×8$
解得：$x=2$
3. 当$x$和$1$为比例外项，$4$和$8$为比例内项时：
$x×1=4×8$
解得：$x=32$
以上三个解均为正数，符合线段长度的实际要求。
【答案】
0.5cm或2cm或32cm
【知识点】
成比例线段定义；比例的基本性质；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略成比例线段的顺序性，仅考虑某一种比例情况导致漏解，解题时需全面梳理所有可能的比例配对关系，再结合实际意义筛选有效解。
【难度系数】
0.6
12 如图，在$△ ABC$中，$BC=6$，点$D$是$AB$边上一点，过点$D$作$DE // BC$，交边$AC$于点$E$，过点$C$作$CF // AB$，交$DE$的延长线于点$F$，$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，则$EF=$
4
。答案
4
解析
【分析】
解题时先观察图形中的平行关系：首先由DE//BC、CF//AB可判定四边形DBCF是平行四边形，得到DF的长度等于BC；再由DE//BC可得△ADE与△ABC相似，结合已知的线段比例可求出DE的长度；最后用DF减去DE即可得到EF的长度。
【解析】
解：
∵DE//BC，CF//AB，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF = BC = 6。
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$。
又
∵$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，BC=6，
∴$\frac{DE}{6}=\frac{1}{3}$，解得DE=2。
∴EF = DF - DE = 6 - 2 = 4。
【答案】
4
【知识点】
平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是利用平行关系先推导平行四边形得到线段等量关系，再结合相似三角形的比例性质求出未知线段长度，解题时要注意找准相似三角形的对应边。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形中的平行关系：首先由DE//BC、CF//AB可判定四边形DBCF是平行四边形，得到DF的长度等于BC；再由DE//BC可得△ADE与△ABC相似，结合已知的线段比例可求出DE的长度；最后用DF减去DE即可得到EF的长度。
【解析】
解：
∵DE//BC，CF//AB，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF = BC = 6。
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$。
又
∵$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，BC=6，
∴$\frac{DE}{6}=\frac{1}{3}$，解得DE=2。
∴EF = DF - DE = 6 - 2 = 4。
【答案】
4
【知识点】
平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是利用平行关系先推导平行四边形得到线段等量关系，再结合相似三角形的比例性质求出未知线段长度，解题时要注意找准相似三角形的对应边。
【难度系数】
0.7
13 如图，BD是$△ ABC$的中线，点E是BC边上一点，AE交BD于点F，若$BF=FD$，则$\frac{BE}{CE}=$
$\frac{1}{2}$
。答案
$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要求$\frac{BE}{CE}$的比值，已知BD是△ABC的中线，可得D为AC中点，又已知$BF=FD$即F为BD中点，我们可以通过作辅助线构造全等三角形和三角形中位线来推导线段比例：过点D作BC的平行线交AE于点G，先利用F是BD中点证明△DGF与△BEF全等，得到DG=BE，再利用D是AC中点、DG//BC的条件，可知DG是△AEC的中位线，即可得到DG与CE的数量关系，进而求出BE与CE的比值。
【解析】
过点D作$DG// BC$，交AE于点G。
1. 因为$DG// BC$，所以$∠ GDF=∠ EBF$，$∠ DGF=∠ BEF$。
2. 已知$BF=FD$，在$△ DGF$和$△ BEF$中：
$\begin{cases}∠ GDF=∠ EBF \\∠ DGF=∠ BEF \\DF=BF\end{cases}$
所以$△ DGF≌△ BEF$（AAS），因此$DG=BE$。
3. 因为BD是$△ ABC$的中线，所以D是AC的中点，又$DG// BC$，所以DG是$△ AEC$的中位线。
4. 根据三角形中位线定理，得$DG=\frac{1}{2}CE$。
5. 结合$DG=BE$，可得$BE=\frac{1}{2}CE$，因此$\frac{BE}{CE}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
全等三角形判定与性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例
【点评】
本题是典型的几何线段比例求解题型，通过构造平行线作为辅助线，结合全等三角形和中位线的性质即可快速解题，掌握这类辅助线的构造思路是解决同类题型的核心。
【难度系数】
0.6
要求$\frac{BE}{CE}$的比值，已知BD是△ABC的中线，可得D为AC中点，又已知$BF=FD$即F为BD中点，我们可以通过作辅助线构造全等三角形和三角形中位线来推导线段比例：过点D作BC的平行线交AE于点G，先利用F是BD中点证明△DGF与△BEF全等，得到DG=BE，再利用D是AC中点、DG//BC的条件，可知DG是△AEC的中位线，即可得到DG与CE的数量关系，进而求出BE与CE的比值。
【解析】
过点D作$DG// BC$，交AE于点G。
1. 因为$DG// BC$，所以$∠ GDF=∠ EBF$，$∠ DGF=∠ BEF$。
2. 已知$BF=FD$，在$△ DGF$和$△ BEF$中：
$\begin{cases}∠ GDF=∠ EBF \\∠ DGF=∠ BEF \\DF=BF\end{cases}$
所以$△ DGF≌△ BEF$（AAS），因此$DG=BE$。
3. 因为BD是$△ ABC$的中线，所以D是AC的中点，又$DG// BC$，所以DG是$△ AEC$的中位线。
4. 根据三角形中位线定理，得$DG=\frac{1}{2}CE$。
5. 结合$DG=BE$，可得$BE=\frac{1}{2}CE$，因此$\frac{BE}{CE}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
全等三角形判定与性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例
【点评】
本题是典型的几何线段比例求解题型，通过构造平行线作为辅助线，结合全等三角形和中位线的性质即可快速解题，掌握这类辅助线的构造思路是解决同类题型的核心。
【难度系数】
0.6
